2023-2024学年吉林省松原市长岭一中、二中、五中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省松原市长岭一中、二中、五中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，轴对称图形的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为( )
A. 0.21×10−4B. 2.1×10−4C. 2.1×10−5D. 21×10−6
3.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x−4，则长方体的体积为( )
A. 3x3−4x2B. 6x2−8xC. 6x3−8x2D. 6x3−8x
4.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是( )
A. 5mB. 15mC. 20mD. 28m
5.如图，△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.如果关于x的分式方程2x−mx+1=1的解是负数，那么实数m的取值范围是( )
A. m<−1B. m>−1且m≠0
C. m>−1D. m<−1且m≠−2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.计算：(a2b)3=______．
8.使代数式(x−4)−1有意义的x的取值范围是______．
9.已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为______．
10.已知点A(a,b)关于x轴对称点的坐标是(a,−12)，关于y轴对称点的坐标是(5,b)，则A点的坐标是______ ．
11.如图，若∠A=70°，∠ABD=120°，则∠ACE= ______ ．
12.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为 度．
13.如图，有一块长方形区域，AD=2AB，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，设AB边的长为x米，则图中空白区域的面积为______ ．
14.某市处理污水，需要铺设一条长为1000M的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
因式分解：x2(x−2)+(2−x)．
16.(本小题5分)
化简(x2y−12xy2−2xy)÷12xy
17.(本小题5分)
解方程：3x−1+x−21−x=1．
18.(本小题5分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，AD=3cm，求BC的长．
20.(本小题7分)
如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形(画出三种即可)．
21.(本小题7分)
先化简，后求值：(1a−3−a+1a2−1)⋅(a−3)，其中a=12．
22.(本小题7分)
如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
23.(本小题8分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线．
(1)在△BED中作BD边上的高EF；
(2)若△ABC的面积为40，BD=5，求EF的长．
24.(本小题8分)
某公司购买了一批A、B两种型号的产品，其中A型产品的单价比B型产品的单价多6元，已知该公司用1400元购买A型产品的件数与用1160元购买B型产品的件数相等．
(1)求该公司购买的A、B两种型号产品的单价各是多少元？
(2)若两种型号的产品共购买了100件，且购买的总费用为3260元，求购买了多少件A型产品？
25.(本小题10分)
请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：______
方法2：______
(2)从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：______
(3)利用(2)中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．
26.(本小题10分)
已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
(1)如图1，求证：CD⊥AB；
(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：第一个图形不是轴对称图形；
第二个图形是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形；
第五个图形不是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念判断，得到答案．
本题考查的是轴对称图形的识别，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：0.000021=2.1×10−5，
故选：C．
根据科学记数法的表示方法直接求解即可．
本题考查科学记数法，解题关键是掌握科学记数法表示为a×10−n(1≤|a|<10)．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，V长方体=(3x−4)⋅2x⋅x=6x3−8x2．
故选：C．
根据长方体的体积=长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．
4.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA−PB故选：D．
【分析】
首先根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
5.【答案】A
【解析】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC=12S△ACD，S△ACD=12S△ABC，
∴S△AEC=14S△ABC=14×8=2．
故选：A．
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．
本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分．
6.【答案】D
【解析】解：将分式方程两边同乘(x+1)，去分母可得：2x−m=x+1，
移项，合并同类项得：x=m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1<0，且m+1+1≠0，
解得：m<−1且m≠−2，
故选：D．
解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件切得m的取值范围即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为0．
7.【答案】a6b3
【解析】解：(a2b)3=(a2)3b3=a6b3．
故答案为：a6b3．
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．
本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
8.【答案】x≠4
【解析】解：代数式(x−4)−1有意义的x的取值范围是：x−4≠0，
解得：x≠4．
故答案为：x≠4．
直接利用负整数指数幂的定义分析得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9.【答案】8
【解析】此题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式是解题关键．
直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=2×4=8．
故答案为：8．
10.【答案】(−5,12)
【解析】【分析】
此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变确定a、b的值，进而可得A点的坐标．
【解答】解：∵已知点A(a,b)关于x轴对称点的坐标是(a,−12)，
∴b=12，
∵关于y轴对称点的坐标 是(5,b)，
∴a=−5，
∴则A点的坐标是(−5,12)．
故答案为(−5,12)．
11.【答案】130°
【解析】解：∵∠ABD=120°，
∴∠ABC=180°−∠ABD=180°−120°=60°，
∴∠ACE=∠ABC+∠A=60°+70°=130°．
故答案为：130°．
根据邻补角的定义求出∠ABC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了三角形的外角性质和邻补角的定义，是基础题，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．
12.【答案】34
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=104°
∵AB=BD
∴∠BAD=∠ADB=(180°−∠B)÷2=70°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=34°
故答案为：34．
根据三角形的内角和得出∠BAC=180°−∠B−∠C=104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD=∠ADB=(180°−∠B)÷2=70°，进而根据角的和差得出∠DAC=∠BAC−∠BAD=34°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
13.【答案】2x2−3x+1
【解析】解：AD=2AB，设AB边的长为x米，则AD=2x米，
空白区域的面积为：(x−1)(2x−1)=2x2−3x+1，
故答案为：2x2−3x+1，
矩形的一条边AB=x米，则另一条边BC=2x米，将小路平移到一边上，空白部分为长为(2x−1)米，宽为(x−1)米的矩形，即可表示面积．
考查矩形的性质，平移的性质，以及用代数式表示具体数量，将小路平移，把空白部分适当集中，使问题比较简捷．
14.【答案】1000x−1000x+10=5
【解析】解：原计划用的时间为：1000x，实际用的时间为：1000x+10.所列方程为：1000x−1000x+10=5．
所求的是原计划的工效，工作总量是1000，一定是根据工作时间来列的等量关系．本题的关键描述语是：“提前5天完成任务”；等量关系为：原计划用的时间−实际用的时间=5．
应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
15.【答案】解：x2(x−2)+(2−x)
=x2(x−2)−(x−2)
=(x−2)(x2−1)
=(x−2)(x+1)(x−1)．
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
16.【答案】解：原式=2x−y+4．
【解析】原式利用多项式除以单项式法则计算，即可得到结果．
此题考查了整式的除法运算，涉及的知识有：多项式除以单项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
17.【答案】解：去分母得：3−x+2=x−1，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：x−1≠0，
∴分式方程的解为x=3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得(n−2)·180°=3×360°−180°，
n−2=6−1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7．
【解析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
19.【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=30°．
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°．
∴DC=2AD，∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°．
∴∠BAD=∠B．
∴BD=AD=3．
∴BC=BD+DC=3BD=9cm．
【解析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．同时考查了等腰三角形的判定与性质．
先在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B=∠C=30°，由AD⊥AC，∠C=30°，得出CD=2AD=6，再证明∠BAD=∠B=30°，那么AD=DB=3，于是BC=CD+BD=9cm．
20.【答案】解：如图所示．
．
【解析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据轴对称的性质设计出图案即可．
21.【答案】解：原式=1a−3⋅(a−3)−a+1(a+1)(a−1)⋅(a−3)
=1−a−3a−1
=a−1−a+3a−1
=2a−1；
当a=12时，
原式=212−1
=2−12
=−4．
【解析】先用乘法分配律，再通分把所求式子化简，最后将x的值代入．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，把所求式子化简．
22.【答案】证明：∵BF=EC
∴BC=EF
∵AB⊥BE，DE⊥BE
∴∠B=∠E=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中
AC=DFBC=EF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴AB=DE
【解析】欲证明AB=DE，只要证明Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，
∴S△BDE=14S△ABC，
∵△ABC的面积为40，BD=5，
∴12×5×EF=10，
∴EF=4．
【解析】此题主要考查了基本作图以及三角形中线的性质，属于中档题．
(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
(2)利用三角形中线的性质得出S△BDE=14S△ABC，进而借助三角形面积公式求出即可．
24.【答案】解：(1)设该公司购买的B型产品的单价是x元/件，则A型产品的单价是(x+6)元/件，
依题意，得：1400x+6=1160x，
解得：x=29，
经检验，x=29是原方程的解，且符合题意，
∴x+6=35．
答：该公司购买的A型产品的单价是35元/件，B型产品的单价是29元/件．
(2)设购买了m件A型产品，则购买了(100−m)件B型产品，
依题意，得：35m+29(100−m)=3260，
解得：m=60．
答：购买了60件A型产品．
【解析】(1)设该公司购买的B型产品的单价是x元/件，则A型产品的单价是(x+6)元/件，根据数量=总价÷单价结合用1400元购买A型产品的件数与用1160元购买B型产品的件数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买了m件A型产品，则购买了(100−m)件B型产品，根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25.【答案】解：(1)a2+b2 ，(a+b)2−2ab；
(2) a2+b2=(a+b)2−2ab ；
(3)因为阴影部分的面积=S正方形ABCD+S正方形CGFE−S△ABD−S△BGF
=a2+b2−12a2−12(a+b)b
=12a2+12b2−12ab，
而a+b=ab=7，
则a2+b2=(a+b)2−2ab=72−14=35，
所以阴影部分的面积=12a2+12b2−12ab=12(a2+b2)−12ab=352−72=14．
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
(1)方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积−两个小长方形面积；
(2)由题意可直接得到；
(3)由阴影部分面积=正方形ABCD的面积+正方形CGFE的面积−三角形ABD的面积−三角形BGF的面积，可求阴影部分的面积．
【解答】
解：(1)由题意可得：方法1：a2+b2 方法2：(a+b)2−2ab
故答案为：a2+b2，(a+b)2−2ab；
(2)a2+b2=(a+b)2−2ab
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(3)见答案．
26.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
(2)①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=34°，
由(1)知，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=56°，
由折叠知，∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD−∠A′CD=56°−34°=22°；
②当∠B=n°时，当n≤45时，同①的方法得，∠A′CD=n°，∠BCD=90°−n°，
∴∠A′CB=∠BCD−∠A′CD=90°−n°−n°=90°−2n°；
当n>45时，同①的方法得，∠A′CD=n°，∠BCD=90°−n°，
∴∠A′CB=∠A′CD−∠BCD=n°−(90°−n°)=2n°−90°．
【解析】(1)先判断出∠ACD+∠BCD=90°，进而得出∠B+∠BCD=90°，即可得出结论；
(2)先求出∠ACD，进而利用折叠得出∠A′CD，再利用直角三角形的性质得出∠BCD，即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，折叠的直线，等式的性质，判判断出CD⊥AB是解本题的关键．