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高一数学期末押题卷03-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用）
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这是一份高一数学期末押题卷03-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用），共18页。试卷主要包含了cm2等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣9≤0}，B＝{x|3x+a≥0}，且A∩B＝{x|1≤x≤3}，则a＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
2．（5分）函数y＝x2ex的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）若角α的终边过点B（a，﹣5）（a≠0），则下列选项正确的是（ ）
A．sinα＜0B．csa＞0C．tanα＞0D．csα＜0
4．（5分）不等式2|x﹣1|＜4的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
5．（5分）已知扇形AOB的周长为8cm，圆心角∠AOB＝2rad，则扇形AOB的面积（ ）cm2．
A．1B．2C．4D．6
6．（5分）实数a＝30.4，b＝lg318，c＝lg550的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
7．（5分）若函数f（x）＝lga（x3﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，0）内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，1）B．[，1）
C．[，1）∪（1，3]D．（1，3]
8．（5分）若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，1]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[9，+∞）D．[1，9]
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．∃x∈{y|y是无理数}，则5x2是无理数
B．∀x∈{y|y是有理数}，则2x5是无理数
C．至少有一个整数n使得2n2+5n为奇数
D．命题“∃x∈R使x2+2x+5＜0”的否定
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2x+a，则（ ）
A．f（x）的定义域为RB．f（x）的值域为R
C．f（x）是偶函数D．f（x）是增函数
（多选）12．（5分）已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，PB＝lgnB来记录B菌个数的资料，其中nB为B菌的个数．下列说法正确的是（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．PA≥1
B．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多90
C．假设科学家将B菌的个数控制为5千个，则此时6＜PA＜6.5
D．无论A，B两种菌的个数分别为多少，PAPB的值不可能超过25
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设cs460°＝t，将tan260°用含有t的式子表示出来 ．
14．（5分）写出一个同时满足下列性质的幂函数 ．
①偶函数；
②在（﹣∞，0）上递增．
15．（5分）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，则实数m的取值是 ．
16．（5分）若关于x的方程有5个不同的解，则b的取值范围是 ，c的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）++（﹣4.3）0﹣；
（2）lg43×lg92+﹣lg2．
18．（12分）已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）若a＝﹣2，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）sinαcsα．
20．（12分）已知函数，且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）为奇函数：
（3）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．
21．（12分）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中t为关税的税率，且为市场价格，b，k为正常数）且当时市场供应量曲线如图．
（1）根据图象，求b，k的值；
（2）若市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．
22．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（﹣1，1），都有：．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）若当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）若，f（x）≤t2﹣2at+1对所有，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
高一数学期末押题卷03
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：必修一全部内容
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣9≤0}，B＝{x|3x+a≥0}，且A∩B＝{x|1≤x≤3}，则a＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【分析】根据题意，求出集合A、B，由集合交集的定义可得﹣＝1，解可得a的值，即可得答案。
【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2﹣9≤0}＝｛x|﹣3≤x≤3｝，
B＝{x|3x+a≥0}＝｛x|x≥﹣｝，
若A∩B＝{x|1≤x≤3}，必有﹣＝1，则a＝﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查集合交集的计算，涉及集合的表示方法，属于基础题。
2．（5分）函数y＝x2ex的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】任意x∈R，y＝x2ex＞0，排除C．对函数求导，分析单调性，即可得出答案．
【解答】解：任意x∈R，y＝x2ex＞0，排除C．
y′＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex，
在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y′＞0，y单调递增，
在区间（﹣2，0）上，y′＜0，y单调递减，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象和性质，属于中档题．
3．（5分）若角α的终边过点B（a，﹣5）（a≠0），则下列选项正确的是（ ）
A．sinα＜0B．csa＞0C．tanα＞0D．csα＜0
【分析】利用三角函数的定义，把三角函数用点B的坐标表示出来，根据a的正负不确定，得到结论．
【解答】解：r＝＞0，根据三角函数定义有sinα＝＜0，
csα＝，a≠0，a的正负不确定，则csα的正负不确定，
tanα＝，则tanα的正负不确定，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的定义，属于基础题．
4．（5分）不等式2|x﹣1|＜4的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】由指数函数的单调性和绝对值不等式的解法，可得所求解集．
【解答】解：不等式2|x﹣1|＜4，即为2|x﹣1|＜22，
即有|x﹣1|＜2，
即﹣2＜x﹣1＜2，
解得﹣1＜x＜3，
则原不等式的解集为（﹣1，3）．
故选：A．
【点评】本题考查含绝对值的不等式的解法，同时考查指数函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5．（5分）已知扇形AOB的周长为8cm，圆心角∠AOB＝2rad，则扇形AOB的面积（ ）cm2．
A．1B．2C．4D．6
【分析】设扇形AOB的弧长为l，半径为r，依题意，列式计算即可．
【解答】解：设扇形AOB的弧长为l，半径为r，
∵圆心角∠AOB＝2rad，l＝2r，
∴2r+l＝4r＝8，解得r＝2，l＝4，
∴S扇形AOB＝lr＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的弧长和面积，考查了运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）实数a＝30.4，b＝lg318，c＝lg550的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
【分析】可以看出30.4＜2，，并且lg25＞lg23＞1，从而可得出2＜c＜b，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵30.4＜30.5＜2，lg318＝2+lg32＝，，且lg25＞lg23＞1，
∴，
∴2＜lg550＜lg318，
∴a＜c＜b．
故选：C．
【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质，以及对数的换底公式，增函数的定义．
7．（5分）若函数f（x）＝lga（x3﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，0）内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，1）B．[，1）
C．[，1）∪（1，3]D．（1，3]
【分析】将函数看作是复合函数令g（x）＝x3﹣ax，且g（x）＞0，求出函数的定义域，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，由复合函数“同增异减”求得结果．
【解答】解：令g（x）＝x3﹣ax，由g（x）＞0得x（x2﹣a）＞0，
解得x∈（﹣，0）∪（，+∞），
由于g′（x）＝3x2﹣a，则x∈（﹣，0）时，g（x）单调递减，
x∈（﹣，﹣）或x∈（，+∞）时，g（x）单调递增．
∴当a＞1时，函数f（x）减区间为（﹣，0），不合题意，
当0＜a＜1时，函数f（x）的增区间为（﹣，0），
∴（﹣，0）⊆（﹣，0），
则，解得a≥，
综上，a∈[，1）．
故选：B．
【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，复合函数的单调性：同增异减，以及对数函数的性质，解题时一定要注意定义域，属于中档题．
8．（5分）若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，1]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[9，+∞）D．[1，9]
【分析】由基本不等式可得，ab＝a+b+3，解不等式可求．
【解答】解：正数a、b满足ab＝a+b+3，
∵a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号，
∴ab＝a+b+3
解不等式可得，≥3或≤﹣1（舍）
则ab≥9
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．∃x∈{y|y是无理数}，则5x2是无理数
B．∀x∈{y|y是有理数}，则2x5是无理数
C．至少有一个整数n使得2n2+5n为奇数
D．命题“∃x∈R使x2+2x+5＜0”的否定
【分析】通过取特殊值可以判断A、B、C选项的真假性，利用“一元二次不等式恒成立问题的解法”可以判断D选项的真假．
【解答】解：对于A，当x＝π时，5x2＝5π2为无理数，是A选项为真命题，
对于B，当时，为有理数，所以B选项为假命题，
对于C，当n＝1时，2n2+5n＝7为奇数，所以C选项为真命题，
对于D，因为x2+2x+5＞0恒成立，所以“∃x∈R使x2+2x+5＜0”为假命题，
因此该命题的否定为真命题，所以D选项为真命题．
故选：ACD．
【点评】本题考查了命题真假性的判断问题，是基础题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4
【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为，即可判断选项A错误；对于选项B，先求出角α的范围，再求出的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正确．
【解答】解：选项A，终边在y轴上的角的集合为，故选项A错误；
选项B，因为α是第二象限角，所以，故，
当k＝2m（m∈Z）时，，此时，是第一象限角，
当k＝2m+1（m∈Z）时，，此时，是第三象限角，故选项B正确；
选项C，三角形为直角三角形时，因为直角不是象限角，故选项C错误；
选项D，由扇形面积公式知，，即R＝2，所以弧长L＝αR＝2×2＝4，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查象限角、轴线角、弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2x+a，则（ ）
A．f（x）的定义域为RB．f（x）的值域为R
C．f（x）是偶函数D．f（x）是增函数
【分析】根据给定的f（x）函数，求出定义域并结合函数奇偶性质，单调性质的知识，再逐项分析判断作答．
【解答】解：对于A、B项：由题意f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），故A项正确，B项错误；
对于C项：f（﹣x）＝2﹣x+a≠f（x）≠﹣f（x），所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故C项错误；
对于D项：因为y＝x+a是增函数，y＝2x是增函数，所以f（x）是增函数，故D项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，定义域及值域的求解，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，PB＝lgnB来记录B菌个数的资料，其中nB为B菌的个数．下列说法正确的是（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．PA≥1
B．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多90
C．假设科学家将B菌的个数控制为5千个，则此时6＜PA＜6.5
D．无论A，B两种菌的个数分别为多少，PAPB的值不可能超过25
【分析】A：当nA＝1时，PA＝0，由此即可判断；B：分别假设PA＝1，2，求出对应的A菌的个数，由此即可判断；C：设B菌的个数为，求出B菌的个数，由此即可判断；D：利用对数的运算性质求出PA+PB的和，由此即可判断．
【解答】解：A：当nA＝1时，PA＝0，故A错误；
B：若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，即100﹣10＝90，故B正确；
C：设B菌的个数为，所以nA＝＝2×106，所以PA＝lg（nA）＝lg2+6≈6.3，所以6＜PA＜6.5，故C正确；
D：因为PA+PB＝lgnA+lgnB＝lg＝10≤25，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设cs460°＝t，将tan260°用含有t的式子表示出来 ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式整理得cs460°＝cs100°＝t，进一步利用关系式的变换求出．
【解答】解：cs460°＝cs（360°+100°）＝cs100°＝t，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）写出一个同时满足下列性质的幂函数 f（x）＝x﹣2 ．
①偶函数；
②在（﹣∞，0）上递增．
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可写出满足条件的函数解析式．
【解答】解：根据幂函数f（x）＝xα是偶函数，且在（﹣∞，0）上递增，可以写出f（x）＝x﹣2．
故答案为：f（x）＝x﹣2．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
15．（5分）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，则实数m的取值是 3 ．
【分析】先化简1＜﹣2x+m＜5得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值．
【解答】解：由1＜﹣2x+m＜5得1﹣m＜﹣2x＜5﹣m，故，
因为“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，
所以，解得m＝3，
所以实数m的取值是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了充要条件的定义，属于基础题．
16．（5分）若关于x的方程有5个不同的解，则b的取值范围是 （0，） ，c的取值范围是 （﹣1，﹣） ．
【分析】根据题意，利用换元法，令f（x）＝t＝|（）|x|﹣|，t＞0，题意转化为方程t++c＝0有5个不同的解，即t2+ct+b＝0有一根为t1＝，另一根在t2∈（0，）上，根据一元二次方程根的分布和函数图象的变换，作出f（x）的图象，即可得出答案．
【解答】解：关于x的方程有5个不同的解，
令f（x）＝t＝|（）|x|﹣|，t＞0，则方程t++c＝0，即得方程t2+ct+b＝0有一根为t1＝，另一根在t2∈（0，）上，
又f（﹣x）＝|（）|x|﹣|＝f（x），则f（x）是偶函数，
不妨设x≥0，则f（x）＝|（）x﹣|，作出图象，如图所示：
要使关于x的方程有5个不同的解，
由图象可得方程t2+ct+b＝0有一根为t1＝，另一根在t2∈（0，）上，
∴+c+b＝0①，t1•t2＝b＞0，t1+t2＝﹣＜，解得c＞﹣1，b＞0，
由①得c＝﹣2b﹣，b＝﹣c﹣，解得b＜，c＜﹣，
故b的取值范围是（0，），c的取值范围是（﹣1，﹣），
故答案为：（0，）；（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系和一元二次方程根与系数的关系，考查转化思想和函数思想、数形结合思想，考查换元法，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）++（﹣4.3）0﹣；
（2）lg43×lg92+﹣lg2．
【分析】（1）进行根式和指数式的运算即可；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4+1﹣12＝﹣5；
（2）原式＝＝．
【点评】本题考查了指数和对数的运算性质，对数的定义，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）若a＝﹣2，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．
【解答】解：（1）因为a＝﹣2，所以A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，
又B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
所以A∩B＝{x|﹣3≤x≤﹣2}．
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
所以a+1≤﹣2或a﹣1≥3，解得：a≤﹣3或a≥4，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19．（12分）已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）sinαcsα．
【分析】（1）结合已知条件，利用弦化切即可直接求解；
（2）把所求的式子分母上结合同角平方关系利用1的代换，然后进行弦化切即可求解．
【解答】解：（1）原式＝＝＝＝2．
（2）原式＝＝．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查
20．（12分）已知函数，且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）为奇函数：
（3）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．
【分析】（1）由f（1）＝5可直接构造方程求得a的值；
（2）首先确定f（x）定义域关于原点对称，由f（﹣x）＝﹣f（x）可证得结论；
（3）设x2＞x1≥2，可得，由此可得结论．
【解答】解：（1），解得：a＝1．
（2）证明：由（1）知：，
∴f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，
∴f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（3）f（x）在[2，+∞）上单调递增，证明如下：
设x2＞x1≥2，则，x2＞x1≥2，
∴x1x2＞4，x2﹣x1＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查函数单调性以及奇偶性，属于中档题．
21．（12分）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中t为关税的税率，且为市场价格，b，k为正常数）且当时市场供应量曲线如图．
（1）根据图象，求b，k的值；
（2）若市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．
【分析】（1）由图象知，（5，1），（7，2）在图象上，由求解；
（2）根据P＝Q得到，令，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）由图可知，当时，
有，
解得；
（2）当P＝Q时，得，
解得，
令，∵x≥9，∴，
则，∴对称轴，且开口向下；
∴时，t取得最小值，此时x＝9，
∴税率t的最小值为．
【点评】本题考查函数的建模，函数的最值的求解，属中档题．
22．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（﹣1，1），都有：．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）若当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）若，f（x）≤t2﹣2at+1对所有，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）令x＝y＝0得f（0），再令y＝﹣x即可证明．
（2）根据定义结合已知证明．
（3）转化为t2﹣2at﹣1≥f（x）max，再变换主次元考虑．
【解答】（1）证明：令x＝y＝0得：f（0）＝0
设任意x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），∴f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则﹣x2∈（﹣1，1），∴，
由﹣1＜x1＜x2＜1知：x1﹣x2＜0，且|x1|＜1，|x2|＜1，
所以|x1x2|＜1，即1﹣x1x2＞0，
∴，又，
即，从而，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）由（2）函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数，
则当时，函数 f（x）的最大值为，
若f（x）≤t2﹣2at+1对所有恒成立，
则等价为 1≤t2﹣2at+1对a∈[﹣1，1]恒成立，即t2﹣2at≥0，
设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2，则对a∈[﹣1，1]恒成立，
∴，即，即，
解得t≥2或t＝0或t≤﹣2．
【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣9≤0}，B＝{x|3x+a≥0}，且A∩B＝{x|1≤x≤3}，则a＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
2．（5分）函数y＝x2ex的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）若角α的终边过点B（a，﹣5）（a≠0），则下列选项正确的是（ ）
A．sinα＜0B．csa＞0C．tanα＞0D．csα＜0
4．（5分）不等式2|x﹣1|＜4的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
5．（5分）已知扇形AOB的周长为8cm，圆心角∠AOB＝2rad，则扇形AOB的面积（ ）cm2．
A．1B．2C．4D．6
6．（5分）实数a＝30.4，b＝lg318，c＝lg550的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
7．（5分）若函数f（x）＝lga（x3﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，0）内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，1）B．[，1）
C．[，1）∪（1，3]D．（1，3]
8．（5分）若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，1]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[9，+∞）D．[1，9]
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．∃x∈{y|y是无理数}，则5x2是无理数
B．∀x∈{y|y是有理数}，则2x5是无理数
C．至少有一个整数n使得2n2+5n为奇数
D．命题“∃x∈R使x2+2x+5＜0”的否定
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2x+a，则（ ）
A．f（x）的定义域为RB．f（x）的值域为R
C．f（x）是偶函数D．f（x）是增函数
（多选）12．（5分）已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，PB＝lgnB来记录B菌个数的资料，其中nB为B菌的个数．下列说法正确的是（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．PA≥1
B．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多90
C．假设科学家将B菌的个数控制为5千个，则此时6＜PA＜6.5
D．无论A，B两种菌的个数分别为多少，PAPB的值不可能超过25
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设cs460°＝t，将tan260°用含有t的式子表示出来 ．
14．（5分）写出一个同时满足下列性质的幂函数 ．
①偶函数；
②在（﹣∞，0）上递增．
15．（5分）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，则实数m的取值是 ．
16．（5分）若关于x的方程有5个不同的解，则b的取值范围是 ，c的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）++（﹣4.3）0﹣；
（2）lg43×lg92+﹣lg2．
18．（12分）已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）若a＝﹣2，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）sinαcsα．
20．（12分）已知函数，且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）为奇函数：
（3）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．
21．（12分）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中t为关税的税率，且为市场价格，b，k为正常数）且当时市场供应量曲线如图．
（1）根据图象，求b，k的值；
（2）若市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．
22．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（﹣1，1），都有：．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）若当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）若，f（x）≤t2﹣2at+1对所有，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
高一数学期末押题卷03
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：必修一全部内容
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣9≤0}，B＝{x|3x+a≥0}，且A∩B＝{x|1≤x≤3}，则a＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【分析】根据题意，求出集合A、B，由集合交集的定义可得﹣＝1，解可得a的值，即可得答案。
【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2﹣9≤0}＝｛x|﹣3≤x≤3｝，
B＝{x|3x+a≥0}＝｛x|x≥﹣｝，
若A∩B＝{x|1≤x≤3}，必有﹣＝1，则a＝﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查集合交集的计算，涉及集合的表示方法，属于基础题。
2．（5分）函数y＝x2ex的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】任意x∈R，y＝x2ex＞0，排除C．对函数求导，分析单调性，即可得出答案．
【解答】解：任意x∈R，y＝x2ex＞0，排除C．
y′＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex，
在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y′＞0，y单调递增，
在区间（﹣2，0）上，y′＜0，y单调递减，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象和性质，属于中档题．
3．（5分）若角α的终边过点B（a，﹣5）（a≠0），则下列选项正确的是（ ）
A．sinα＜0B．csa＞0C．tanα＞0D．csα＜0
【分析】利用三角函数的定义，把三角函数用点B的坐标表示出来，根据a的正负不确定，得到结论．
【解答】解：r＝＞0，根据三角函数定义有sinα＝＜0，
csα＝，a≠0，a的正负不确定，则csα的正负不确定，
tanα＝，则tanα的正负不确定，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的定义，属于基础题．
4．（5分）不等式2|x﹣1|＜4的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】由指数函数的单调性和绝对值不等式的解法，可得所求解集．
【解答】解：不等式2|x﹣1|＜4，即为2|x﹣1|＜22，
即有|x﹣1|＜2，
即﹣2＜x﹣1＜2，
解得﹣1＜x＜3，
则原不等式的解集为（﹣1，3）．
故选：A．
【点评】本题考查含绝对值的不等式的解法，同时考查指数函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5．（5分）已知扇形AOB的周长为8cm，圆心角∠AOB＝2rad，则扇形AOB的面积（ ）cm2．
A．1B．2C．4D．6
【分析】设扇形AOB的弧长为l，半径为r，依题意，列式计算即可．
【解答】解：设扇形AOB的弧长为l，半径为r，
∵圆心角∠AOB＝2rad，l＝2r，
∴2r+l＝4r＝8，解得r＝2，l＝4，
∴S扇形AOB＝lr＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的弧长和面积，考查了运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）实数a＝30.4，b＝lg318，c＝lg550的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
【分析】可以看出30.4＜2，，并且lg25＞lg23＞1，从而可得出2＜c＜b，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵30.4＜30.5＜2，lg318＝2+lg32＝，，且lg25＞lg23＞1，
∴，
∴2＜lg550＜lg318，
∴a＜c＜b．
故选：C．
【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质，以及对数的换底公式，增函数的定义．
7．（5分）若函数f（x）＝lga（x3﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，0）内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，1）B．[，1）
C．[，1）∪（1，3]D．（1，3]
【分析】将函数看作是复合函数令g（x）＝x3﹣ax，且g（x）＞0，求出函数的定义域，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，由复合函数“同增异减”求得结果．
【解答】解：令g（x）＝x3﹣ax，由g（x）＞0得x（x2﹣a）＞0，
解得x∈（﹣，0）∪（，+∞），
由于g′（x）＝3x2﹣a，则x∈（﹣，0）时，g（x）单调递减，
x∈（﹣，﹣）或x∈（，+∞）时，g（x）单调递增．
∴当a＞1时，函数f（x）减区间为（﹣，0），不合题意，
当0＜a＜1时，函数f（x）的增区间为（﹣，0），
∴（﹣，0）⊆（﹣，0），
则，解得a≥，
综上，a∈[，1）．
故选：B．
【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，复合函数的单调性：同增异减，以及对数函数的性质，解题时一定要注意定义域，属于中档题．
8．（5分）若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，1]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[9，+∞）D．[1，9]
【分析】由基本不等式可得，ab＝a+b+3，解不等式可求．
【解答】解：正数a、b满足ab＝a+b+3，
∵a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号，
∴ab＝a+b+3
解不等式可得，≥3或≤﹣1（舍）
则ab≥9
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．∃x∈{y|y是无理数}，则5x2是无理数
B．∀x∈{y|y是有理数}，则2x5是无理数
C．至少有一个整数n使得2n2+5n为奇数
D．命题“∃x∈R使x2+2x+5＜0”的否定
【分析】通过取特殊值可以判断A、B、C选项的真假性，利用“一元二次不等式恒成立问题的解法”可以判断D选项的真假．
【解答】解：对于A，当x＝π时，5x2＝5π2为无理数，是A选项为真命题，
对于B，当时，为有理数，所以B选项为假命题，
对于C，当n＝1时，2n2+5n＝7为奇数，所以C选项为真命题，
对于D，因为x2+2x+5＞0恒成立，所以“∃x∈R使x2+2x+5＜0”为假命题，
因此该命题的否定为真命题，所以D选项为真命题．
故选：ACD．
【点评】本题考查了命题真假性的判断问题，是基础题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4
【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为，即可判断选项A错误；对于选项B，先求出角α的范围，再求出的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正确．
【解答】解：选项A，终边在y轴上的角的集合为，故选项A错误；
选项B，因为α是第二象限角，所以，故，
当k＝2m（m∈Z）时，，此时，是第一象限角，
当k＝2m+1（m∈Z）时，，此时，是第三象限角，故选项B正确；
选项C，三角形为直角三角形时，因为直角不是象限角，故选项C错误；
选项D，由扇形面积公式知，，即R＝2，所以弧长L＝αR＝2×2＝4，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查象限角、轴线角、弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2x+a，则（ ）
A．f（x）的定义域为RB．f（x）的值域为R
C．f（x）是偶函数D．f（x）是增函数
【分析】根据给定的f（x）函数，求出定义域并结合函数奇偶性质，单调性质的知识，再逐项分析判断作答．
【解答】解：对于A、B项：由题意f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），故A项正确，B项错误；
对于C项：f（﹣x）＝2﹣x+a≠f（x）≠﹣f（x），所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故C项错误；
对于D项：因为y＝x+a是增函数，y＝2x是增函数，所以f（x）是增函数，故D项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，定义域及值域的求解，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，PB＝lgnB来记录B菌个数的资料，其中nB为B菌的个数．下列说法正确的是（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．PA≥1
B．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多90
C．假设科学家将B菌的个数控制为5千个，则此时6＜PA＜6.5
D．无论A，B两种菌的个数分别为多少，PAPB的值不可能超过25
【分析】A：当nA＝1时，PA＝0，由此即可判断；B：分别假设PA＝1，2，求出对应的A菌的个数，由此即可判断；C：设B菌的个数为，求出B菌的个数，由此即可判断；D：利用对数的运算性质求出PA+PB的和，由此即可判断．
【解答】解：A：当nA＝1时，PA＝0，故A错误；
B：若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，即100﹣10＝90，故B正确；
C：设B菌的个数为，所以nA＝＝2×106，所以PA＝lg（nA）＝lg2+6≈6.3，所以6＜PA＜6.5，故C正确；
D：因为PA+PB＝lgnA+lgnB＝lg＝10≤25，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设cs460°＝t，将tan260°用含有t的式子表示出来 ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式整理得cs460°＝cs100°＝t，进一步利用关系式的变换求出．
【解答】解：cs460°＝cs（360°+100°）＝cs100°＝t，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）写出一个同时满足下列性质的幂函数 f（x）＝x﹣2 ．
①偶函数；
②在（﹣∞，0）上递增．
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可写出满足条件的函数解析式．
【解答】解：根据幂函数f（x）＝xα是偶函数，且在（﹣∞，0）上递增，可以写出f（x）＝x﹣2．
故答案为：f（x）＝x﹣2．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
15．（5分）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，则实数m的取值是 3 ．
【分析】先化简1＜﹣2x+m＜5得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值．
【解答】解：由1＜﹣2x+m＜5得1﹣m＜﹣2x＜5﹣m，故，
因为“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，
所以，解得m＝3，
所以实数m的取值是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了充要条件的定义，属于基础题．
16．（5分）若关于x的方程有5个不同的解，则b的取值范围是 （0，） ，c的取值范围是 （﹣1，﹣） ．
【分析】根据题意，利用换元法，令f（x）＝t＝|（）|x|﹣|，t＞0，题意转化为方程t++c＝0有5个不同的解，即t2+ct+b＝0有一根为t1＝，另一根在t2∈（0，）上，根据一元二次方程根的分布和函数图象的变换，作出f（x）的图象，即可得出答案．
【解答】解：关于x的方程有5个不同的解，
令f（x）＝t＝|（）|x|﹣|，t＞0，则方程t++c＝0，即得方程t2+ct+b＝0有一根为t1＝，另一根在t2∈（0，）上，
又f（﹣x）＝|（）|x|﹣|＝f（x），则f（x）是偶函数，
不妨设x≥0，则f（x）＝|（）x﹣|，作出图象，如图所示：
要使关于x的方程有5个不同的解，
由图象可得方程t2+ct+b＝0有一根为t1＝，另一根在t2∈（0，）上，
∴+c+b＝0①，t1•t2＝b＞0，t1+t2＝﹣＜，解得c＞﹣1，b＞0，
由①得c＝﹣2b﹣，b＝﹣c﹣，解得b＜，c＜﹣，
故b的取值范围是（0，），c的取值范围是（﹣1，﹣），
故答案为：（0，）；（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系和一元二次方程根与系数的关系，考查转化思想和函数思想、数形结合思想，考查换元法，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）++（﹣4.3）0﹣；
（2）lg43×lg92+﹣lg2．
【分析】（1）进行根式和指数式的运算即可；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4+1﹣12＝﹣5；
（2）原式＝＝．
【点评】本题考查了指数和对数的运算性质，对数的定义，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）若a＝﹣2，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．
【解答】解：（1）因为a＝﹣2，所以A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，
又B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
所以A∩B＝{x|﹣3≤x≤﹣2}．
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
所以a+1≤﹣2或a﹣1≥3，解得：a≤﹣3或a≥4，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19．（12分）已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）sinαcsα．
【分析】（1）结合已知条件，利用弦化切即可直接求解；
（2）把所求的式子分母上结合同角平方关系利用1的代换，然后进行弦化切即可求解．
【解答】解：（1）原式＝＝＝＝2．
（2）原式＝＝．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查
20．（12分）已知函数，且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）为奇函数：
（3）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．
【分析】（1）由f（1）＝5可直接构造方程求得a的值；
（2）首先确定f（x）定义域关于原点对称，由f（﹣x）＝﹣f（x）可证得结论；
（3）设x2＞x1≥2，可得，由此可得结论．
【解答】解：（1），解得：a＝1．
（2）证明：由（1）知：，
∴f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，
∴f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（3）f（x）在[2，+∞）上单调递增，证明如下：
设x2＞x1≥2，则，x2＞x1≥2，
∴x1x2＞4，x2﹣x1＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查函数单调性以及奇偶性，属于中档题．
21．（12分）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中t为关税的税率，且为市场价格，b，k为正常数）且当时市场供应量曲线如图．
（1）根据图象，求b，k的值；
（2）若市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．
【分析】（1）由图象知，（5，1），（7，2）在图象上，由求解；
（2）根据P＝Q得到，令，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）由图可知，当时，
有，
解得；
（2）当P＝Q时，得，
解得，
令，∵x≥9，∴，
则，∴对称轴，且开口向下；
∴时，t取得最小值，此时x＝9，
∴税率t的最小值为．
【点评】本题考查函数的建模，函数的最值的求解，属中档题．
22．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（﹣1，1），都有：．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）若当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）若，f（x）≤t2﹣2at+1对所有，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）令x＝y＝0得f（0），再令y＝﹣x即可证明．
（2）根据定义结合已知证明．
（3）转化为t2﹣2at﹣1≥f（x）max，再变换主次元考虑．
【解答】（1）证明：令x＝y＝0得：f（0）＝0
设任意x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），∴f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则﹣x2∈（﹣1，1），∴，
由﹣1＜x1＜x2＜1知：x1﹣x2＜0，且|x1|＜1，|x2|＜1，
所以|x1x2|＜1，即1﹣x1x2＞0，
∴，又，
即，从而，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）由（2）函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数，
则当时，函数 f（x）的最大值为，
若f（x）≤t2﹣2at+1对所有恒成立，
则等价为 1≤t2﹣2at+1对a∈[﹣1，1]恒成立，即t2﹣2at≥0，
设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2，则对a∈[﹣1，1]恒成立，
∴，即，即，
解得t≥2或t＝0或t≤﹣2．
【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
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