福建省泉州市第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟训练卷

这是一份福建省泉州市第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟训练卷，共14页。试卷主要包含了，则tanα+cs=等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x＜﹣1}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}
C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x＜3}
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2＜0，则￢p是（ ）
A．∀x∈R，x2≥0B．∃x0∈R，x02≥0
C．∀x∉R，x02≥0D．∃x0∈R，x02＞0
3．（5分）lg28＝（ ）
A．2B．3C．1D．﹣3
4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣2，1），则tanα+cs(3π2+α)=（ ）
A．−12+55B．−12−55C．−2+55D．−2−55
5．（5分）若函数f(x)=x3+2x2+3x，x≥0x3+ax2+bx，x＜0为奇函数，则实数a，b的值分别为（ ）
A．2，3B．﹣2，3C．﹣2，﹣3D．2，﹣3
6．（5分）函数f（x）＝lg2x−2|x−1|的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．（5分）设集合A＝{x|ax2﹣ax﹣2≥0}，若A＝∅，则实数a的取值集合是（ ）
A．{a|﹣8＜a＜0}B．{a|a＜﹣8}C．{a|a≤﹣8}D．{a|﹣8＜a≤0}
8．（5分）已知函数f（x）=1−f(x+1)，x＜1lg2x，1≤x≤2f(x−1)+1，x＞2，则函数g（x）＝f（x）﹣a|x﹣1|在[0，5]上的零点个数不可能为（ ）
A．1B．2C．8D．10
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m＞0，则“命题p为真命题”的一个充分条件是（ ）
A．m＞2B．m＜0C．m＜﹣1D．m≥3
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2c
B．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c
C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D．若a＜b，则1a＜1b
（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，0），P1（csα，sinα），P2（csβ，﹣sinβ），P3（cs（α+β），sin（α+β）），则（ ）
A．OP1＝OP2B．AP1＝AP2C．P1P2＝AP3D．P2P3＝AP1
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域D关于原点对称，∃m∈D且f（m）＝1，当x∈（0，m）时，f（x）＞0；且对任意x∈D，y∈D，x﹣y∈D，都有f(x−y)=f(x)f(y)+1f(y)−f(x)，则（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（3m）＝0
C．f（x）是周期函数
D．f（x）在（2m，3m）上单调递减
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，对应关系f：y＝x2．若a∈A，且f（a）＝9，则a＝ ．
14．（5分）已知扇形圆心角α＝60°，α所对的弧长l＝6π，则该扇形面积为 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，若存在a∈（2，3]，使得关于x的函数y＝f（x）﹣tf（a）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)，ω＞0，f(x)的部分图像如图所示，若AB→⋅BC→=−|AB→|2，则ω等于 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2﹣1；
（2）f（x）＝x2+2x；
（3）f（x）＝x3﹣x；
（4）f（x）＝x2，x∈[﹣1，3]；
（5）f（x）＝﹣|x|；
（6）f（x）＝1．
18．（12分）已知函数f(x)=3x−2−x3x+2−x．
（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并利用定义加以证明；
（Ⅱ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）＞f（﹣2t2+k）恒成立，求实数k的取值范围．
19．（12分）已知函数f(x)=2sin(x2+π6)．
（1）其振幅为 ，周期为 ，初相为 ；
（2）列表并作出函数f（x）在长度为一个周期闭区间上的简图；
（3）说明这个函数图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换得到．
20．（12分）某玩具厂生产某种产品x件的总成本：F(x)=1200+275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，销售100件这样的产品的单价为50元．
（1）试写出总利润y关于产品销售的件数x的函数关系式；
（2）求当x定为多少件，总利润最大．
21．（12分）已知函数f（x）＝23cs2（π2+x）﹣2sin（π+x）csx−3．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[π4，π2]上的最值；
（3）若f（x0−π6）=1013，x0∈[3π4，π]，求sin2x0的值．
22．（12分）某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“⊕”：x⊕y＝ln（ex+ey）（e为自然对数的底数，e≈2.718），x，y∈R．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：x⊕y＝y⊕x，（x⊕y）⊕z＝x⊕（y⊕z）等等．
（1）对任意实数a，b，c，请判断（a⊕b）+c＝（a+c）⊕（b+c）是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明；
（2）若a＝tx2（t＞0），b＝x+1，c＝﹣tx2﹣2，f（x）＝（a+b）⊕（b﹣c）﹣ln（e2+1）．定义闭区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，若对任意长度为1的区间D，存在m，n∈D，|f（m）﹣f（n）|≥1，求正数t的最小值．
2023-2024学年福建省厦门市高级中学高一（上）期末数学模拟训练卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：因为A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x＜﹣1}，所以A∩B＝{x|﹣2≤x＜﹣1}
故选：C．
2．【解答】解：根据题意，命题p：∀x∈R，x2＜0，是全称命题，
所以¬p是∃x0∈R，x02≥0．
故选：B．
3．【解答】解：lg28=lg223=3．
故选：B．
4．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣2，1），
则tanα=−12，sinα=11+(−2)2=55，
故tanα+cs(3π2+α)=tanα+sinα=−12+55．
故选：A．
5．【解答】解：∵f（x）为奇函数，
∴设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x3+2x2﹣3x＝﹣f（x），
∴x＜0时，f（x）＝x3﹣2x2+3x＝x3+ax2+bx，
∴a＝﹣2，b＝3．
故选：B．
6．【解答】解：因为f（x）＝lg2x−2|x−1|的定义为（0，1）∪（1，+∞），
令f（x）＝0，则有lg2x=2|x−1|，
令y1＝lg2x，y2=2|x−1|，
将问题转化y1与y2图象交点的横坐标所在的区间．
当0＜x＜1时，
y1＝lg2x＜0，y2=2|x−1|＞0，
此时y1与y2图象没有交点；
当x＞1时，
y1＝lg2x＞0，y2=2|x−1|=2x−1，
当x＝2时，y1＝1，y2＝2，y1＜y2，
当x＝3时，y1＝lg23＞1，y2＝1，y1＞y2，
所以y1与y2图象交点的横坐标在区间（2，3）内，
即f（x）＝lg2x−2|x−1|的零点所在区间为（2，3）．
故选：C．
7．【解答】解：根据题意，当a＝0时，原不等式为﹣2≥0，此时解集为∅，满足题意；
当a≠0时，有a＜0Δ=a2+8a＜0，解得﹣8＜a＜0，
综上，实数a的取值范围是{a|﹣8＜a≤0}．
故选：D．
8．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣a|x﹣1|在[0，5]上的零点个数，
即函数y＝f（x）的图象与函数y＝a|x﹣1|的图象在[0，5]上的交点个数，
而f（x）=1−f(x+1)，x＜1lg2x，1≤x≤2f(x−1)+1，x＞2，
当1≤x≤2时，f（x）＝lg2x；
当0≤x＜1时，由f（x）＝1﹣f（x+1）可知，
将函数y＝lg2x的图象，向左平移1个单位，关于x轴对称翻折，再向上平移一个单位1个单位，
取区间[0，1）上的部分得到f（x）的图象；
当2＜x≤3时，由f（x）＝f（x﹣1）+1可知，
将函数y＝lg2x的图象，向右平移1个单位，再向上平移一个单位1个单位，取区间（2，3]上的部分得到f（x）的图象；
其余区间的图象同理可得．
作出y＝f（x）在[0，5]上的图象，如下图所示：
当a≤0时，函数y＝a|x﹣1|的图象与函数y＝f（x）的图象只有（1，0）一个交点，
作出y＝a|x﹣1|（a＞0）在[0，5]上的大致图象，如下图所示：
a从0开始逐渐增大的过程中，函数y＝a|x﹣1|的图象与函数y＝f（x）的图象先开始只有（1，0）一个交点；
当函数y＝a|x﹣1|的图象与函数y＝f（x）的图象在（0，1）上出现交点时，有2个交点；
当a＝1，函数y＝a|x﹣1|的图象与函数y＝f（x）的图象有6个交点；
a又逐渐增大，函数y＝a|x﹣1|的图象与函数y＝f（x）的图象在（0，1）上没有交点，
在[1，2）上、（2，3）上、（3，4）上、（4，5）上各有2个交点，共8个；
当函数y＝a|x﹣1|的图象与函数y＝f（x）的图象在（4，5）上相切时，交点为7个；
随着a的增大，交点数减少为6个、5个、4个、3个、2个、1个．
故函数g（x）＝f（x）﹣a|x﹣1|在[0，5]上零点个数不可能为10．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：若命题p为真命题，则不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立，即Δ＝4﹣4m＜0，解得m＞1，
满足命题p为真命题的一个充分条件，其对应的集合是{m|m＞1}的子集，
对照各选项，可知A、D符合题意．
故选：AD．
10．【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，A显然不成立；
若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c，B正确；
若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，C正确；
当a＝2，b＝4时，D显然错误．
故选：BC．
11．【解答】解：选项A，OP1→=（csα，sinα），OP2→=（csβ，﹣sinβ），
所以|OP1→|＝1，|OP2→|＝1，即A正确；
选项B，AP1→=（csα﹣1，sinα），AP2→=（csβ﹣1，﹣sinβ）
所以|AP1→|＝2﹣2csα，|AP2→|＝2﹣2csβ，所以AP1≠AP2，即B错误；
选项C，P1P2→=（csβ﹣csα，﹣sinβ﹣sinα），AP3→=（cs（α+β）﹣1，sin（α+β）），
所以|P1P2→|＝2﹣2（csαcsβ﹣sinαsinβ）＝2﹣2cs（α+β），|AP3→|＝2﹣2cs（α+β），即C正确；
选项D，P2P3→=（cs（α+β）﹣csβ，sin（α+β）+sinβ），AP1→=（csα﹣1，sinα），
所以|P2P3→|＝2﹣2cs（α+2β），|AP1→|＝2﹣2csα，所以P2P3≠AP1，即D错误．
故选：AC．
12．【解答】解：对于A，令t＝x﹣y，则f（t）=f(x−y)=f(x)f(y)+1f(y)−f(x)=−f(x)f(y)+1f(x)−f(y)=−f（y﹣x）＝﹣f（﹣t），
所以函数f（x）是奇函数，故A正确；
对于B，由f（m）＝1，得f（m）＝f（2m﹣m）=f(2m)f(m)+1f(m)−f(2m)=f(2m)+11−f(2m)=1，
所以f（2m）＝0，
则f（2m）＝f（3m﹣m）=f(3m)f(m)+1f(m)−f(3m)=f(3m)+11−f(3m)=0，
所以f（3m）＝﹣1，故B错误；
对于C，由f(x−y)=f(x)f(y)+1f(y)−f(x)，可得f（x﹣m）=f(x)f(m)+1f(m)−f(x)=f(x)+11−f(x)，
则f（x﹣2m）＝f（x﹣m﹣m）=f(x−m)f(m)+1f(m)−f(x−m)=f(x)+11−f(x)+11−f(x)+11−f(x)=−1f(x)，
由f（x﹣4m）＝f（x﹣2m﹣2m）=−1f(x−2m)=f（x），
所以函数f（x）是以4m为周期的周期函数，故C正确；
对于D，令2m＜y＜x＜3m，则x﹣y∈（0，m），x﹣2m∈（0，m），y﹣2m∈（0，m），
则f（x﹣2m）=f(x−m)f(m)+1f(m)−f(x−m)=−1f(x)＞0，所以f（x）＜0，
f（y﹣2m）=f(y−m)f(m)+1f(m)−f(y−m)=−1f(y)＞0，所以f（y）＜0，
所以f（x）f（y）＞0，f(x−y)=f(x)f(y)+1f(y)−f(x)＞0，因为f（x）f（y）＞0，所以f（x）f（y）+1＞0，
所以f（y）﹣f（x）＞0，
即f（y）＞f（x），所以f（x）在（2m，3m）上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，若a∈A，则a是奇数，
对应关系f：y＝x2．若a∈A，且f（a）＝9，即a2＝9，解可得a＝±3，
故答案为：±3．
14．【解答】解：由弧长公式可得l=6π=π3r⇒r=18，
所以扇形面积为S=12lr=12×6π×18=54π．
故答案为：54π．
15．【解答】解：f（x）＝x|x﹣a|+2x=x2−(a−2)x，x≥a−x2+(a+2)x，x＜a，
若a≥2，则a−22＜a+22≤a，
∴f（x）在[a，+∞）为增函数，在(−∞，a+22]上为增函数，在(a+22，a)为减函数．
∵y＝f（x）﹣tf（a） 有三个不同的零点，
∴y＝f（x）与直线y＝tf（a）有三个不同的交点，
故2a＜tf(a)＜−(a+22)2+(a+2)22在（2，3]有解，
整理得2a＜2at＜(a+2)24，即1＜t＜(a+2)28a=18(a+4a+4)．
∵2＜a≤3，∴18(a+4a+4)≤2524，∴1＜t＜2524．
∴t的取值范围是(1，2524)．
故答案为：(1，2524)．
16．【解答】解：由题意可得，|BC→|=2|AB→|，
则由AB→⋅BC→=−|AB→|2，可得|AB→|⋅|BC→|cs〈AB→，BC→〉=−|AB→|2，
求得cs〈AB→，BC→〉=−12，则cs〈BA→，BC→〉=12，
又〈BA→，BC→〉∈(0，π)，则∠ABC=π3，三角形ABD为等边三角形．
过点B作BE⊥AD于E，则BE=3，故AD＝2，
则T＝4，故ω=2π4=π2．
故答案为：π2．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2﹣1，
∴f（x）定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣1＝x2﹣1＝f（x），
∴f（x）＝x2﹣1是偶函数；
（2）∵f（x）＝x2+2x，
∴f（x）定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x≠±f（x），
∴f（x）＝x2+2x是非奇非偶函数；
（3）∵f（x）＝x3﹣x，
∴f（x）定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），
∴f（x）＝x3﹣x是奇函数；
（4）∵f（x）＝x2，x∈[﹣1，3]，
∴f（x）的定义域[﹣1，3]关于坐标原点不对称，
∴f（x）＝x2，x∈[﹣1，3]是非奇非偶函数；
（5）∵f（x）＝﹣|x|，
∴f（x）定义域为R，f（﹣x）＝﹣|﹣x|＝﹣|x|＝f（x），
∴f（x）＝﹣|x|是偶函数；
（6）∵f（x）＝1，
∴f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝1＝f（x），
∴f（x）＝1是偶函数．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵f(x)=3x−2−x3x+2−x=3x⋅2x−13x⋅2x+1=6x−16x+1=1−26x+1，其定义域为R，
∴f（x）是R上的增函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则f(x1)−f(x2)=26x2+1−26x1+1=2(6x1−6x2)(6x2+1)(6x1+1)，
∵x1＜x2，∴6x1−6x2＜0，6x2+1＞0，6x1+1＞0，
∴2(6x1−6x2)(6x2+1)(6x1+1)＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）不等式f（t2﹣2t）＞f（﹣2t2+k）恒成立⇔t2﹣2t＞﹣2t2+k对任意t∈R恒成立⇔k＜（3t2﹣2t）min，
而y=3t2−2t=3(t−13)2−13的最小值为−13（t=13时取得）
故k＜−13．
（注：也可以由t2﹣2t＞﹣2t2+k对任意t∈R恒成立⇔3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，则Δ＝4+12k＜0，故k＜−13）
19．【解答】解：（1）函数y＝2sin（12x+π6）的振幅是2、周期是2π12=4π、初相为π6；
（2）列表：
描点并用平滑曲线连接，
（3）把y＝sinx的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin（x+π6）的图象，再把所得图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin（12x+π6）的图象，最后把所得图象上点的横坐标不变，
纵坐标扩大到原来的2倍得到y＝2sin（12x+π6）的图象．
20．【解答】解：（1）设产品单价为a元，
∵产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
∴k＝502×100＝250000，则a=500x，
∴总利润y=500x−275x3−1200，x∈（0，+∞）；
（2）由（1）得y′=250x−225x2，
由y'＝0得x＝25，由y'＞0得0＜x＜25，由y'＜0得x＞25，
∴y=500x−275x3−1200在（0，25）上单调递增，在（25，+∞）上单调递减，
∴当x＝25时，y取极大值且为最大值，
当x定为25件时，总利润最大．
21．【解答】解：f(x)=2sinxcsx+23sin2x−3=sin2x−3cs2x=2sin(2x−π3)，
（1）f（x）的最小正周期T=2π2=π，
要求f（x）的单调递减区间，只需：π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为[5π12+kπ，11π12+kπ]k∈Z；
（2）由（1）知f（x）的单调递减区间为[5π12+kπ，11π12+kπ]k∈Z，
由x∈[π4，π2]，则f（x）在[π4，5π12]上单调递增，在[5π12，π2]上单调递减，
且f(5π12)=2，f(π4)=1，f(π2)=3，
故f（x）min＝1，f（x）max＝2；
（3）因为f（x0−π6）=1013，x0∈[3π4，π]，
所以sin(2x0−2π3)=513，因为2x0−2π3∈[5π6，4π3]，
所以cs(2x0−2π3)=−1213，
所以sin2x0＝sin[（2x0−2π3）+2π3]
＝sin（2x0−2π3）cs2π3+cs（2x0−2π3）sin2π3
=513×(−12)+(−1213)×32
=−5+12326．
22．【解答】解：（1）证明：因为a⊕b＝ln（ea+eb），
所以a⊕b＝ln（ea+eb）+c，
因为（a+c）⊕（b+c）＝ln（ea+c+eb+c）＝ln[（ea+eb）⋅ec]＝ln（ea+eb）+lnec＝ln（ea+eb）+c，
所以a⊕b＝（a+c）⊕（b+c）．
（2）因为(a+b)⊕(b−c)=ln(ea+b+eb−c)=ln(etx2+x+1+etx2+x+3)=ln[etx2+x+1(1+e2)]=lnetx2+x+1+ln(e2+1)，
所以f(x)=lnetx2+x+1=tx2+x+1，函数定义域为（0，+∞），
易知f（x）＝tx2+x+1是开口向上的二次函数，对称轴为x=−12t，
因为x2﹣x1＝1，
不妨设x1+x2≥−1t，
当x1≥−12t时，f（x）在[x1，x2]上单调递增，
所以f(x2)−f(x1)=(tx22+x2+1)−(tx12+x1+1)=t[(x1+1)2−x12]+1=2tx1+t+1≥1，
即2t⋅(−12t)+t+1≥1，
解得t≥1，
当x1＜−12t，即x2＞−12t时，
易知f（x）在[x1，−12t)内单调递减，[−12t，x2)内单调递增，
又f(x2)−f(−12t)=(tx22+x2+1)−(1−14t)=t(x2+12t)2≥1，
由x2−x1=1x1+x2≥−1t，
可得x2−1+x2=2x2−1≥−1t，
即x2+12t≥12，
则(x2+12t)2≥14，
所以14t≥1，
解得t≥4，
故正数t的最小值为4． x
−π3
2π3
5π3
8π3
11π3
12x+π6
0
π2
π
3π2
2π
y
0
2
0
﹣2
0