2024年高考数学周训练【1】

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1．设平面向量，，且，则=（ ）
A．1B．14C． D．
2．向量，则（ ）
A．2B．C．D．
3．在中，角的对边分別为的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知角是第一象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A．升B．升C．升D．升
6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A．B．C．D．
7．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知等比数列的各项均为正数，若，，则（ ）
A．B．C．27D．
9．设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
10．已知等比数列满足，，则数列前8项的和为（ ）
A．254B．256C．510D．512
11．已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（ ）
A．65B．80C．90D．105
12．在等比数列中，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、解答题
13．在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和．
14．已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和．
15．的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．
16．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；(2)若为角的平分线，点在上，且，求的面积．
参考答案：
1．B
【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.
【详解】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
2．C
【分析】根据向量坐标表示可得，再由即可计算出.
【详解】由题意可得，
又，所以，解得；
故选：C
3．C
【分析】结合正弦定理，和余弦定理求出，进而得到，应用面积公式即可.
【详解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故选：C
4．C
【分析】先根据同角三角函数求出，利用两角和的余弦公式可得.
【详解】因为角是第一象限角，，
所以，
，
故选：C
5．C
【分析】设此等差数列为，公差为，由题意列方程求出，进而得解.
【详解】设此等差数列为，公差为，
由题意可得：
则，联立解得
故选：C．
6．D
【分析】利用等差数列和等比数列的性质分析运算即可得解.
【详解】解：∵数列是等差数列，且，
∴，可得，则.
∵数列是等比数列，∴，又由题意，
∴，∴，
∴，
∴.
故选：D．
7．A
【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，
设，则，于是，解得，所以．
故选：A
8．D
【分析】等比数列，基本量的计算，设出公比，联立式子可求出，即可.
【详解】设的公比为，则，，．
因为，所以，因为，所以，所以．
因为的各项均为正数，所以．因为，所以．
故选：D
9．D
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，
因为，可得，解得或，则
当时，此时，；
当时，此时，.
故或.
故选：D.
10．C
【分析】根据等比数列通项公式，建立基本量的方程组求解，再应用前项和公式即可得.
【详解】设等比数列公比为，则
则题意得，解得，
则.
故选：C.
11．A
【分析】根据等比数列的性质得，，成等比数列，计算得到答案.
【详解】设数列的前n项和为，由等比数列的性质得，，成等比数列．
，，故45，，成等比数列，
故，解得．
故选：A.
12．C
【分析】设公比为，依题意即可求出，然后根据等比数列的定义即可求解结论.
【详解】设公比为 ， 由 ，
可得: ，
解得 ，
，
故选：C.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求得等比数列的公比和首项，即可求得通项公式；
（2）利用（1）的结果求得的表达式，根据等差数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，则．
由，，得，
解得，则，则，
故．
（2）由（1）可知，
则是以1为首项，2为公差的等差数列，
故．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；
（2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得，
即得，则，
即，可得，由于，故得，
则，故；
（2）由（1）结论可得
，
故的前项和
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得，从而求得；
（2）根据面积公式和余弦定理即可求得的周长.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以．
因为，所以．
又，所以，．
（2）的面积，则．
由，得，
所以，故的周长为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，从而得解；
（2）由得到，再由余弦定理得到，即可求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
所以
在中，，，
所以，则，
因为，所以．
（2）由，
得，
即①．
由余弦定理得，
所以②．
由①②得（舍去）或，
所以．