高中数学高考大题专项训练1

大题专项训练

大题专项训练1　三角函数与解三角形

1．已知函数f(x)＝2sin xcos x－1＋2cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

【解析】(1)f(x)＝2sin xcos x－1＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，

∴f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)在区间上，2x＋∈，

∴当2x＋＝－时，f(x)取得最小值－1；

当x＋＝时，f(x)取得最大值2.

2．(2018年辽宁抚顺一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin 2A－asin(A＋C)＝0.

(1)求角A；

(2)若a＝3，△ABC的面积为，求＋的值．

【解析】(1)由bsin 2A－asin(A＋C)＝0，得bsin 2A＝asin B．由正弦定理，得asin B＝bsin A．∴sin 2A＝sin A.

又0＜A＜π，∴sin A≠0，得2cos A＝1，∴A＝.

(2)由△ABC的面积为及A＝，得bcsin ＝，∴bc＝6.

又a＝3，由余弦定理，得b2＋c2－2bccos A＝9，则b2＋c2＝15，∴b＋c＝3.

∴＋＝＝.

3．(2019年天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csin B＝4asin C.

(1)求cos B的值；

(2)求sin 的值．

【解析】(1)由正弦定理，得bsin C＝csin B.

又3csin B＝4asin C，∴3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.

又∵b＋c＝2a，∴b＝，c＝.

由余弦定理，得cos B＝＝－.

(2)由(1)得sin B＝＝，

∴sin 2B＝2sin Bcos B＝－.

cos 2B＝cos2B－sin2B＝－.

∴sin＝sin 2Bcos＋cos 2Bsin

＝－×－×＝－.

4．(2018年贵州贵阳适应性考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，求BC边上的中线AM的最大值．

【解析】(1)由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝.

又0<A<π，∴A＝.

(2)∵AM是BC边上的中线，∴在△ABM中，AM 2＋－2AM··cos∠AMB＝c2.①

在△ACM中，AM 2＋－2AM··cos∠AMC＝b2.②

∵∠AMB＋∠AMC＝π，∴cos∠AMB＋cos∠AMC＝0.

①＋②，得AM 2＝－.

又a＝，∴b2＋c2－3＝bc≤，当且仅当b＝c时等号成立．

∴b2＋c2≤6，∴AM 2＝－≤，即AM≤.

∴BC边上的中线AM的最大值为.