甘肃省张掖市甘州区重点学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+

这是一份甘肃省张掖市甘州区重点学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数，是无理数的是( )
A. 0B. 237C. 2π(π表示圆周率)D. 16
2.已知点P位于第二象限，则点P的坐标可能是( )
A. (−2,0)B. (0,4)C. (−2,3)D. (2,−3)
3.下列各组数据不是勾股数的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 5，12，13D. 6，8，10
4.下列说法中正确的是( )
A. 和数轴上一一对应的数是有理数B. 数轴上的点可以表示所有的实数
C. 带根号的数都是无理数D. 不带根号的数都是有理数
5.若点P1(m,−1)关于原点的对称点是P2(2,n)，则m+n的值是( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
6.若x=3y=5是方程mx−2y=2的一个解，则m的值是( )
A. −4B. 4C. 2D. −1
7.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是( )
A. ∵∠1=∠3，∴AB/​/CD(内错角相等，两直线平行)
B. ∵AB/​/CD，∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)
C. ∵AD/​/BC，∴∠BAD+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)
D. ∵∠DAM=∠CBM，∴AB/​/CD(两直线平行，同位角相等)
9.我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是( )
A. x3=y−2x2−9=yB. x3=y+2x−92=yC. x3=y+2x2+9=yD. x3=y−2x−92=y
10.如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3，动点P从点E出发，沿路径E−B−C−D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算： 12× 3−5= ______ ．
12.将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：______ ．
13.在函数y= x−5，自变量x的取值范围是 ．
14.P(3,−4)到x轴的距离是 ．
15.若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则m+n的值是______．
16.小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末=3：3：4，则小明总评成绩是______分．
17.定义运算“@”的运算法则为：x@y= xy+4，则(2@6)@8=______．
18.如图，一次函数y=kx+b与正比例函数y=2x的图象交于点A，且与y轴交于点B，则一次函数y=2x−1与y=kx+b的图象交点坐标为______ ．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
19.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
(1)写出点A、B、C的坐标；
(2)写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的顶点A1、B1、C1的坐标；
(3)求S△ABC．
20.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．
四、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
计算题：
(1)2 12−6 13；
(2)( 2+1)( 2−1)−( 3−2)．
22.(本小题6分)
解方程组：
(1)10x+3y=178x−3y=1．
(2)x3−y4=13x−4y=2．
23.(本小题8分)
如图所示，BF//DE，∠1=∠2，求证：GF/​/BC．
24.(本小题8分)
对于x、y定义一种新运算“※”：x※y=ax−by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算.已知：2※1=7，1※(−3)=7，求5※3的值．
25.(本小题10分)
某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省线的租车方案，并求出最少租金．
26.(本小题10分)
在“学党史、知党恩、跟党走”知识竞赛活动中，某校八年级甲乙两个班各选出5名代表参加竞赛，满分10分，成绩如下：
甲班：8，8，7，8，9
乙班：5，10，8，10，7
已知：甲班成绩的平均数、众数和中位数都是8，方差是0.4．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)乙班成绩的平均数是______，众数是______，中位数是______；
(2)哪个班所选的代表成绩比较均衡？请通过计算说明．
(3)已知竞赛成绩满分者可以获得奖牌．如果想获得奖牌，且只能从一个班中选5名代表参加上一级竞赛，你认为选哪个班更合适？为什么？
27.(本小题10分)
某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
(1)降价前苹果的销售单价是______元/千克；
(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
28.(本小题12分)
如图，直线l1的解析式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4,0)、B(3,−32)，直线l1、l2交于点C．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求△ADC的面积；
(3)试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.0是整数，属于有理数，故不符合题意；
B.237是分数，属于有理数，故不符合题意；
C.2π是无理数，故符合题意；
D. 16=4，是整数，属于有理数，故不符合题意．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).根据坐标轴上的点的特点以及各象限内点坐标特征解答即可．
【解答】
解：A.(−2,0)在x轴上，故本选项不合题意；
B.(0,4)在y轴上，故本选项不合题意；
C.(−2,3)位于第二象限，故本选项符合题意；
D.(2,−3)位于第四象限，故本选项不合题意；
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：A、22+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
C、52+122=132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
D、62+82=102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
故选：A．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：A、实数和数轴上的点一一对应，原说法错误，不符合题意；
B、数轴上的点可以表示所有的实数，正确，符合题意；
C、带根号的数且开方开不尽的数都是无理数，如 4是有理数，原说法错误，不符合题意；
D、不带根号的分数、小数和无限循环小数都是有理数，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
分别根据实数和数轴的关系、有理数和无理数的定义解答即可．
此题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．
5.【答案】B
【解析】解：∵点P1(m,−1)关于原点的对称点是P2(2,n)，
∴m=−2，n=1，
∴m+n=−2+1=−1，
故选：B．
根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而可算出m+n的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6.【答案】B
【解析】解：∵x=3y=5是方程mx−2y=2的一个解，
∴3m−10=2，
解得m=4，
故选：B．
将所给的解代入二元一次方程，得到关于m的一元一次方程，求解m即可．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选：B．
根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的关系．
依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．
【解答】
解：A.∵∠1=∠3，∴AB/​/CD(内错角相等，两直线平行)，正确；
B.∵AB/​/CD，∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)，正确；
C.∵AD/​/BC，∴∠BAD+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)，正确；
D.∵∠DAM=∠CBM，∴AD/​/BC(同位角相等，两直线平行)，错误；
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：依题意得x3=y+2x−92=y．
故选：B．
根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：长方形ABCD中，
AB=CD=5，AD=BC=2，
∵AE=3，
∴BE=AB−AE=2，
①当点P在BE上运动时，
y=12×2⋅x=x(0≤x≤2)；
②当点P在BC上运动时，
BP=x−2，则CP=4−x，
∴y=S矩形ABCD−S△ADE−S△BEP−S△DPC
=2×5−12×3×2−12×2×(x−2)−12×5×(4−x)
=32x−1，
即y=32x−1(2③当点P在CD上运动时，
DP=9−x，
y=12×2×(9−x)
即y=−x+9(4所以△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为选项C．
故选：C．
根据动点的运动过程可以分三种情况讨论：①当点P在BE上运动时，可得y=x(0≤x≤2)；②当点P在BC上运动时，可得y=32x−1(2本题考查了用图象表示变量之间的关系，三角形面积，解决本题的关键是根据动点的运动过程分三种情况讨论．
11.【答案】1
【解析】解：原式= 12×3−5= 36−5=6−5=1．
故答案为：1
原式第一项利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
13.【答案】x≥5
【解析】解：根据题意得：x−5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．
【解答】
解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P(3,−4)到x轴的距离是|−4|=4．
故答案为：4．
15.【答案】1
【解析】解：∵点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，
∴1+m=3、1−n=2，
解得：m=2、n=−1，
所以m+n=2−1=1，
故答案为：1．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
16.【答案】79
【解析】解：本学期数学总评分=70×30%+80×30%+85×40%=79(分)．
故答案为：79．
按3：3：4的比例算出本学期数学总评分即可．
本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩=3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．
17.【答案】6
【解析】解：∵x@y= xy+4，
∴(2@6)@8= 2×6+4@8=4@8= 4×8+4=6，
故答案为：6．
认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
18.【答案】(43,53)
【解析】解：将y=2代入y=2x，
解得x=1，
所以A(1,2)，
将A(1,2)，B(3,0)代入y=kx+b可得，
2=k+b0=3k+b，
解得：k=−1b=3，
∴一次函数解析式为：y=−x+3，
将y=−x+3与y=2x−1组成方程组，
y=−x+3y=2x−1，
解得x=43y=53，
∴交点坐标为(43,53)，
故答案为：(43,53).
首先由一次函数y=kx+b与正比例函数y=2x的图象交于点A，将y=2代入求得A点坐标，将A，B点坐标代入y=kx+b，可得一次函数解析式，再与y=2x−1联立解方程组可得结果．
本题主要考查了两直线相交问题，联立方程组解决相交问题是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)A(1,3)，B(−1,2)，C(2,0)；
(2)A1(1,−3)，B1(−1,−2)，C1(2,0)；
(3)S△ABC=3×3−12×2×3−12×1×3−12×2×1=72．
【解析】(1)根据点的坐标的确定方法写出点A、B、C的坐标；
(2)根据关于x轴对称的点的坐标特征求解；
(3)利用面积的和差计算△ABC的面积．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)；点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y).也考查了三角形面积公式．
20.【答案】解：在△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=66°
∴∠BAC=180°−30°−66°=84°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=12∠BAC=42°
∵AE⊥BC于E
∴∠AEC=90°
∴∠EAC=90°−∠C=90°−66°=24°
∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=42°−24°=18°
【解析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，准确识别图形，即在哪个三角形中运用内角和定理是解题的关键．
先利用三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线得到∠DAC，再求出∠EAC，最后得到∠DAE．
21.【答案】解：(1)原式=4 3−2 3
=2 3；
(2)原式=2−1− 3+2
=3− 3．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先利用平方差公式计算，然后去括号后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)10x+3y=17①8x−3y=1②，
①+②得18x=18，即x=1，
把x=1代入①得：y=73，
则方程组的解为x=1y=73；
(2)方程组整理得：4x−3y=12①3x−4y=2②，
①×4−②×3得：7x=42，即x=6，
把x=6代入①得：y=4，
则方程组的解为x=6y=4．
【解析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23.【答案】解：∵BF//DE(已知)，
∴∠2=∠FBC(两直线平行，同位角相等)，
∵∠2=∠1(已知)，
∴∠FBC=∠1(等量代换)，
∴GF//BC(内错角相等，两直线平行)．
【解析】本题主要考查平行线的性质及判定，熟练平行线的性质和判定定理是解答此题的关键．先根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠FBC，再结合已知条件和等量代换证得内错角∠FBC=∠1，从而得GF/​/BC．
24.【答案】解：由x※y=ax−by，2※1=7，1※(−3)=7可得，2a−b=7a+3b=7，
解得：a=4b=1，
∴x※y=ax−by=4x−y，
则5※3=4×5−1×3=20−3=17．
【解析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式并利用新定义计算即可得到结果．
此题考查了解二元一次方程组，以及新定义，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
25.【答案】解：(1)设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，
据题意：3x+y=105x+2y=110，
解得：x=20y=45，
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；
(2)①由题意得：20m+45n=400，
∴n=80−4m9，
∵m、n为非负整数，
∴m=20n=0或m=11n=4 或m=2n=8，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：150×20=3000(元)，
方案二租金：150×11+250×4=2650(元)，
方案三租金：150×2+250×8=2300(元)，
∴方案三租金最少，最少租金为2300元．
【解析】(1)设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车座的人数+1辆大客车座的人数=105人；1辆小客车座的人数+2辆大客车座的人数=110人，根据等量关系列出方程组，再解即可；
(2)①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=400，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元分别计算出租金即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程或方程组．
26.【答案】解：(1)8，10，8；
(2)乙班的方差是：15×[(5−8)2+(10−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(7−8)2]=3.6，
∵0.4<3.6，
∴甲班的方差小于乙班的方差，
∴甲班所选的代表成绩比较均衡；
(3)选乙班更合适．
因为：竞赛成绩满分者可以获得奖牌，甲班5名代表的成绩中没有满分的，乙班5名代表的成绩中有两个满分的，
∴如果想获得奖牌，且只能从一个班中选5名代表参加上一级竞赛，选乙班更合适．
【解析】解：(1)乙班成绩的平均数是：15×(5+10+8+10+7)=8(分)，
∵10出现了2次，出现的次数最多，
∴乙班的众数是10分；
把乙班的成绩从小到大排列，则中位数是8分，
故答案为：8，10，8；
(2)见答案
(3)见答案．
(1)根据平均数、众数和中位数的定义即可求解；
(2)先计算出乙班的方差，根据两个班的方差，利用方差的意义即可得出答案；
(3)比较哪个班成绩满分者多即可解答．
本题考查方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27.【答案】解：(1)16；
(2)降价后销售的苹果千克数是：
(760−640)÷(16−4)=10，
设降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y=kx+b，
该函数过点(40,640)，(50,760)，
40k+b=64050k+b=760，
得k=12b=160，
即降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y=12x+160(40(3)该水果店这次销售苹果盈利了：760−8×50=360(元)，
答：该水果店这次销售苹果盈利了360元．
【解析】(1)根据函数图象中的数据可以求得降价前苹果的销售单价；
(2)根据题目中的信息和图象中的数据可以求得降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)根据图象中的数据和题意，可以求得该水果店这次销售苹果盈利了多少元．
本题考查一次函数的应用，解答本题明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
28.【答案】解：(1)设直线l2的解析式是y=kx+b，
根据题意得：4k+b=03k+b=−32，
解得：k=32b=−6，
则直线l2的解析式是y=32x−6；
(2)在y=−3x+3中，令y=0，解得：x=1．
则D的坐标是(1,0)．
根据题意得：y=32x−6y=−3x+3，
解得：x=2y=−3，
则C的坐标是(2,−3)，
则AD=4−1=3，
S△ADC=12AD×3=92；
(3)点P的纵坐标是3，把y=3代入y=32x−6，得x=6．
则P的坐标是(6,3)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
(3)P与C的纵坐标一定互为相反数，据此求得P的纵坐标，代入直线解析式求得横坐标．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，求交点坐标可以转化为解两个函数的解析式组成的方程组．