2024年上海市杨浦区中考一模数学试题

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（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 抛物线向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A B. C. D.
2. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍B. 缩小为原来的
C. 不变D. 不能确定
3. 已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如果两个非零向量与的方向相反，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. 与是平行向量B. 的方向与的方向相同
C. 若，则D. 若，则
5. 如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，锐角中，，现想在边上找一点，在边上找一点，使得与相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点、作、的垂线，垂足分别是、，则、即所求；（乙）取中点，作，交于点，取中点，作，交于点，则、即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（ ）

A. 甲正确乙错误B. 甲错误乙正确C. 甲、乙皆正确D. 甲、乙皆错误
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么_____厘米．
8. 计算：_________．
9. 二次函数的图像与轴的交点坐标是_________
10. 已知抛物线开口向上，那么的取值范围是_________．
11. 如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么_________．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12. 在中，，，垂足点，如果，，那么_____．
13. 小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了_____米．
14. 写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是_____．
15. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么_____．
16. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号）
17. 如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是_____．
18. 如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是_________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，．
（1）求的长；
（2）如果，，求四边形的周长．
20. 已知二次函数．
（1）用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标；
（2）设该函数图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积．
21. 如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
22. 周末，小李计划从家步行到图书馆看书．如图，小李家在点处，现有两条路线：第一条是从家向正东方向前进米到路口，再沿的南偏东方向到图书馆；第二条是从家向正南方向前进米到路口，再沿的南偏东方向到图书馆．假设小李步行的速度大小保持不变，那么选择哪条路线更快到达图书馆？请通过计算说明．（参考数据：，，）
23. 已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，．
（1）求证：；
（2）如果点是边的中点，求证：．
24. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上一点，如果，求点的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式．
25. 如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
（1）求证：；
（2）连接．
①当时，求的值；
②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值．