福建省漳州市第三中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省漳州市第三中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设集合，，1，，则
A．，0，B．，C．D．，1，
【答案】B
【解析】由题意得，，又因为，1，，所以，．故选B．
2．已知复数，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以．故选D．
3．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为非零向量，满足，且，
所以，
所以，又因为，所以，因此与的夹角为．故选．
4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D． ，
【答案】C
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，是上的增函数，
要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，
故实数的取值范围是，．故选C．
5．已知，为椭圆的焦点，为上顶点，则△的面积为
A．6B．15C．D．
【答案】
【解析】，，，，所以△的面积为．故选．
6．已知等比数列的公比为，则“”是“，，成等差数列”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为为等比数列，则，
若，则，，为常数数列，且为等差数列，所以充分性满足；
若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，，化简可得，，且，则，解得或，所以必要性不满足；
所以“ “是“，，成等差数列”的充分不必要条件．故选．
7．已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知，则，则，
又，则，即，
又，，则．故选C．
8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，，
在上单调递增，（1），所以．所以的取值范围是，．故选．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．某校有5名同学参加知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为80，84，86，90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是
A．甲同学的竞赛成绩为95
B．这5名同学竞赛成绩的方差为26.4
C．这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84
D．从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.6
【答案】
【解析】对于，设甲的成绩为，则有，解可得，正确；
对于，甲的成绩为95，则这5名同学竞赛成绩的方差
，正确；
对于，五人的成绩从小到大排列，依次为：80、84、86、90、95，而，则其第40百分位数是，错误；
对于，五人的成绩中，高于平均分的有2人，则从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，错误．故选．
10．关于函数，则下列结论正确的是
A．的定义域为 B．是奇函数
C．的最小正周期是 D．
【答案】
【解析】函数的定义域与的定义域相同，即为，故正确；
由及的定义域知是偶函数，故错误；
如图所示，由图可知函数的最小正周期为，故正确；
由于，，且根据图象知在上单调递增，所以，即，故错误．故选．
11．如图，三棱锥中，，面，则下列结论正确的是
A．直线与平面所成的角为
B．二面角的正切值为
C．点到平面的距离为
D．
【答案】
【解析】选项，因为面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角是，故正确；
选项，取中点为，连接，，因为，平面，
所以，，
因为，所以平面，
故为二面角的平面角，则，
故二面角的正切值为，故正确；
选项，因为，所以，设到面的距离为，则由，
可得：，解得，故正确；
选项，若，又，且，则面，则有，与
矛盾，故错误．故选．
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列结论正确的是
A．函数的图像关于直线对称
B．
C．
D．若函数在，上单调递减，则在区间，上有1012个零点
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以，的图像关于直线对称，故正确；
因为为偶函数，所以有，函数关于直线对称，
由，因此函数关于点对称，
由，
，函数的周期为4，在中，令，得（3）（1），
，令，得（1），（3）（1），故错误；
由，令，得（2），故正确；
因为函数关于点对称，且在，上单调递减，所以函数在，也单调递减，而函数关于直线对称，所以函数在，上单调递增，且（3），所以当，时，函数有两个零点，当，时，由函数的周期为4，可知函数的零点的个数为，故正确，故选．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有，共有种.
方法二，间接法：种.
故答案为16
14．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】由已知，，，点，代入双曲线的方程为：，解得．
所以离心率．故答案为．
15．设函数，的图象在点，（1）处的切线为，则在轴上的截距为 ．
【答案】1
【解析】函数，可得，切线的斜率为：（1），
切点坐标，切线方程为：，在轴上的截距为：．故答案为1．
16．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为 ；三棱锥体积的最大值是 ．
【答案】；
【解析】以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，因为，所以，
整理得，点所形成的阿氏圆的半径为；
则当到距离最大时，三棱锥的体积最大，结合图形可知当在上，即为三棱锥最大的高，，
则三棱锥体积的最大值是．故答案为；．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，即，又为三角形内角，，
所以，即，又，所以．
（2）因为，，的面积为，
所以，可得，由余弦定理可得．
18．（本小题满分12分）
如图，已知圆锥，是底面圆的直径，，是圆上异于，的一点，，，取的中点，连接，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：点为圆锥的顶点，平面，，又，分别为、中点，，平面，平面，．
又，平面，平面，平面；
（2），，，，，，，
又，，
在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，又平面，轴，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
又易知平面的一个法向量为，
，
又由图可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．
19．（本小题满分12分）
某兴趣小组同学在某日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．
（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；
（2）根据已知条件完成下面的列联表，据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．
附：，，
临界值表：
【解析】（1）众数为，平均数为；
（2）由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为，则非“运动达人”的人数为，完成列联表如下：
则，所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且，，．
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1），，．，，解得，，
当时，，，
两式相减得，
即，当时，，，满足，，
则数列是公比的等比数列，通项公式．
（2），设，则，，
当时，，则，
此时数列的前项和，
则
21．（本小题满分12分）
学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．
（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，求在一轮比赛中，这两名学生得分的分布列和均值．
【解析】（1）设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”，
“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表” ，
，，
由全概率公式得；
（2）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为，0，2，
则，
，
，
得分为的分布列如下：
故．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；
（3）如果，且，证明：．
【解析】（1）解：
令，解得
当变化时，，的变化情况如下表
所以在内是增函数，在内是减函数．
函数在处取得极大值（1）且（1）．
（2）证明：由题意可知，得
令，即，于是
当时，，从而，又，所以，从而函数在，是增函数．
又（1），所以时，有（1），即．
（3）证明：若，由及，则．与矛盾．
若，由及，得．与矛盾．
则可得，不妨设，．
由（2）可知，，则，所以，从而．
因为，所以，又由（1）可知函数在区间内是增函数，
所以，即．
非“运动达人”
“运动达人”
合计
男性
15
45
女性
合计
0.05
0.01
3.841
6.635
非“运动达人”
“运动达人”
合计
男性
30
15
45
女性
45
10
55
合计
75
25
100
0
2
1
0
增
极大值
减