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新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第1讲直线与圆核心考点1直线的方程及应用教师用书
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这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第1讲直线与圆核心考点1直线的方程及应用教师用书，共9页。试卷主要包含了故选A，过点P作直线l使它被直线l1等内容，欢迎下载使用。
1. (2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( A )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．1D．－1
【解析】 由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝eq \f(1,2).故选A.
2. (2023·全国新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( B )
A．1B．eq \f(\r(15),4)
C．eq \f(\r(10),4)D．eq \f(\r(6),4)
【解析】 圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，则圆心C(2,0)，半径为r＝eq \r(5)；设P(0，－2)，切线为PA、PB，则PC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，△PAC中，sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(5),2\r(2))，所以cs eq \f(α,2)＝eq \r(1－\f(5,8))＝eq \f(\r(3),2\r(2)).所以sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2×eq \f(\r(5),2\r(2))×eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(15),4).故选B.
3. (多选)(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( ACD )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
【解析】 ∵A(4,0)，B(0,2)，∴过A、B的直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心坐标为(5,5)，圆心到直线x＋2y－4＝0的距离d＝eq \f(|1×5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)>4，∴点P到直线AB的距离的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11\r(5),5)－4，\f(11\r(5),5)＋4))，∵eq \f(11\r(5),5)<5，∴eq \f(11\r(5),5)－4<1，eq \f(11\r(5),5)＋4<10，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，
此时|BC|＝eq \r(5－02＋5－22)＝eq \r(25＋9)＝eq \r(34)，∴|PB|＝eq \r(|BC|2－42)＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，故C、D正确．故选ACD.
4. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2或\f(1,2)或－\f(1,2))) .
【解析】 由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，因为△ABC的面积为eq \f(8,5)，可得S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2×sin∠ACB＝eq \f(8,5)，解得sin∠ACB＝eq \f(4,5)，设eq \f(1,2)∠ACB＝θ，所以2sin θcs θ＝eq \f(4,5)，可得eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(4,5)，∴eq \f(2tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(4,5)，∴tan θ＝eq \f(1,2)或tan θ＝2，∴cs θ＝eq \f(2,\r(5))或cs θ＝eq \f(1,\r(5))，∴圆心C到直线x－my＋1＝0的距离d＝eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(5))，∴eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(5))，解得m＝±eq \f(1,2)或m＝±2.
5. (2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－1))2＝eq \f(169,25) .
【解析】 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，))所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－2，))所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－\f(8,3)，,E＝－\f(14,3)，))所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(8,3)x－eq \f(14,3)y＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)；若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝－\f(16,5)，,D＝－\f(16,5)，,E＝－2，))所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(16,5)x－2y－eq \f(16,5)＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25).
6. (2022·全国新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)或y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)或x＝－1 .
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为eq \r(32＋42)＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为kOO1＝eq \f(4,3)，所以kl＝－eq \f(3,4)，设方程为y＝－eq \f(3,4)x＋t(t>0)O到l的距离d＝eq \f(|t|,\r(1＋\f(9,16)))＝1，解得t＝eq \f(5,4)，所以l的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)，当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|p|,\r(1＋k2))＝1，,\f(|3k＋4＋p|,\r(1＋k2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(7,24)，,p＝\f(25,24)，))所以m的方程为y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)，当切线为n时，易知切线方程为x＝－1，故答案为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)或y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)或x＝－1.
7. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.
【解析】 ∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴eq \r(a－32＋1－2a2)＝eq \r(a2＋－2a2)＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝eq \r(5)，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
8. (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
(1)求抛物线C的方程，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
【解析】 (1)因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px(p>0)，
令x＝1，则y＝±eq \r(2p)，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P(1，eq \r(2p))，Q(1，－eq \r(2p))，
因为OP⊥OQ，故1＋eq \r(2p)×(－eq \r(2p))＝0⇒p＝eq \f(1,2)，
抛物线C的方程为：y2＝x，
因为⊙M与l相切，故其半径为1，
故⊙M：(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，
设直线A1A2方程为kx－y＝0，根据点M(2,0)到直线的距离为1可得eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)，
联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，
当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
此时有，eq \f(|2＋y1y2|,\r(1＋y1＋y22))＝1，
即(yeq \\al(2,1)－1)yeq \\al(2,2)＋2y1y2＋3－yeq \\al(2,1)＝0，
同理，由对称性可得，(yeq \\al(2,1)－1)yeq \\al(2,3)＋2y1y3＋3－yeq \\al(2,1)＝0，
所以y2，y3是方程(yeq \\al(2,1)－1)t2＋2y1t＋3－yeq \\al(2,1)＝0的两根，
依题意有，直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
令M到直线A2A3的距离为d，
则有d2＝eq \f(2＋y2y32,1＋y2＋y32)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3－y\\al(2,1),y\\al(2,1)－1)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y1,y\\al(2,1)－1)))2)＝1，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．
核心考点1 直线的方程及应用
核心知识· 精归纳
1.直线方程的5种形式
2.三种距离
3.两条直线平行与垂直的判定
多维题组· 明技法
角度1：直线的倾斜角与斜率
1. (2023·二七区校级模拟)已知直线l的方程为xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π，π))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))
【解析】 xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，则k＝－eq \f(\r(3),3)sin α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ＜π)，故k＝tan θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))；当k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))；综上所述：直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，故选B.
2.(2023·湖北模拟)已知点A(2,3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为( A )
A．k≥2或k≤eq \f(3,4)B．k≥eq \f(3,4)或k≤－eq \f(1,4)
C．－4≤k≤eq \f(3,4)D．eq \f(3,4)≤k≤2
【解析】 已知点A(2,3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1,1)，MA的斜率为eq \f(3－1,2－1)＝2，MB的斜率为eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)，则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤eq \f(3,4)，故选A.
角度2：直线方程
3. (2023·吉林模拟)△ABC中，A(3,2)，B(1,1)，C(2,3)，则AB边上的高所在的直线方程是( A )
A．2x＋y－7＝0B．2x－y－1＝0
C．x＋2y－8＝0D．x－2y＋4＝0
【解析】 ∵△ABC中，A(3,2)，B(1,1)，C(2,3)，∴直线AB的斜率为eq \f(2－1,3－1)＝eq \f(1,2)，则AB边上的高所在的直线的斜率为－2，故AB边上的高所在的直线方程是y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.故选A.
4. (2023·浦东新区校级模拟)过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为_2x＋3y＝0或x＋y＝1__.
【解析】 由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过(3，－2)，则直线方程为y＝－eq \f(2,3)x，若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，则直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，又直线过点(3，－2)，则eq \f(3,a)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝1，所以此时直线方程为x＋y＝1.
角度3：平行与垂直的判定
5. (2023·雁塔区校级模拟)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直，则2(m＋1)＋m＋4＝0，解得m＝－2，故“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的充要条件，故选C.
6. (2023·武侯区校级模拟)直线l1：x＋ay－1＝0与直线l2：ax＋y＋1＝0平行，则a＝( B )
A．0B．1
C．－1D．1或－1
【解析】 因为直线l1：x＋ay－1＝0与直线l2：ax＋y＋1＝0平行，所以1×1＝a×a，所以a＝1或a＝－1，当a＝－1时，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：－x＋y＋1＝0重合，故a＝1.故选B.
角度4：距离问题
7. (2023·平湖市模拟)已知点A(－1,0)，B(2,0)与直线l：mx－y＋m＝0(m∈R)，若在直线l上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\r(3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，＋∞))
【解析】 设点P(x，y)，由于|PA|＝2|PB|，所以eq \r(x＋12＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，整理得(x－3)2＋y2＝4，利用圆心(3,0)到直线mx－y＋m＝0的距离d＝eq \f(|3m＋m|,\r(1＋m2))≤2，解得－eq \f(\r(3),3)≤m≤eq \f(\r(3),3)，即实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).故选A.
8.若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是_2或－6__.
【解析】 依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0.又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋－22))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或c＝－6.
角度5：对称问题
9.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x＋4y－4＝0__.
【解析】 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
10.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ eq \f(34,5) .
【解析】 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5).
方法技巧· 精提炼
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
加固训练· 促提高
1.设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是( C )
A．[0，π]B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
【解析】 由题意知，当sin θ＝0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α＝eq \f(π,2)；当sin θ≠0时，直线l的斜率k＝eq \f(1,sin θ)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).综上，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
2.若直线l的方程y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过( C )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】 由y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，ab>0，ac<0，知直线斜率k＝－eq \f(a,b)<0，在y轴上截距为－eq \f(c,b)>0，所以此直线必不经过第三象限．故选C.
3. (2023·黄浦区二模)若直线(a－1)x＋y－1＝0与直线3x－ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( B )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(3,2)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(3,4)
【解析】 直线(a－1)x＋y－1＝0与直线3x－ay＋2＝0垂直，则3(a－1)－a＝0，解得a＝eq \f(3,2).故选B.
高频考点
高考预测
直线的方程及应用(直线的斜率，两直线的位置关系)
通过直线的斜率，切线方程或通过弦长及三角形面积问题考查直线与圆的位置关系，常与平面向量、椭圆、双曲线、抛物线相结合，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养.
圆的方程及应用(求圆的方程，与圆有关的最值、范围问题)
直线与圆的位置关系(切线、弦长、与圆有关的三角形面积问题)
名称
方程
适用条件
点斜式
_y－y0＝k(x－x0)__
与x轴不垂直的直线
斜截式
_y＝kx＋b__
与x轴不垂直的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
_Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0__
平面内所有直线
条件
公式
两点间
的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点到直线
的距离
P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d
d＝ eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两平行线
间的距离
直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d
d＝ eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
垂直
k1k2＝_－1__
_A1A2＋B1B2＝0__
平行
k1＝k2且_b1≠b2__
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
1. (2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( A )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．1D．－1
【解析】 由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝eq \f(1,2).故选A.
2. (2023·全国新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( B )
A．1B．eq \f(\r(15),4)
C．eq \f(\r(10),4)D．eq \f(\r(6),4)
【解析】 圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，则圆心C(2,0)，半径为r＝eq \r(5)；设P(0，－2)，切线为PA、PB，则PC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，△PAC中，sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(5),2\r(2))，所以cs eq \f(α,2)＝eq \r(1－\f(5,8))＝eq \f(\r(3),2\r(2)).所以sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2×eq \f(\r(5),2\r(2))×eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(15),4).故选B.
3. (多选)(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( ACD )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
【解析】 ∵A(4,0)，B(0,2)，∴过A、B的直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心坐标为(5,5)，圆心到直线x＋2y－4＝0的距离d＝eq \f(|1×5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)>4，∴点P到直线AB的距离的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11\r(5),5)－4，\f(11\r(5),5)＋4))，∵eq \f(11\r(5),5)<5，∴eq \f(11\r(5),5)－4<1，eq \f(11\r(5),5)＋4<10，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，
此时|BC|＝eq \r(5－02＋5－22)＝eq \r(25＋9)＝eq \r(34)，∴|PB|＝eq \r(|BC|2－42)＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，故C、D正确．故选ACD.
4. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2或\f(1,2)或－\f(1,2))) .
【解析】 由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，因为△ABC的面积为eq \f(8,5)，可得S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2×sin∠ACB＝eq \f(8,5)，解得sin∠ACB＝eq \f(4,5)，设eq \f(1,2)∠ACB＝θ，所以2sin θcs θ＝eq \f(4,5)，可得eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(4,5)，∴eq \f(2tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(4,5)，∴tan θ＝eq \f(1,2)或tan θ＝2，∴cs θ＝eq \f(2,\r(5))或cs θ＝eq \f(1,\r(5))，∴圆心C到直线x－my＋1＝0的距离d＝eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(5))，∴eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(5))，解得m＝±eq \f(1,2)或m＝±2.
5. (2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－1))2＝eq \f(169,25) .
【解析】 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，))所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－2，))所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－\f(8,3)，,E＝－\f(14,3)，))所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(8,3)x－eq \f(14,3)y＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)；若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝－\f(16,5)，,D＝－\f(16,5)，,E＝－2，))所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(16,5)x－2y－eq \f(16,5)＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25).
6. (2022·全国新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)或y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)或x＝－1 .
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为eq \r(32＋42)＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为kOO1＝eq \f(4,3)，所以kl＝－eq \f(3,4)，设方程为y＝－eq \f(3,4)x＋t(t>0)O到l的距离d＝eq \f(|t|,\r(1＋\f(9,16)))＝1，解得t＝eq \f(5,4)，所以l的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)，当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|p|,\r(1＋k2))＝1，,\f(|3k＋4＋p|,\r(1＋k2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(7,24)，,p＝\f(25,24)，))所以m的方程为y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)，当切线为n时，易知切线方程为x＝－1，故答案为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)或y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)或x＝－1.
7. (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.
【解析】 ∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴eq \r(a－32＋1－2a2)＝eq \r(a2＋－2a2)＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝eq \r(5)，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
8. (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
(1)求抛物线C的方程，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
【解析】 (1)因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px(p>0)，
令x＝1，则y＝±eq \r(2p)，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P(1，eq \r(2p))，Q(1，－eq \r(2p))，
因为OP⊥OQ，故1＋eq \r(2p)×(－eq \r(2p))＝0⇒p＝eq \f(1,2)，
抛物线C的方程为：y2＝x，
因为⊙M与l相切，故其半径为1，
故⊙M：(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，
设直线A1A2方程为kx－y＝0，根据点M(2,0)到直线的距离为1可得eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)，
联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，
当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
此时有，eq \f(|2＋y1y2|,\r(1＋y1＋y22))＝1，
即(yeq \\al(2,1)－1)yeq \\al(2,2)＋2y1y2＋3－yeq \\al(2,1)＝0，
同理，由对称性可得，(yeq \\al(2,1)－1)yeq \\al(2,3)＋2y1y3＋3－yeq \\al(2,1)＝0，
所以y2，y3是方程(yeq \\al(2,1)－1)t2＋2y1t＋3－yeq \\al(2,1)＝0的两根，
依题意有，直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
令M到直线A2A3的距离为d，
则有d2＝eq \f(2＋y2y32,1＋y2＋y32)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3－y\\al(2,1),y\\al(2,1)－1)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y1,y\\al(2,1)－1)))2)＝1，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．
核心考点1 直线的方程及应用
核心知识· 精归纳
1.直线方程的5种形式
2.三种距离
3.两条直线平行与垂直的判定
多维题组· 明技法
角度1：直线的倾斜角与斜率
1. (2023·二七区校级模拟)已知直线l的方程为xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π，π))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))
【解析】 xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，则k＝－eq \f(\r(3),3)sin α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ＜π)，故k＝tan θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))；当k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))；综上所述：直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，故选B.
2.(2023·湖北模拟)已知点A(2,3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为( A )
A．k≥2或k≤eq \f(3,4)B．k≥eq \f(3,4)或k≤－eq \f(1,4)
C．－4≤k≤eq \f(3,4)D．eq \f(3,4)≤k≤2
【解析】 已知点A(2,3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1,1)，MA的斜率为eq \f(3－1,2－1)＝2，MB的斜率为eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)，则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤eq \f(3,4)，故选A.
角度2：直线方程
3. (2023·吉林模拟)△ABC中，A(3,2)，B(1,1)，C(2,3)，则AB边上的高所在的直线方程是( A )
A．2x＋y－7＝0B．2x－y－1＝0
C．x＋2y－8＝0D．x－2y＋4＝0
【解析】 ∵△ABC中，A(3,2)，B(1,1)，C(2,3)，∴直线AB的斜率为eq \f(2－1,3－1)＝eq \f(1,2)，则AB边上的高所在的直线的斜率为－2，故AB边上的高所在的直线方程是y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.故选A.
4. (2023·浦东新区校级模拟)过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为_2x＋3y＝0或x＋y＝1__.
【解析】 由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过(3，－2)，则直线方程为y＝－eq \f(2,3)x，若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，则直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，又直线过点(3，－2)，则eq \f(3,a)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝1，所以此时直线方程为x＋y＝1.
角度3：平行与垂直的判定
5. (2023·雁塔区校级模拟)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直，则2(m＋1)＋m＋4＝0，解得m＝－2，故“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的充要条件，故选C.
6. (2023·武侯区校级模拟)直线l1：x＋ay－1＝0与直线l2：ax＋y＋1＝0平行，则a＝( B )
A．0B．1
C．－1D．1或－1
【解析】 因为直线l1：x＋ay－1＝0与直线l2：ax＋y＋1＝0平行，所以1×1＝a×a，所以a＝1或a＝－1，当a＝－1时，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：－x＋y＋1＝0重合，故a＝1.故选B.
角度4：距离问题
7. (2023·平湖市模拟)已知点A(－1,0)，B(2,0)与直线l：mx－y＋m＝0(m∈R)，若在直线l上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\r(3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，＋∞))
【解析】 设点P(x，y)，由于|PA|＝2|PB|，所以eq \r(x＋12＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，整理得(x－3)2＋y2＝4，利用圆心(3,0)到直线mx－y＋m＝0的距离d＝eq \f(|3m＋m|,\r(1＋m2))≤2，解得－eq \f(\r(3),3)≤m≤eq \f(\r(3),3)，即实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).故选A.
8.若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是_2或－6__.
【解析】 依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0.又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋－22))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或c＝－6.
角度5：对称问题
9.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x＋4y－4＝0__.
【解析】 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
10.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ eq \f(34,5) .
【解析】 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5).
方法技巧· 精提炼
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
加固训练· 促提高
1.设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是( C )
A．[0，π]B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
【解析】 由题意知，当sin θ＝0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α＝eq \f(π,2)；当sin θ≠0时，直线l的斜率k＝eq \f(1,sin θ)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).综上，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
2.若直线l的方程y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过( C )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】 由y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，ab>0，ac<0，知直线斜率k＝－eq \f(a,b)<0，在y轴上截距为－eq \f(c,b)>0，所以此直线必不经过第三象限．故选C.
3. (2023·黄浦区二模)若直线(a－1)x＋y－1＝0与直线3x－ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( B )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(3,2)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(3,4)
【解析】 直线(a－1)x＋y－1＝0与直线3x－ay＋2＝0垂直，则3(a－1)－a＝0，解得a＝eq \f(3,2).故选B.
高频考点
高考预测
直线的方程及应用(直线的斜率，两直线的位置关系)
通过直线的斜率，切线方程或通过弦长及三角形面积问题考查直线与圆的位置关系，常与平面向量、椭圆、双曲线、抛物线相结合，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养.
圆的方程及应用(求圆的方程，与圆有关的最值、范围问题)
直线与圆的位置关系(切线、弦长、与圆有关的三角形面积问题)
名称
方程
适用条件
点斜式
_y－y0＝k(x－x0)__
与x轴不垂直的直线
斜截式
_y＝kx＋b__
与x轴不垂直的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
_Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0__
平面内所有直线
条件
公式
两点间
的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点到直线
的距离
P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d
d＝ eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两平行线
间的距离
直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d
d＝ eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
垂直
k1k2＝_－1__
_A1A2＋B1B2＝0__
平行
k1＝k2且_b1≠b2__
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
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