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2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期12月阶段性检测数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期12月阶段性检测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={4,5,7,8}，B={2,3,5,6,7}，则A∩B=( )
A. {2,3,4,5,6,7,8}B. {5,7}C. {5,7,8}D. {6,7,8}
2.命题“∃x∈N， x2−1∈N”的否定是( )
A. ∀x∉N， x2−1∉NB. ∀x∈N， x2−1∈N
C. ∃x∈N， x2−1∉ND. ∀x∈N， x2−1∉N
3.已知集合M={x|2x+1>0}，N={x|x2−2x−8≥0}，则M∩(∁RN)=( )
A. {x|−12C. {x|−124.在同一直角坐标系中，函数f(x)=ax，g(x)=xa(x≥0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,14)，则( )
A. f(x)定义域为R．B. f(x)是偶函数．
C. f(x)是减函数．D. f(x)的图象关于原点中心对称．
6.设函数f(x)=(13)2x2−ax在[2,+∞)上为减函数，则a的取值范围是( )
A. [8,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4]D. (−∞,8]
7.已知a，b∈N，则“a2−b2为偶数”是“a−b为偶数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.若lg12(lg2x)=lg13(lg3y)=lg15(lg5z)=1，则( )
A. x二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)，下列说法正确的是( )
A. f(x)为增函数．
B. 函数f(x)的图象过定点(1,0)．
C. 当01时，f(x)>0．
D. 若点(2,1)在f(x)的图象上，则f(14)=−2．
10.函数f(x)的定义域为R，且f(x)在[0,+∞)单调递减，f(1)=1，若函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论正确的是( )
A. y=f(x)的图象关于直线x=2对称．B. f(x)为偶函数．
C. ∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立D. f(x)>1的解集为(−1,1)．
11.已知a>0，b>0且2a+b=1则下列说法正确的有.( )
A. 4a+2b≥2 2B. lg2a+lg2b≤−3
C. 4a2+b2+2ab≤34D. 2a+ b≤ 2
12.函数f(x)=x|x|+ax+b，下面的结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象为中心对称图形B. 存在a，b使得f(x)有三个零点
C. 当且仅当a2−4b≥0时，f(x)有零点D. 存在a，b使得f(x)有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= x+3+lg(−x2−3x+10)的定义域是 ．
14.设函数f(x)=ex,x⩽1lnx,x>1，则f(f(ln2))= ，若f(a)=3，则a= ．
15.a=1lg1213+1lg1513∈(k,k+1)，k∈Z，则k=
16.函数f(x)在R上单调递增，f[f(x)−3x]=2，则f(32)= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知实数a≥6，集合A={x|2a+1≤x≤3a−5}，B={x|(3−x)(x−22)≥0}．
(1)当a=10时，求∁RA及A∪B.
(2)当A∩B=A时，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，求证
①lga(MN)=lgaM+lgaN;
②lgaMn=nlgaM(n∈R)
(2)如果a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1，求证lgab=lgcblgca，
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−ax+b
(1)若不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数a，b的值;
(2)当f(−1)=0时，
(ⅰ)解关于x的不等式f(x)>0;
(ⅱ)若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
经验表明，某种日照绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ1℃，室温是θ0℃，则经过时间t(单位：分钟)后物体的温度θ(单位：℃)满足θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃．
(1)求k的值;
(2)当室温为20℃时，若该种日照绿茶用80℃的水泡制，则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?(结果精确到0.1)
(附：参考值ln2≈0.7，ln3≈1.1)
21.(本小题12分)
我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，这一结论可将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)−n为奇函数.已知函数f(x)=23x−1+1．
(1)利用上述结论，证明：f(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形;
(2)判断并利用定义证明函数f(x)的单调性．
22.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x3m−2是偶函数．
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x−3)(3)若g(x)=x2−ax+1，对任意x1∈[−1,2]，都存在唯一x2∈[−2,4]，使得f(x1)=g(x2)，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题，
根据交集的概念进行计算．
【解答】
解：因为A={4,5,7,8}，B={2,3,5,6,7}
所以
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可．
【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题得，
“∃x∈N， x2−1∈N”的否定是“∀x∈N， x2−1∉N”.
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了补集和交集运算，属于基础题．
先化简集合M、N，再求M∩(CRN)即可．
【解答】解：由题意可得，M={x|x>−12}，N={x|x≤−2或x≥4}，则CRN={x|−24.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题．
分a>1和0【解答】
解：当a>1时，函数f(x)=ax，g(x)=xa(x≥0)的图象如图1所示，此时无满足要求的答案；
当0故C正确．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查幂函数解析式和性质，属于基础题．
先求出幂函数的函数解析式，再根据幂函数的性质逐项判断即可．
解：幂函数f(x)=xα，图象过点(2,14)，∴2α=14∴α=−2，∴f(x )=x−2=1x2，
定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，A错误;
函数f(x)在(0,+∞)单调递减，在(−∞,0)单调递增，C错误;
f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)∴f(x)是偶函数，B正确，D错误．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，属于基础题．
由题意可知只需u=2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递增，进而求解即可．
【解答】
解：因为y=(13)u在(−∞,+∞)上单调递减，
要使函数f(x)=(13)2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递减，
只需u=2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递增，
所以a4≤2，解得a≤8，
即a的取值范围是(−∞,8]．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：a，b∈N，有四种情况，
①a为偶数，b为偶数，则a2−b2为偶数且a−b为偶数；
②a为偶数，b为奇数，则a2−b2为奇数且a−b为奇数；
③a为奇数，b为偶数，则a2−b2为奇数且a−b为奇数；
④a为奇数，b为奇数，则a2−b2为偶数且a−b为偶数；
∴“a2−b2为偶数”是“a−b为偶数”的充要条件．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指对互化，利用指数函数的图象与性质比较大小，属于中档题．
由题意x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110，利用指数函数的单调性比较大小．
【解答】
解：由题意x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110，
所以z故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质，对数的运算性质，属于基础题．
利用对数函数的图象与性质，对数的运算性质，逐一判断即可。
【解答】解：当a>1时，f(x)是增函数，0函数f(x)的图象过定点(1,0)，B正确;
当01时，f(x)<0，C错误：
若点(2,1)在f(x)的图象上，则lga2=1，a=2，f(14)=lg214=−2，D正确．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性和不等式的求解，是中档题．
先由函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，得f(x)为偶函数，再结合函数单调性、奇偶性的综合应用求解即可．
【解答】
解：解：∵f(x−1)的图象关于直线x=1对称，
∴f(1+x−1)=f(1−x−1)，即f(x)=f(−x)．
所以f(x)为偶函数，图象关于x=0对称，所以A错误，B正确;
由f(x)在[0,+∞)单调递减，知f(x)在(−∞,0)单调递减，
所以∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立，所以C正确;
因为f(1)=1，所以f(x)>1⇔f(x)>f(1)⇔|x|<1，得−111.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查考查基本不等式，属于中档题．
利用基本不等式判断ABCD即可．
【解答】
解：因为a>0，b>0且2a+b=1，4a+2b≥2 22a+b=2 2，
当且仅当2a=b=12时等号成立，故A正确;
∵2a+b=1≥2 2ab，∴ab≤18，
故lg2a+lg2b=lg2ab≤−3，故B正确;
4a2+b2+2ab=(2a+b)2−2ab=1−2ab≥1−(2a+b2)2=34，
即4a2+b2+2ab≥34，故C错误;
( 2a+ b)2=2a+b+2 2ab≤2，
∴ 2a+ b≤ 2，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数图像的对称性及零点的存在问题，属于较难题。
由f(−x)+f(x)=2b，可判定f(x)关于点(0,b)中心对称，可得判定A正确，举出特例，结合二次函数图象与性质，利用函数零点的概念，逐项判定，即可求解．
【解答】
对于A中，由f(x)=x|x|+ax+b，可得
f(−x)+f(x)=−x|−x|+a(−x)+b+x|x|+ax+b=2b
即f(−x)+f(x)=2b，所以函数f(x)关于点(0,b)中心对称，所以A正确，
对于B中，例如a=−2，b=0时，函数
f(x)=x |x|−2x=x 2−2x ( x⩾0)−x 2−2x (x<0)
此时函数f(x)的图象，如图(1)所示，此时方程f(x)=0有3个实数解，
即函数y=f(x)有3个零点，所以B正确；
对于C中，例如：a=−2，b=2时，函数f(x)=x|x|−2x+2=x 2−2x+2 ( x⩾0)−x 2−2x+2 (x<0)此时函数f(x)的图象，如图(2)所示，
此时a2−4b<0，但方程f(x)=0有一个实数解，即函数y=f(x)有1个零点，
所以C错误；
对于D中，例如：a=−2，b=1时，函数f(x)=x|x|−2x+1=
x 2−2x+1 ( x⩾0)−x 2−2x+1 (x<0)此时函数f(x)的图象，如图(3)所示，此时方程f(x)=0仅有2个实数解，即函数y=f(x)有2个零点，
所以D正确．
故选：ABD．
13.【答案】[−3,2)
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
由题意x+3≥0−x2−3x+10>0，解不等式组即可．
【解答】解：由题意x+3≥0−x2−3x+10>0⇒x≥−3−5故函数f(x)的定义域是[−3,2)
14.【答案】In2
e3
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值和由函数值求参数，属于基础题．
先求f(ln2)，再求f(f(ln2))即可;
由f(a)=3，得ea=3a≤1或lna=3a>1，分情况求解即可．
【解答】
解：∵0∴f(ln2)=eln2=2，f(f(ln2))=f(2)=ln2.
∴f(f(ln2))=ln2.
∵f(a)=3，
∴ea=3a≤1或lna=3a>1
∴a=ln3a≤1(舍)或a=e3a>1
∴a=e3
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查对数运算和对数函数的性质，属于基础题．
利用对数运算性质和对数函数的性质求出a∈(2,3)，即可求k的值．
【解答】
解：a=1lg1213+1lg1513=lg1312+lg1315=lg13110=lg310∈(2,3)．
因为a∈(k,k+1)，k∈Z，
则k=2
16.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性和求函数值，属于一般题．
换元，求出f(x)的解析式，再求函数值即可．
【解答】解：a=1lg1213+1lg1513=lg1312+lg1315=lg13110=lg310∈(2,3)．
因为a∈(k,k+1)，k∈Z，
则k=2
(4)
解：设t=f(x)−3x，则f(t)=2，
∵函数f(x)在R上单调递增，
∴t为常值，
则f(x)−3x=t，即f(x)=3x+t，即f(t)=3t+t=4t，
∴4t=2，解得t=12，
∴f(x)=3x+12，
∴f(32)=5．
17.【答案】解：(1)当a=10，A={x|21≤x≤25}，B={x|3≤x≤22}，
所以∁RA={x|x<21或x>25}，A∪B={x|3≤x≤25}．
(2)因为A∩B=A，所以A⊆B，
因为a≥6，所以A≠⌀，
则2a+1⩾33a−5⩽22a⩾6，解得6≤a≤9.
实数a的取值范围为6≤a≤9.
【解析】本题考查集合的运算和含参数的集合关系问题，属于基础题．
(1)利用补集和并集运算即可求解;
(2)由A∩B=A，得A⊆B因为a≥6，所以A≠⌀，列不等式组，解不等式组即可．
18.【答案】
(1) ①设lgaM=m，lgaN=n，
则M=am，N=an，
因为aman=am+n，
所以MN=am+n．
根据对数与指数间的关系可得lga(MN)=m+n，
得lga(MN)=lgaM+lgaN
②设lgaM=m，
则M=am，
Mn=(am)n=anm，
根据对数与指数间的关系可得lgaMn=mn，
得lgaMn=nlgaM(n∈R)⋅
(2)设lgab=x，则ax=b，
于是lgcax=lgcb，
根据(1)中的 ②得xlgca=lgcb
即lgab=lgc blgc a．
【解析】本题考查对数的运算法则和换底公式证明，属于中档题．
(1)指对互化可得证．
(2)设lgab=x，则ax=b，求对数后代(1)中的 ②可得．
19.【答案】解：(1)∵不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)
∴x=1和x=3是方程x2−ax+b=0的两个根，
∴由韦达定理定理可得a=1+3=4b=1×3=3
(2)由f(−1)=0可得1+a+b=0，即b=−a−1
(i)∴f(x)=x2−ax−a−1=[x−(a+1)](x+1)
∴f(x)>0即[x−(a+1)](x+1)>0
若a+1<−1即a<−2时，可得x−1;
若a+1=−1即a=−2时，可得x≠−1;
若a+1>−1即a>−2时，可得x<−1或x>a+1
综上所述：
当a<−2时，不等式的解集为{x|x−1};
当a=−2时，不等式的解集为{x|x≠−1};
当a>−2时，不等式的解集为{x|x<−1或x>a+1}
(ii)由上一问可知，若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0
只需a+1≥1即可，所以a≥0
【解析】本题考查二次不等式的解法，考查存在性问题，属于一般题．
(1)由题意得x=1和x=3是方程x2−ax+b=0的两个根，利用韦达定理即可求解;
(2)(i)转化为解[x−(a+1)](x+1)>0，对a进行分类讨论即可求解;
(ii)由上一问可知，若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0，只需a+1≥1即可，即可求a的范围．
20.【答案】解：(1)由题意可知，θ(10)=55，θ0=25，θ1=85，
∴25+(85−25)e−10k=55
化简，e−10k=12得，−10k=ln12，
即：k=ln210=0.710=0.07；
(2)设刚泡好的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，θ1=80，θ0=20，
令θ(t)=60，所以60=20+(80−20)e−ln210t，
e−ln210t=23,ln210t=ln3−ln2
所以t=10×(ln3−ln2)ln2=10×(1.1−0.7)0.7≈5.7，
所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感．
【解析】【分析】本题考查函数的实际应用、指对互化和对数式的化简求值与证明，属于中档题．
(1)由25+(85−25)e−10k=55 解方程可得解；
(2)令θ(t)=60，解方程可得解．
21.【答案】证明：(1)因为f(x)=23x−1+1，令g(x)=f(x+1)−1，
所以g(x)=23x+1−1=1−3x3x+1，
因为函数g(x)的定义域为R，关于原点对称，
又因为g(−x)=1−3−x3−x+1=3x−13x+1=−g(x)
所以g(x)为奇函数，
由题意可知，f(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形;
(2)f(x)为减函数，
∵∀x1，x2∈R且x1∴f(x1)−f(x2)=23x1−1+1−23x2−1+1=2(3x2−1−3x−1)(3x1−1+1)(3x2−1+1)=6(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)
因为x1，x2∈R且x1所以3x2−3x1>0，(3x1+1)(3x2+1)>0，
所以f(x1)−f(x2)=6(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)为减函数．
【解析】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于中档题．
(1)由题意判断函数f(x)的奇偶性，即可得证；
(2)利用单调性的定义证明即可．
22.【答案】解：(1)因为m2−3m+3=1，所以m=1或m=2，
当m=1时，3m−2=1，当m=2时，3m−2=4，因为f(x)为偶函数，
所以m=2，即f(x)=x4；
(2)因为f(x)为偶函数，f(2x−3)又f(x)=x4在(0,+∞)上单调递增，所以|2x−3|<|1−x|，
即(2x−3)2<(1−x)2，解得：43所以x∈(43,2)；
(3)对∀x1∈[−1,2]，f(x)∈[0,16]，即f(x)的值域为[0,16]，
所以对∀y∈[0,16]，总存在唯一x2∈[−2,4]，使得y=g(x2)成立，
①当a2≤−2时，即a≤−4时，g(x)在[−2,4]上单调递增，
则g(−2)=4+2a+1≤0g(4)=16−4a+1≥16，解得a≤−4；
②当a2≥4时，即a≥8时，g(x)在[−2,4]上单调递减，
则g(−2)=4+2a+1≥16g(4)=16−4a+1≤0，解得a≥8；
③当−2则g(−2)=4+2a+1≥16g(4)=16−4a+1<0或g(−2)=4+2a+1<0g(4)=16−4a+1≥16，
解得112≤a<8或−4综上，实数a的取值范围为(−∞,−52)∪[112，+∞).
【解析】本题考查了幂函数的概念，利用幂函数的图象与性质解不等式，二次函数的最值，属于中档题．
(1)根据幂函数的概念及函数是偶函数即可求；
(2)结合奇偶性和单调性即可解该不等式；
(3)已知条件说明g(x)的值域包含f(x)的值域，进行讨论后即可求．
1.设集合A={4,5,7,8}，B={2,3,5,6,7}，则A∩B=( )
A. {2,3,4,5,6,7,8}B. {5,7}C. {5,7,8}D. {6,7,8}
2.命题“∃x∈N， x2−1∈N”的否定是( )
A. ∀x∉N， x2−1∉NB. ∀x∈N， x2−1∈N
C. ∃x∈N， x2−1∉ND. ∀x∈N， x2−1∉N
3.已知集合M={x|2x+1>0}，N={x|x2−2x−8≥0}，则M∩(∁RN)=( )
A. {x|−12
A. B.
C. D.
5.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,14)，则( )
A. f(x)定义域为R．B. f(x)是偶函数．
C. f(x)是减函数．D. f(x)的图象关于原点中心对称．
6.设函数f(x)=(13)2x2−ax在[2,+∞)上为减函数，则a的取值范围是( )
A. [8,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4]D. (−∞,8]
7.已知a，b∈N，则“a2−b2为偶数”是“a−b为偶数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.若lg12(lg2x)=lg13(lg3y)=lg15(lg5z)=1，则( )
A. x
9.函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)，下列说法正确的是( )
A. f(x)为增函数．
B. 函数f(x)的图象过定点(1,0)．
C. 当0
D. 若点(2,1)在f(x)的图象上，则f(14)=−2．
10.函数f(x)的定义域为R，且f(x)在[0,+∞)单调递减，f(1)=1，若函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论正确的是( )
A. y=f(x)的图象关于直线x=2对称．B. f(x)为偶函数．
C. ∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立D. f(x)>1的解集为(−1,1)．
11.已知a>0，b>0且2a+b=1则下列说法正确的有.( )
A. 4a+2b≥2 2B. lg2a+lg2b≤−3
C. 4a2+b2+2ab≤34D. 2a+ b≤ 2
12.函数f(x)=x|x|+ax+b，下面的结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象为中心对称图形B. 存在a，b使得f(x)有三个零点
C. 当且仅当a2−4b≥0时，f(x)有零点D. 存在a，b使得f(x)有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= x+3+lg(−x2−3x+10)的定义域是 ．
14.设函数f(x)=ex,x⩽1lnx,x>1，则f(f(ln2))= ，若f(a)=3，则a= ．
15.a=1lg1213+1lg1513∈(k,k+1)，k∈Z，则k=
16.函数f(x)在R上单调递增，f[f(x)−3x]=2，则f(32)= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知实数a≥6，集合A={x|2a+1≤x≤3a−5}，B={x|(3−x)(x−22)≥0}．
(1)当a=10时，求∁RA及A∪B.
(2)当A∩B=A时，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，求证
①lga(MN)=lgaM+lgaN;
②lgaMn=nlgaM(n∈R)
(2)如果a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1，求证lgab=lgcblgca，
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−ax+b
(1)若不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数a，b的值;
(2)当f(−1)=0时，
(ⅰ)解关于x的不等式f(x)>0;
(ⅱ)若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
经验表明，某种日照绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ1℃，室温是θ0℃，则经过时间t(单位：分钟)后物体的温度θ(单位：℃)满足θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃．
(1)求k的值;
(2)当室温为20℃时，若该种日照绿茶用80℃的水泡制，则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?(结果精确到0.1)
(附：参考值ln2≈0.7，ln3≈1.1)
21.(本小题12分)
我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，这一结论可将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)−n为奇函数.已知函数f(x)=23x−1+1．
(1)利用上述结论，证明：f(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形;
(2)判断并利用定义证明函数f(x)的单调性．
22.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x3m−2是偶函数．
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x−3)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题，
根据交集的概念进行计算．
【解答】
解：因为A={4,5,7,8}，B={2,3,5,6,7}
所以
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可．
【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题得，
“∃x∈N， x2−1∈N”的否定是“∀x∈N， x2−1∉N”.
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了补集和交集运算，属于基础题．
先化简集合M、N，再求M∩(CRN)即可．
【解答】解：由题意可得，M={x|x>−12}，N={x|x≤−2或x≥4}，则CRN={x|−2
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题．
分a>1和0
解：当a>1时，函数f(x)=ax，g(x)=xa(x≥0)的图象如图1所示，此时无满足要求的答案；
当0
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查幂函数解析式和性质，属于基础题．
先求出幂函数的函数解析式，再根据幂函数的性质逐项判断即可．
解：幂函数f(x)=xα，图象过点(2,14)，∴2α=14∴α=−2，∴f(x )=x−2=1x2，
定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，A错误;
函数f(x)在(0,+∞)单调递减，在(−∞,0)单调递增，C错误;
f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)∴f(x)是偶函数，B正确，D错误．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，属于基础题．
由题意可知只需u=2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递增，进而求解即可．
【解答】
解：因为y=(13)u在(−∞,+∞)上单调递减，
要使函数f(x)=(13)2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递减，
只需u=2x2−ax在区间[2,+∞)上单调递增，
所以a4≤2，解得a≤8，
即a的取值范围是(−∞,8]．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：a，b∈N，有四种情况，
①a为偶数，b为偶数，则a2−b2为偶数且a−b为偶数；
②a为偶数，b为奇数，则a2−b2为奇数且a−b为奇数；
③a为奇数，b为偶数，则a2−b2为奇数且a−b为奇数；
④a为奇数，b为奇数，则a2−b2为偶数且a−b为偶数；
∴“a2−b2为偶数”是“a−b为偶数”的充要条件．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指对互化，利用指数函数的图象与性质比较大小，属于中档题．
由题意x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110，利用指数函数的单调性比较大小．
【解答】
解：由题意x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110，
所以z
9.【答案】BD
【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质，对数的运算性质，属于基础题．
利用对数函数的图象与性质，对数的运算性质，逐一判断即可。
【解答】解：当a>1时，f(x)是增函数，0
当0
若点(2,1)在f(x)的图象上，则lga2=1，a=2，f(14)=lg214=−2，D正确．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性和不等式的求解，是中档题．
先由函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，得f(x)为偶函数，再结合函数单调性、奇偶性的综合应用求解即可．
【解答】
解：解：∵f(x−1)的图象关于直线x=1对称，
∴f(1+x−1)=f(1−x−1)，即f(x)=f(−x)．
所以f(x)为偶函数，图象关于x=0对称，所以A错误，B正确;
由f(x)在[0,+∞)单调递减，知f(x)在(−∞,0)单调递减，
所以∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立，所以C正确;
因为f(1)=1，所以f(x)>1⇔f(x)>f(1)⇔|x|<1，得−1
【解析】【分析】
本题考查考查基本不等式，属于中档题．
利用基本不等式判断ABCD即可．
【解答】
解：因为a>0，b>0且2a+b=1，4a+2b≥2 22a+b=2 2，
当且仅当2a=b=12时等号成立，故A正确;
∵2a+b=1≥2 2ab，∴ab≤18，
故lg2a+lg2b=lg2ab≤−3，故B正确;
4a2+b2+2ab=(2a+b)2−2ab=1−2ab≥1−(2a+b2)2=34，
即4a2+b2+2ab≥34，故C错误;
( 2a+ b)2=2a+b+2 2ab≤2，
∴ 2a+ b≤ 2，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数图像的对称性及零点的存在问题，属于较难题。
由f(−x)+f(x)=2b，可判定f(x)关于点(0,b)中心对称，可得判定A正确，举出特例，结合二次函数图象与性质，利用函数零点的概念，逐项判定，即可求解．
【解答】
对于A中，由f(x)=x|x|+ax+b，可得
f(−x)+f(x)=−x|−x|+a(−x)+b+x|x|+ax+b=2b
即f(−x)+f(x)=2b，所以函数f(x)关于点(0,b)中心对称，所以A正确，
对于B中，例如a=−2，b=0时，函数
f(x)=x |x|−2x=x 2−2x ( x⩾0)−x 2−2x (x<0)
此时函数f(x)的图象，如图(1)所示，此时方程f(x)=0有3个实数解，
即函数y=f(x)有3个零点，所以B正确；
对于C中，例如：a=−2，b=2时，函数f(x)=x|x|−2x+2=x 2−2x+2 ( x⩾0)−x 2−2x+2 (x<0)此时函数f(x)的图象，如图(2)所示，
此时a2−4b<0，但方程f(x)=0有一个实数解，即函数y=f(x)有1个零点，
所以C错误；
对于D中，例如：a=−2，b=1时，函数f(x)=x|x|−2x+1=
x 2−2x+1 ( x⩾0)−x 2−2x+1 (x<0)此时函数f(x)的图象，如图(3)所示，此时方程f(x)=0仅有2个实数解，即函数y=f(x)有2个零点，
所以D正确．
故选：ABD．
13.【答案】[−3,2)
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
由题意x+3≥0−x2−3x+10>0，解不等式组即可．
【解答】解：由题意x+3≥0−x2−3x+10>0⇒x≥−3−5
14.【答案】In2
e3
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值和由函数值求参数，属于基础题．
先求f(ln2)，再求f(f(ln2))即可;
由f(a)=3，得ea=3a≤1或lna=3a>1，分情况求解即可．
【解答】
解：∵0
∴f(f(ln2))=ln2.
∵f(a)=3，
∴ea=3a≤1或lna=3a>1
∴a=ln3a≤1(舍)或a=e3a>1
∴a=e3
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查对数运算和对数函数的性质，属于基础题．
利用对数运算性质和对数函数的性质求出a∈(2,3)，即可求k的值．
【解答】
解：a=1lg1213+1lg1513=lg1312+lg1315=lg13110=lg310∈(2,3)．
因为a∈(k,k+1)，k∈Z，
则k=2
16.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性和求函数值，属于一般题．
换元，求出f(x)的解析式，再求函数值即可．
【解答】解：a=1lg1213+1lg1513=lg1312+lg1315=lg13110=lg310∈(2,3)．
因为a∈(k,k+1)，k∈Z，
则k=2
(4)
解：设t=f(x)−3x，则f(t)=2，
∵函数f(x)在R上单调递增，
∴t为常值，
则f(x)−3x=t，即f(x)=3x+t，即f(t)=3t+t=4t，
∴4t=2，解得t=12，
∴f(x)=3x+12，
∴f(32)=5．
17.【答案】解：(1)当a=10，A={x|21≤x≤25}，B={x|3≤x≤22}，
所以∁RA={x|x<21或x>25}，A∪B={x|3≤x≤25}．
(2)因为A∩B=A，所以A⊆B，
因为a≥6，所以A≠⌀，
则2a+1⩾33a−5⩽22a⩾6，解得6≤a≤9.
实数a的取值范围为6≤a≤9.
【解析】本题考查集合的运算和含参数的集合关系问题，属于基础题．
(1)利用补集和并集运算即可求解;
(2)由A∩B=A，得A⊆B因为a≥6，所以A≠⌀，列不等式组，解不等式组即可．
18.【答案】
(1) ①设lgaM=m，lgaN=n，
则M=am，N=an，
因为aman=am+n，
所以MN=am+n．
根据对数与指数间的关系可得lga(MN)=m+n，
得lga(MN)=lgaM+lgaN
②设lgaM=m，
则M=am，
Mn=(am)n=anm，
根据对数与指数间的关系可得lgaMn=mn，
得lgaMn=nlgaM(n∈R)⋅
(2)设lgab=x，则ax=b，
于是lgcax=lgcb，
根据(1)中的 ②得xlgca=lgcb
即lgab=lgc blgc a．
【解析】本题考查对数的运算法则和换底公式证明，属于中档题．
(1)指对互化可得证．
(2)设lgab=x，则ax=b，求对数后代(1)中的 ②可得．
19.【答案】解：(1)∵不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)
∴x=1和x=3是方程x2−ax+b=0的两个根，
∴由韦达定理定理可得a=1+3=4b=1×3=3
(2)由f(−1)=0可得1+a+b=0，即b=−a−1
(i)∴f(x)=x2−ax−a−1=[x−(a+1)](x+1)
∴f(x)>0即[x−(a+1)](x+1)>0
若a+1<−1即a<−2时，可得x
若a+1=−1即a=−2时，可得x≠−1;
若a+1>−1即a>−2时，可得x<−1或x>a+1
综上所述：
当a<−2时，不等式的解集为{x|x
当a=−2时，不等式的解集为{x|x≠−1};
当a>−2时，不等式的解集为{x|x<−1或x>a+1}
(ii)由上一问可知，若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0
只需a+1≥1即可，所以a≥0
【解析】本题考查二次不等式的解法，考查存在性问题，属于一般题．
(1)由题意得x=1和x=3是方程x2−ax+b=0的两个根，利用韦达定理即可求解;
(2)(i)转化为解[x−(a+1)](x+1)>0，对a进行分类讨论即可求解;
(ii)由上一问可知，若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0，只需a+1≥1即可，即可求a的范围．
20.【答案】解：(1)由题意可知，θ(10)=55，θ0=25，θ1=85，
∴25+(85−25)e−10k=55
化简，e−10k=12得，−10k=ln12，
即：k=ln210=0.710=0.07；
(2)设刚泡好的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，θ1=80，θ0=20，
令θ(t)=60，所以60=20+(80−20)e−ln210t，
e−ln210t=23,ln210t=ln3−ln2
所以t=10×(ln3−ln2)ln2=10×(1.1−0.7)0.7≈5.7，
所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感．
【解析】【分析】本题考查函数的实际应用、指对互化和对数式的化简求值与证明，属于中档题．
(1)由25+(85−25)e−10k=55 解方程可得解；
(2)令θ(t)=60，解方程可得解．
21.【答案】证明：(1)因为f(x)=23x−1+1，令g(x)=f(x+1)−1，
所以g(x)=23x+1−1=1−3x3x+1，
因为函数g(x)的定义域为R，关于原点对称，
又因为g(−x)=1−3−x3−x+1=3x−13x+1=−g(x)
所以g(x)为奇函数，
由题意可知，f(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形;
(2)f(x)为减函数，
∵∀x1，x2∈R且x1
因为x1，x2∈R且x1
所以f(x1)−f(x2)=6(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)为减函数．
【解析】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于中档题．
(1)由题意判断函数f(x)的奇偶性，即可得证；
(2)利用单调性的定义证明即可．
22.【答案】解：(1)因为m2−3m+3=1，所以m=1或m=2，
当m=1时，3m−2=1，当m=2时，3m−2=4，因为f(x)为偶函数，
所以m=2，即f(x)=x4；
(2)因为f(x)为偶函数，f(2x−3)
即(2x−3)2<(1−x)2，解得：43
(3)对∀x1∈[−1,2]，f(x)∈[0,16]，即f(x)的值域为[0,16]，
所以对∀y∈[0,16]，总存在唯一x2∈[−2,4]，使得y=g(x2)成立，
①当a2≤−2时，即a≤−4时，g(x)在[−2,4]上单调递增，
则g(−2)=4+2a+1≤0g(4)=16−4a+1≥16，解得a≤−4；
②当a2≥4时，即a≥8时，g(x)在[−2,4]上单调递减，
则g(−2)=4+2a+1≥16g(4)=16−4a+1≤0，解得a≥8；
③当−2
解得112≤a<8或−4
【解析】本题考查了幂函数的概念，利用幂函数的图象与性质解不等式，二次函数的最值，属于中档题．
(1)根据幂函数的概念及函数是偶函数即可求；
(2)结合奇偶性和单调性即可解该不等式；
(3)已知条件说明g(x)的值域包含f(x)的值域，进行讨论后即可求．
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