高一上学期期末数学模拟试卷01（人教A版2019必修第一册全部）-（人教A版2019必修第一册）

这是一份高一上学期期末数学模拟试卷01（人教A版2019必修第一册全部）-（人教A版2019必修第一册），共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）若集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022上·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数的定义域为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
5．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2020上·江苏苏州·高一校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·云南红河·统考一模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）
A．2.57B．2.77C．2.89D．3.26
8．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知函数与都在区间上有意义，若函数在上至少有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则可取的值是（ ）
A．B．0C．D．1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
二、多选题
9．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）下列函数中，以为周期的偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是
A．函数的周期为B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称
12．（2023上·山东济南·高一统考阶段练习）已知，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）若，则 .
14．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为 .
15．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知是偶函数，则 ，的最小值为 ．
16．（2023上·安徽·高一校联考期中）已知是定义在上的减函数，且对于任意､，总有，若使成立的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）计算：
(1)
(2)
18．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知集合，集合，集合.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
19．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知，为锐角，，
(1)求的值；
(2)求的值．
20．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？
(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：
①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；
②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知函数.
(1)求的最小正周期以及单调增区间；
(2)求在的最大值及对应的x值；
(3)若图象的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
22．（2023上·福建莆田·高一莆田二中校考阶段练习）已知函数是偶函数，且当时，（，且）.
(1)求当时的解析式；
(2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
期末模拟试卷1
命题范围：全一册
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）若集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直接利用交集并集的运算计算即可.
【详解】解：集合，
所以，
故选：B.
2．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据对数不等式可得，即可由必要不充分条件的定义判断.
【详解】由可得，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
3．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性，排除A、D选项，再根据排除B选项，即可得结果.
【详解】函数定义域为,且，
所以为偶函数，排除A、D选项；
因为，所以排除B，
故选：C.
4．（2022上·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数的定义域为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用正切函数图像可以得到结果.
【详解】由题意可得：，且，
即，
∴，．
故选：C．
5．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.
【详解】由题意得，所以.故选：B.
6．（2020上·江苏苏州·高一校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【详解】解：，，
，，
，，即，
，
故选：．
7．（2023·云南红河·统考一模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）
A．2.57B．2.77C．2.89D．3.26
【答案】B
【分析】有题意，根据公式代入数据得，变形、化简即可得出答案.
【详解】由题意得，代入数据得，
整理得，即，解得；
所以若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳．
故选：B．
8．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知函数与都在区间上有意义，若函数在上至少有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则可取的值是（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】C
【分析】根据新定义，将与在上是“关联函数”，转化为与在上至少有两个不同的交点，作出两个函数的图象，数形结合判断即可.
【详解】根据新定义，将与在上是“关联函数”，转化为与在上至少有两个不同的交点.
在上，，
当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象没有交点，故A错误；
当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象有1个交点，故B错误；
当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象有2个交点，故C正确；
当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象有1个交点，故D错误.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
二、多选题
9．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）下列函数中，以为周期的偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】根据三角函数的周期性及奇偶性，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A 选项，因为的最小正周期为，所以不是以为周期；
B选项，因为的最小正周期为，是以为周期；
又显然是偶函数，满足题意；
C选项，因为，，所以不是以为周期；
D选项，，所以是以为周期；又，所以是偶函数，满足题意.
故选：BD.
10．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据奇函数求出，根据分段函数的关系求解即可.
【详解】∵函数为奇函数
∴
当时，，则
故，
∴．
故选：C
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是
A．函数的周期为B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称
【答案】C
【分析】观察图象由最值求，然后由函数所过的点，求出 ，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论．
【详解】观察图象可得，函数的最小值，所以，
又由图像可知函数过，
即 结合可得，则 ，显然A选项错误；
对于B，， 不是偶函数，B错；
对于D ，当， 故D错误，
由此可知选C.
【点睛】点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
12．（2023上·山东济南·高一统考阶段练习）已知，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，且，
对于A中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
对于B中，由，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，解得，则，
所以B正确；
对于C中，由，即，所以C错误；
对于D中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）若，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【详解】由，得，解得，而，则，
所以.
故答案为：
14．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为 .
【答案】
【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.
【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的，且内环所在圆的半径为，
所以，，可得，
因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，所以，外环圆弧所在圆的半径为，
因此，该扇面的面积为.
故答案为：.
15．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知是偶函数，则 ，的最小值为 ．
【答案】
【分析】先利用函数奇偶性的定义可求得实数的值，从而得到，再利用基本不等式即可推得，由此得解.
【详解】因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
由的任意性可得，故，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
16．（2023上·安徽·高一校联考期中）已知是定义在上的减函数，且对于任意､，总有，若使成立的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】抽象函数求出单调性，再利用已知条件，求出取值范围
【详解】令，则，
对任意的､，有，则.
令，得，得，
令时，则，即，
是定义在上的减函数，在上单调递减.
已知对于任意的实数，恒有，
整理得：，
即，由于是减函数，
，即.
当时，不等式的解集为，不满足题意，舍去；
当时，不等式的解集为；
若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为0，1，则.
当时，不等式的解集为.
若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为，，则.
综上所述，实数的取值范围为：.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用同角公式、诱导公式、二倍角公式化简计算即得.
（2）根据给定条件，利用对数的运算性质计算即得.
【详解】（1）.
（2）
.
18．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知集合，集合，集合.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）化简集合，然后利用补集及交集的定义运算即得；
（2）由题可得，然后分，讨论即得.
【详解】（1）由，
得或，
所以
（2）因为，
所以，
①当时，，则，
②当时，，则，
综上，的取值范围为或.
19．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知，为锐角，，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】根根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，转化为，即可求解；
根据已知得与的值，由，即可求解．
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
，，
又，为锐角，所以，
，
，
所以
20．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？
(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：
①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；
②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)500
(2)存在，．
【分析】（1）由调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，建立并求解不等式即可；
（2）由题意条件转化为两个不等式恒成立问题，构造函数利用对勾函数与一次函数的单调性求解最值，即可求出m的取值范围.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为万元，
则．
因为，所以，解得，
因为且，所以，故，
即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500．
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得
，
上式两边同除以ax，得，
整理得，
由条件②技术人员年人均投入不减少，得，
解得．
假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即（）恒成立．
设，
由在上单调递减，
因为且，所以在上单调递减，
则，
当时，等号成立，所以．
又因为，
当时，，所以，
所以，
即存在这样的m满足条件，m的取值范围为．
21．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）已知函数.
(1)求的最小正周期以及单调增区间；
(2)求在的最大值及对应的x值；
(3)若图象的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）通过三角变换化简为，即可求得周期；令，求解即可得到单调增区间；
（2）由可得，从而可知即可求解；
（3）令，可得图象的对称轴为，从而可知，求解即可.
【详解】（1）
，
，
令，解得，
所以的单调增区间为.
（2），
所以当，即时，.
（3）令，解得，
所以图象的对称轴为，
所以当时，两相邻的对称轴为，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，
所以，
故m的取值范围为.
22．（2023上·福建莆田·高一莆田二中校考阶段练习）已知函数是偶函数，且当时，（，且）.
(1)求当时的解析式；
(2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用偶函数性质求时的解析式；
（2）选①：易知且在上恒成立，进而求得范围，根据指数函数性质求范围；选②：讨论、，结合与均为偶函数，得到且上恒成立，列不等式组求范围，根据指数函数性质求范围；
【详解】（1）令，则，由.
所以当时.
（2）若选①：由且，，在定义域上递减，且，
要使在上单调递增，则在定义域上递减，即，
所以在上恒成立，故，则，
所以；
若选②：若，在上，且，
此时恒成立，不满足；
若，又与均为偶函数，只需上恒成立，
由复合函数单调性知：在上递减，而递增，
所以在上递减，则，
所以.