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    广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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    这是一份广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题,共15页。试卷主要包含了 已知,则的化简结果是, 已知,若,,,则, 下列是函数图象的是等内容,欢迎下载使用。

    说明:
    1.本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.
    2.答卷前,考生务必将自己的条形码贴在答题卡上.
    3.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮檫干净后,再选涂其他答案.
    4.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上;如需改动,划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知全集,集合,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据补集和并集的定义运算即得.
    【详解】全集,集合,,
    所以,
    因此,.
    故选:D.
    2. 在半径为的圆中,弧长为的弧所对的圆心角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据弧长公式,结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.
    【详解】弧长为的弧所对的圆心角为,
    故选:B
    3. 下列条件中,使成立的充要条件是()
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得.
    【详解】对A,取,则,错误;
    对B,取,则,错误;
    对C,,正确;
    对D,取,则无意义,错误.
    故选:C.
    4. 下列是奇函数,且在区间上单调递增的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.
    【详解】对A,函数是奇函数,在上单调递减,故错误;
    对B,函数是非奇非偶函数,故错误;
    对C,函数是非奇非偶函数,故错误;
    对D,函数是奇函数,在上单调递增,故正确.
    故选:D
    5. 神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站,并成功对接,完成了中国空间站的最后一块拼图.已知中国空间站离地球表面的高度约为千米,每分钟绕地球一圈.若将其运行轨道近似地看成圆形,运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为千米的圆形,则中国空间站在轨道中运行的速度约为()( )
    A. 千米/秒
    B. 千米/秒
    C. 千米/秒
    D. 千米/秒
    【答案】A
    【解析】
    【分析】求出半径,再根据圆的周长公式求出运行的长度,除以时间即可得到速度.
    【详解】根据直径为千米,则半径为6210千米,则运行速度千米/秒.
    故选:A.
    6. 已知,则的化简结果是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.
    【详解】因为,所以,,则,
    所以
    .
    故选:A
    7. 已知,若,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可.
    【详解】,


    因为函数是正实数集上的增函数,
    所以有
    故选:C
    8. 已知函数,则的零点所在的区间为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据零点存在定理,只需判断两个端点的函数值,即两个端点函数值异号即可.
    【详解】由已知得,,,, ,
    所以,由零点的存在定理得,的零点所在的区间为,
    故选:D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9. 下列是函数图象的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】根据函数的定义,进行分析判断即可得解..
    【详解】根据函数的定义可知,定义域内的每一个只有一个和它对应,
    因此不能出现一对多的情况,所以C不是函数图象,ABD是函数图象.
    故选:ABD.
    10. 下列函数中,最小正周期是,且在区间上单调递增的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】根据已知条件结合选项逐项验证,可得答案.
    【详解】A,,最小正周期为,在区间上单调递增,故A正确;
    B,,最小正周期为,且在上单调递增,故B正确;
    C,,最小正周期为,且在上不具有单调性,故C错误;
    D,,最小正周期为,且在上单调递减,故D错误.
    故选:AB.
    11. 已知函数,下列说法正确是( )
    A. 的定义域是B. 的图象关于原点对称
    C. D. 当时,最小值为
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】由函数解析式,根据奇偶性的定义,可得A、B的正误;根据函数解析式可得函数值可得C的正误;根据余弦函数的性质,可得D的正误.
    【详解】对A,由函数,其定义域为,故A错误;
    对B,,故函数为奇函数,故B正确;
    对C,因为,故C正确;
    对D,当时,,则,故D错误.
    故选:BC.
    12. 已知函数的定义域为,若对,均有,则称函数具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】根据题中定义,结合分类讨论思想逐一判断即可.
    【详解】A:,因此本函数不具有“倒负”变换性质;
    B:,因此本函数具有“倒负”变换性质;
    C:当时,,
    当时,,因此本函数具有“倒负”变换性质;
    D:当时,,
    当时,,因此本函数具有“倒负”变换性质,
    故选:BCD
    【点睛】关键点睛:利用代入法,结合分段函数的解析式进行分类讨论是解题的关键.
    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 函数的定义域是___________.
    【答案】且
    【解析】
    【分析】
    根据真数大于0,分母不为0,即可求得答案.
    【详解】由题意得,解得且,所以定义域为:且
    故答案为:且
    14. 化简的值为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据指数幂的运算律运算即得.
    【详解】,
    故答案为:.
    15. 已知S市某所新建高中年的绿化面积为,若该校绿化面积的年平均增长率为%,则到_______年(用整数年份表示),该校的绿化面积约是.(参考数据:,)
    【答案】
    【解析】
    【分析】设经过n年后,该校的绿化面积约是,由已知可得n的关系式,再通过两边取对数,利用对数运算求解即可.
    【详解】设经过n年后,该校的绿化面积约是,
    则由已知得,即,
    两边取对数得,

    故答案为:.
    16. 已知,,则____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据诱导公式结合条件即得.
    【详解】因为,
    所以.
    故答案为:.
    四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    17. 已知函数.
    (1)当时,求的值;
    (2)若,求实数的值.
    【答案】(1)4; (2)或.
    【解析】
    【分析】(1)将代入求解;
    (2)根据,求解即得.
    【小问1详解】
    ∵函数,
    ∴当时,;
    【小问2详解】
    函数的定义域为,
    因为,所以,
    即,解得或;
    所以或.
    18. 如图所示,在直角坐标系内,锐角的终边与单位圆交于点,将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边,并与单位圆交于点.
    (1)用含的式子表示点的坐标;
    (2)若,求的值.
    【答案】(1)
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)由三角函数定义,根据题中条件,即可用含的式子表示点的坐标;
    (2)法一:根据题中条件,由同角三角函数的平方关系和商数关系,联立方程组求解即可;
    法二:根据题中条件,由同角三角函数基本关系可得,①,②,联立方程组求解即可.
    【小问1详解】
    依题意得:,
    由三角函数定义知,,

    所以点的坐标为
    【小问2详解】
    法一:因,所以①
    又因为②,
    联立①②解得或,
    所以或.
    法二:因为,所以①
    两边平方得,所以,
    又因为,所以②
    当时,解得,
    此时
    当时,解得,
    此时或.
    19. 已知函数,.
    (1)求的单调递增区间;
    (2)求在区间上的最小值.
    【答案】(1)()
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可;
    (2)利用余弦函数的性质,结合整体法求解即可.
    【小问1详解】
    设,∵,的单调递增区间是,,
    ∴由,,解得,,
    ∴函数的单调递增区间为().
    【小问2详解】
    ∵,∴,
    ∴由余弦函数的性质,
    当,即时,的最小值为,此时,
    ∴当时,在区间上的最小值为.
    20. 已知函数,.
    (1)证明是增函数;
    (2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据函数的单调性定义证明即可;
    (2)法一:利用函数的单调性,把问题转化为在上恒成立,再求在上的最大值即可;
    法二:原不等式可转化为,再通过换元转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题,利用二次函数性质求解即可.
    【小问1详解】
    证明:,且,

    因为,函数在上单调递增,所以,
    又,故,即.
    因此,是增函数.
    【小问2详解】
    法一:由(1)知在上单调递增,
    所以,
    所以不等式可变为,
    即,
    令,则在上单调递减,
    当时,取得最大值,所以,
    综上所求得的取值范围是.
    法二:由不等式得,
    整理得,
    令,即,
    即,
    因为,所以,,
    所以要使原不等式恒成立,则有,
    即,,
    故的取值范围是
    21. 已知函数.
    (1)若,证明:;
    (2)若是定义在上的奇函数,且当时,.
    (ⅰ)求的解析式;
    (ⅱ)求方程的所有根.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)(ⅰ);(ⅱ),,
    【解析】
    【分析】(1)根据对数函数的性质,基本不等式结合条件即得;
    (2)根据奇函数的性质可得函数的解析式,方程转化成曲线与直线的交点情况,结合函数的图象和性质即得.
    【小问1详解】
    证明:因为,
    所以,,
    由基本不等式,当时,,
    即,
    即;
    【小问2详解】
    (ⅰ)依题意得,当时,,
    因为是定义在上奇函数,所以,代入上式成立,
    即当时,,
    设,则,所以,
    所以;
    (ⅱ)方程转化成曲线与直线的交点情况,
    当时,与交于点和点,

    由(1)知图象总是向上凸的,所以除外不会有其它交点,
    同理,当时,根据对称性,两个图象还有一个交点,
    所以方程有三个根,,.
    22. 某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底在水平线上,桥与平行,为铅垂线(在上).经测算,若以为轴,为轴建立平面直角坐标系,则左侧曲线上的任一点在抛物线上,而右侧曲线上的任一点在以为顶点的抛物线上.
    (1)求桥的长度;
    (2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和,且为米,其中,在上(不包括端点).若桥墩每米的造价为(万元),桥墩每米的造价为(万元),则当为多少米时,两个桥墩的总造价最低?
    【答案】(1)120米;
    (2)32.
    【解析】
    【分析】(1)根据A,B高度一致结合条件即得结果;
    (2)根据题意列总造价的函数关系式,利用二次函数的性质即得.
    【小问1详解】
    由得,
    所以,,
    解得,即,
    所以桥的长度为(米);
    【小问2详解】
    设,则,,
    依题意得,由(1)得,

    所以,
    所以两个桥墩的总造价,
    化简得,
    所以当米时,两个桥墩的总造价最低.
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