新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第4讲空间向量与距离探究性问题核心考点2点到平面的距离教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第4讲空间向量与距离探究性问题核心考点2点到平面的距离教师用书，共4页。


如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
典例研析·悟方法
典例2 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝eq \r(2)，PC＝eq \r(6).E、H分别为PA、AB的中点．
(1)求证：PH⊥AC；
(2)求点P到平面DEH的距离．
【解析】 (1)证明：∵△PAB为正三角形，AB＝2，
∴PB＝AB＝2，
∵BC＝eq \r(2)，PC＝eq \r(6)，∴PC2＝BC2＋PB2，
∴根据勾股定理得BC⊥PB，
∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
∵PB，AB⊂面PAB且交于点B，∴BC⊥面PAB，
∵BC⊂面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD，
∵H为AB的中点，△PAB为正三角形，
∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，
∵AC⊂平面ABCD，∴PH⊥AC.
(2)取CD中点F，以H为原点，HA为x轴，HF为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0,0，eq \r(3))，D(1，eq \r(2)，0)，A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(\r(3),2)))，H(0,0,0)，
eq \(HD,\s\up6(→))＝(1，eq \r(2)，0)，eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(\r(3),2)))，eq \(HP,\s\up6(→))＝(0,0，eq \r(3))，
设平面DEH的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(HD,\s\up6(→))＝x＋\r(2)y＝0，,n·\(HE,\s\up6(→))＝\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)z＝0，))
取y＝1，得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，1，\f(\r(2),\r(3))))，
∴点P到平面DEH的距离d＝eq \f(|n·\(HP,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(\r(2),\r(\f(11,3)))＝eq \f(\r(66),11).
方法技巧·精提炼
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(eq \(AP,\s\up6(→))，α内两个不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离：d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
提醒：线到面的距离、面与面的距离转化为点到面的距离求解．
加固训练·促提高
1.如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，则点B到平面EFG的距离为 eq \f(2\r(11),11) .
【解析】 因为CG⊥平面ABCD，CD，CB⊂平面ABCD，所以CG⊥CD，CG⊥CB，因为CD⊥CB，所以以C为原点，CD，CB，CG所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，所以eq \(FE,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(EG,\s\up6(→))＝(－2，－4,2)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(2,0,0)．设平面EFG的一个法向量为m＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(FE,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，,m·\(EG,\s\up6(→))＝－2x－4y＋2z＝0，))令x＝1，则m＝(1,1,3)，所以点B到平面EFG的距离为d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BE,\s\up6(→))·m,|m|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(1＋1＋9))))＝eq \f(2\r(11),11).
2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝eq \r(3)，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．
【解析】 ∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离．如图，以D为坐标原点，
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，eq \r(3)，1)，C(0，eq \r(3)，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝eq \r(3)，∴B(1,2eq \r(3)，0)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,2eq \r(3)，0)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－1，－eq \r(3)，1)．设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(BE,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(3)y＝0，,－x－\r(3)y＋z＝0，))∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．∵eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，∴点A1到平面ABE的距离d＝eq \f(|\(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).∴直线A1B1与平面ABE的距离为eq \r(2).