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    2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期12月阶段性检测数学试题(含解析)
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    2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期12月阶段性检测数学试题(含解析)

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    这是一份2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期12月阶段性检测数学试题(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.设集合A={4,5,7,8},B={2,3,5,6,7},则A∩B=( )
    A. {2,3,4,5,6,7,8}B. {5,7}C. {5,7,8}D. {6,7,8}
    2.命题“∃x∈N, x2−1∈N”的否定是( )
    A. ∀x∉N, x2−1∉NB. ∀x∈N, x2−1∈N
    C. ∃x∈N, x2−1∉ND. ∀x∈N, x2−1∉N
    3.已知集合M={x|2x+1>0},N={x|x2−2x−8≥0},则M∩(∁RN)=( )
    A. {x|−12C. {x|−124.在同一直角坐标系中,函数f(x)=ax,g(x)=xa(x≥0)的图象可能是( )
    A. B.
    C. D.
    5.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,14),则( )
    A. f(x)定义域为R.B. f(x)是偶函数.
    C. f(x)是减函数.D. f(x)的图象关于原点中心对称.
    6.设函数f(x)=(13)2x2−ax在[2,+∞)上为减函数,则a的取值范围是( )
    A. [8,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4]D. (−∞,8]
    7.已知a,b∈N,则“a2−b2为偶数”是“a−b为偶数”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    8.若lg12(lg2x)=lg13(lg3y)=lg15(lg5z)=1,则( )
    A. x二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.函数f(x)=lgax(a>0且a≠1),下列说法正确的是( )
    A. f(x)为增函数.
    B. 函数f(x)的图象过定点(1,0).
    C. 当01时,f(x)>0.
    D. 若点(2,1)在f(x)的图象上,则f(14)=−2.
    10.函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)单调递减,f(1)=1,若函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称,则下列结论正确的是( )
    A. y=f(x)的图象关于直线x=2对称.B. f(x)为偶函数.
    C. ∀x∈R,f(x)≤f(0)恒成立D. f(x)>1的解集为(−1,1).
    11.已知a>0,b>0且2a+b=1则下列说法正确的有.( )
    A. 4a+2b≥2 2B. lg2a+lg2b≤−3
    C. 4a2+b2+2ab≤34D. 2a+ b≤ 2
    12.函数f(x)=x|x|+ax+b,下面的结论正确的是( )
    A. 函数f(x)的图象为中心对称图形B. 存在a,b使得f(x)有三个零点
    C. 当且仅当a2−4b≥0时,f(x)有零点D. 存在a,b使得f(x)有两个零点
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.函数f(x)= x+3+lg(−x2−3x+10)的定义域是 .
    14.设函数f(x)=ex,x⩽1lnx,x>1,则f(f(ln2))= ,若f(a)=3,则a= .
    15.a=1lg1213+1lg1513∈(k,k+1),k∈Z,则k=
    16.函数f(x)在R上单调递增,f[f(x)−3x]=2,则f(32)= .
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    已知实数a≥6,集合A={x|2a+1≤x≤3a−5},B={x|(3−x)(x−22)≥0}.
    (1)当a=10时,求∁RA及A∪B.
    (2)当A∩B=A时,求实数a的取值范围.
    18.(本小题12分)
    (1)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,求证
    ①lga(MN)=lgaM+lgaN;
    ②lgaMn=nlgaM(n∈R)
    (2)如果a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1,求证lgab=lgcblgca,
    19.(本小题12分)
    已知函数f(x)=x2−ax+b
    (1)若不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞),求实数a,b的值;
    (2)当f(−1)=0时,
    (ⅰ)解关于x的不等式f(x)>0;
    (ⅱ)若存在x∈[1,2],使得f(x)≤0,求实数a的取值范围.
    20.(本小题12分)
    经验表明,某种日照绿茶用80℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时,饮用口感最佳.为方便控制水温,某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型:若物体的初始温度是θ1℃,室温是θ0℃,则经过时间t(单位:分钟)后物体的温度θ(单位:℃)满足θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt,其中k为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法,测得200mL初始温度为85℃的茶水,放在室温25℃的环境中自然冷却,10分钟以后茶水的温度降至55℃.
    (1)求k的值;
    (2)当室温为20℃时,若该种日照绿茶用80℃的水泡制,则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?(结果精确到0.1)
    (附:参考值ln2≈0.7,ln3≈1.1)
    21.(本小题12分)
    我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,这一结论可将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)−n为奇函数.已知函数f(x)=23x−1+1.
    (1)利用上述结论,证明:f(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形;
    (2)判断并利用定义证明函数f(x)的单调性.
    22.(本小题12分)
    已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x3m−2是偶函数.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)若f(2x−3)(3)若g(x)=x2−ax+1,对任意x1∈[−1,2],都存在唯一x2∈[−2,4],使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题考查交集运算,属于基础题,
    根据交集的概念进行计算.
    【解答】
    解:因为A={4,5,7,8},B={2,3,5,6,7}
    所以
    2.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题.
    根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可.
    【解答】解:存在量词命题的否定是全称量词命题得,
    “∃x∈N, x2−1∈N”的否定是“∀x∈N, x2−1∉N”.
    3.【答案】A
    【解析】【分析】本题考查了补集和交集运算,属于基础题.
    先化简集合M、N,再求M∩(CRN)即可.
    【解答】解:由题意可得,M={x|x>−12},N={x|x≤−2或x≥4},则CRN={x|−24.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了指数函数和幂函数的图象和性质,属于基础题.
    分a>1和0【解答】
    解:当a>1时,函数f(x)=ax,g(x)=xa(x≥0)的图象如图1所示,此时无满足要求的答案;
    当0故C正确.
    5.【答案】B
    【解析】【分析】本题考查幂函数解析式和性质,属于基础题.
    先求出幂函数的函数解析式,再根据幂函数的性质逐项判断即可.
    解:幂函数f(x)=xα,图象过点(2,14),∴2α=14∴α=−2,∴f(x )=x−2=1x2,
    定义域是(−∞,0)∪(0,+∞),A错误;
    函数f(x)在(0,+∞)单调递减,在(−∞,0)单调递增,C错误;
    f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)∴f(x)是偶函数,B正确,D错误.
    6.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查复合函数的单调性,属于基础题.
    由题意可知只需u=2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递增,进而求解即可.
    【解答】
    解:因为y=(13)u在(−∞,+∞)上单调递减,
    要使函数f(x)=(13)2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递减,
    只需u=2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递增,
    所以a4≤2,解得a≤8,
    即a的取值范围是(−∞,8].
    7.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题主要考查充分条件和必要条件的判断,属于基础题.
    根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
    【解答】
    解:a,b∈N,有四种情况,
    ①a为偶数,b为偶数,则a2−b2为偶数且a−b为偶数;
    ②a为偶数,b为奇数,则a2−b2为奇数且a−b为奇数;
    ③a为奇数,b为偶数,则a2−b2为奇数且a−b为奇数;
    ④a为奇数,b为奇数,则a2−b2为偶数且a−b为偶数;
    ∴“a2−b2为偶数”是“a−b为偶数”的充要条件.
    故选:C.
    8.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查指对互化,利用指数函数的图象与性质比较大小,属于中档题.
    由题意x=212=816=32110,y=313=916,z=515=25110,利用指数函数的单调性比较大小.
    【解答】
    解:由题意x=212=816=32110,y=313=916,z=515=25110,
    所以z故选:C.
    9.【答案】BD
    【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质,对数的运算性质,属于基础题.
    利用对数函数的图象与性质,对数的运算性质,逐一判断即可。
    【解答】解:当a>1时,f(x)是增函数,0函数f(x)的图象过定点(1,0),B正确;
    当01时,f(x)<0,C错误:
    若点(2,1)在f(x)的图象上,则lga2=1,a=2,f(14)=lg214=−2,D正确.
    10.【答案】BCD
    【解析】【分析】
    本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性和不等式的求解,是中档题.
    先由函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称,得f(x)为偶函数,再结合函数单调性、奇偶性的综合应用求解即可.
    【解答】
    解:解:∵f(x−1)的图象关于直线x=1对称,
    ∴f(1+x−1)=f(1−x−1),即f(x)=f(−x).
    所以f(x)为偶函数,图象关于x=0对称,所以A错误,B正确;
    由f(x)在[0,+∞)单调递减,知f(x)在(−∞,0)单调递减,
    所以∀x∈R,f(x)≤f(0)恒成立,所以C正确;
    因为f(1)=1,所以f(x)>1⇔f(x)>f(1)⇔|x|<1,得−111.【答案】ABD
    【解析】【分析】
    本题考查考查基本不等式,属于中档题.
    利用基本不等式判断ABCD即可.
    【解答】
    解:因为a>0,b>0且2a+b=1,4a+2b≥2 22a+b=2 2,
    当且仅当2a=b=12时等号成立,故A正确;
    ∵2a+b=1≥2 2ab,∴ab≤18,
    故lg2a+lg2b=lg2ab≤−3,故B正确;
    4a2+b2+2ab=(2a+b)2−2ab=1−2ab≥1−(2a+b2)2=34,
    即4a2+b2+2ab≥34,故C错误;
    ( 2a+ b)2=2a+b+2 2ab≤2,
    ∴ 2a+ b≤ 2,故D正确.
    故选ABD.
    12.【答案】ABD
    【解析】【分析】
    本题考查了函数图像的对称性及零点的存在问题,属于较难题。
    由f(−x)+f(x)=2b,可判定f(x)关于点(0,b)中心对称,可得判定A正确,举出特例,结合二次函数图象与性质,利用函数零点的概念,逐项判定,即可求解.
    【解答】
    对于A中,由f(x)=x|x|+ax+b,可得
    f(−x)+f(x)=−x|−x|+a(−x)+b+x|x|+ax+b=2b
    即f(−x)+f(x)=2b,所以函数f(x)关于点(0,b)中心对称,所以A正确,
    对于B中,例如a=−2,b=0时,函数
    f(x)=x |x|−2x=x 2−2x ( x⩾0)−x 2−2x (x<0)
    此时函数f(x)的图象,如图(1)所示,此时方程f(x)=0有3个实数解,
    即函数y=f(x)有3个零点,所以B正确;
    对于C中,例如:a=−2,b=2时,函数f(x)=x|x|−2x+2=x 2−2x+2 ( x⩾0)−x 2−2x+2 (x<0)此时函数f(x)的图象,如图(2)所示,
    此时a2−4b<0,但方程f(x)=0有一个实数解,即函数y=f(x)有1个零点,
    所以C错误;
    对于D中,例如:a=−2,b=1时,函数f(x)=x|x|−2x+1=
    x 2−2x+1 ( x⩾0)−x 2−2x+1 (x<0)此时函数f(x)的图象,如图(3)所示,此时方程f(x)=0仅有2个实数解,即函数y=f(x)有2个零点,
    所以D正确.
    故选:ABD.
    13.【答案】[−3,2)
    【解析】【分析】
    本题考查求函数的定义域,属于基础题.
    由题意x+3≥0−x2−3x+10>0,解不等式组即可.
    【解答】解:由题意x+3≥0−x2−3x+10>0⇒x≥−3−5故函数f(x)的定义域是[−3,2)
    14.【答案】In2
    e3

    【解析】【分析】
    本题考查分段函数求函数值和由函数值求参数,属于基础题.
    先求f(ln2),再求f(f(ln2))即可;
    由f(a)=3,得ea=3a≤1或lna=3a>1,分情况求解即可.
    【解答】
    解:∵0∴f(ln2)=eln2=2,f(f(ln2))=f(2)=ln2.
    ∴f(f(ln2))=ln2.
    ∵f(a)=3,
    ∴ea=3a≤1或lna=3a>1
    ∴a=ln3a≤1(舍)或a=e3a>1
    ∴a=e3
    15.【答案】2
    【解析】【分析】
    本题考查对数运算和对数函数的性质,属于基础题.
    利用对数运算性质和对数函数的性质求出a∈(2,3),即可求k的值.
    【解答】
    解:a=1lg1213+1lg1513=lg1312+lg1315=lg13110=lg310∈(2,3).
    因为a∈(k,k+1),k∈Z,
    则k=2
    16.【答案】5
    【解析】【分析】
    本题考查函数的单调性和求函数值,属于一般题.
    换元,求出f(x)的解析式,再求函数值即可.
    【解答】解:a=1lg1213+1lg1513=lg1312+lg1315=lg13110=lg310∈(2,3).
    因为a∈(k,k+1),k∈Z,
    则k=2
    (4)
    解:设t=f(x)−3x,则f(t)=2,
    ∵函数f(x)在R上单调递增,
    ∴t为常值,
    则f(x)−3x=t,即f(x)=3x+t,即f(t)=3t+t=4t,
    ∴4t=2,解得t=12,
    ∴f(x)=3x+12,
    ∴f(32)=5.
    17.【答案】解:(1)当a=10,A={x|21≤x≤25},B={x|3≤x≤22},
    所以∁RA={x|x<21或x>25},A∪B={x|3≤x≤25}.
    (2)因为A∩B=A,所以A⊆B,
    因为a≥6,所以A≠⌀,
    则2a+1⩾33a−5⩽22a⩾6,解得6≤a≤9.
    实数a的取值范围为6≤a≤9.
    【解析】本题考查集合的运算和含参数的集合关系问题,属于基础题.
    (1)利用补集和并集运算即可求解;
    (2)由A∩B=A,得A⊆B因为a≥6,所以A≠⌀,列不等式组,解不等式组即可.
    18.【答案】
    (1) ①设lgaM=m,lgaN=n,
    则M=am,N=an,
    因为aman=am+n,
    所以MN=am+n.
    根据对数与指数间的关系可得lga(MN)=m+n,
    得lga(MN)=lgaM+lgaN
    ②设lgaM=m,
    则M=am,
    Mn=(am)n=anm,
    根据对数与指数间的关系可得lgaMn=mn,
    得lgaMn=nlgaM(n∈R)⋅
    (2)设lgab=x,则ax=b,
    于是lgcax=lgcb,
    根据(1)中的 ②得xlgca=lgcb
    即lgab=lgc blgc a.
    【解析】本题考查对数的运算法则和换底公式证明,属于中档题.
    (1)指对互化可得证.
    (2)设lgab=x,则ax=b,求对数后代(1)中的 ②可得.
    19.【答案】解:(1)∵不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)
    ∴x=1和x=3是方程x2−ax+b=0的两个根,
    ∴由韦达定理定理可得a=1+3=4b=1×3=3
    (2)由f(−1)=0可得1+a+b=0,即b=−a−1
    (i)∴f(x)=x2−ax−a−1=[x−(a+1)](x+1)
    ∴f(x)>0即[x−(a+1)](x+1)>0
    若a+1<−1即a<−2时,可得x−1;
    若a+1=−1即a=−2时,可得x≠−1;
    若a+1>−1即a>−2时,可得x<−1或x>a+1
    综上所述:
    当a<−2时,不等式的解集为{x|x−1};
    当a=−2时,不等式的解集为{x|x≠−1};
    当a>−2时,不等式的解集为{x|x<−1或x>a+1}
    (ii)由上一问可知,若存在x∈[1,2],使得f(x)≤0
    只需a+1≥1即可,所以a≥0
    【解析】本题考查二次不等式的解法,考查存在性问题,属于一般题.
    (1)由题意得x=1和x=3是方程x2−ax+b=0的两个根,利用韦达定理即可求解;
    (2)(i)转化为解[x−(a+1)](x+1)>0,对a进行分类讨论即可求解;
    (ii)由上一问可知,若存在x∈[1,2],使得f(x)≤0,只需a+1≥1即可,即可求a的范围.
    20.【答案】解:(1)由题意可知,θ(10)=55,θ0=25,θ1=85,
    ∴25+(85−25)e−10k=55
    化简,e−10k=12得,−10k=ln12,
    即:k=ln210=0.710=0.07;
    (2)设刚泡好的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感,
    由题意可知,θ1=80,θ0=20,
    令θ(t)=60,所以60=20+(80−20)e−ln210t,
    e−ln210t=23,ln210t=ln3−ln2
    所以t=10×(ln3−ln2)ln2=10×(1.1−0.7)0.7≈5.7,
    所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感.
    【解析】【分析】本题考查函数的实际应用、指对互化和对数式的化简求值与证明,属于中档题.
    (1)由25+(85−25)e−10k=55 解方程可得解;
    (2)令θ(t)=60,解方程可得解.
    21.【答案】证明:(1)因为f(x)=23x−1+1,令g(x)=f(x+1)−1,
    所以g(x)=23x+1−1=1−3x3x+1,
    因为函数g(x)的定义域为R,关于原点对称,
    又因为g(−x)=1−3−x3−x+1=3x−13x+1=−g(x)
    所以g(x)为奇函数,
    由题意可知,f(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形;
    (2)f(x)为减函数,
    ∵∀x1,x2∈R且x1∴f(x1)−f(x2)=23x1−1+1−23x2−1+1=2(3x2−1−3x−1)(3x1−1+1)(3x2−1+1)=6(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)
    因为x1,x2∈R且x1所以3x2−3x1>0,(3x1+1)(3x2+1)>0,
    所以f(x1)−f(x2)=6(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)>0,
    所以f(x1)>f(x2),
    所以f(x)为减函数.
    【解析】本题考查函数单调性和奇偶性的判断,属于中档题.
    (1)由题意判断函数f(x)的奇偶性,即可得证;
    (2)利用单调性的定义证明即可.
    22.【答案】解:(1)因为m2−3m+3=1,所以m=1或m=2,
    当m=1时,3m−2=1,当m=2时,3m−2=4,因为f(x)为偶函数,
    所以m=2,即f(x)=x4;
    (2)因为f(x)为偶函数,f(2x−3)又f(x)=x4在(0,+∞)上单调递增,所以|2x−3|<|1−x|,
    即(2x−3)2<(1−x)2,解得:43所以x∈(43,2);
    (3)对∀x1∈[−1,2],f(x)∈[0,16],即f(x)的值域为[0,16],
    所以对∀y∈[0,16],总存在唯一x2∈[−2,4],使得y=g(x2)成立,
    ①当a2≤−2时,即a≤−4时,g(x)在[−2,4]上单调递增,
    则g(−2)=4+2a+1≤0g(4)=16−4a+1≥16,解得a≤−4;
    ②当a2≥4时,即a≥8时,g(x)在[−2,4]上单调递减,
    则g(−2)=4+2a+1≥16g(4)=16−4a+1≤0,解得a≥8;
    ③当−2则g(−2)=4+2a+1≥16g(4)=16−4a+1<0或g(−2)=4+2a+1<0g(4)=16−4a+1≥16,
    解得112≤a<8或−4综上,实数a的取值范围为(−∞,−52)∪[112,+∞).
    【解析】本题考查了幂函数的概念,利用幂函数的图象与性质解不等式,二次函数的最值,属于中档题.
    (1)根据幂函数的概念及函数是偶函数即可求;
    (2)结合奇偶性和单调性即可解该不等式;
    (3)已知条件说明g(x)的值域包含f(x)的值域,进行讨论后即可求.
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