新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点5三角函数与解三角形的实际问题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点5三角函数与解三角形的实际问题教师用书，共3页。
典例5 (2023·沈河区校级模拟)一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，AC＝(12－4eq \r(3))米，如图所示：
(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；
(2)若2号机器人发现足球在点D处向点A做匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半做匀速直线运动去拦截足球．已知AD＝17米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，求此时线段AE的长．
【解析】 (1)在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin∠BCA)，
即eq \f(12－4\r(3),sin180°－45°－75°)＝eq \f(AB,sin 75°)，AB＝eq \f(12－4\r(3)·\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝4eq \r(2)，
故1号机器人和2号机器人之间的距离为4eq \r(2)米．
(2)如图，设BE＝x米．由题意，ED＝2x米．AE＝AD－ED＝(17－2x)米，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcs A，
x2＝(4eq \r(2))2＋(17－2x)2－2×4eq \r(2)(17－2x)cs 45°，
整理得3x2－52x＋185＝0.解得x＝5或eq \f(37,3)，
所以AE＝17－2x＝7，或AE＝－eq \f(23,3)(不合题意，舍去)，
故若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，此时线段AE的长为7米．
方法技巧·精提炼
三角函数背景下的数学建模问题，常以实际生活中的测量问题、航海问题、规划线路问题等为背景，考查利用数学模型解决实际问题的能力．求解实际问题中的解三角形问题，关键是对数据的采集与利用，将数据标注在相应平面图形中是准确将问题归类，建立解决问题的数学模型的有效措施．
加固训练·促提高
(2023·邵阳二模)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100eq \r(3) m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25 m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600 m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．
【解析】 (1)由题意作图如下：
则∠APC＝45°，∠CBP＝60°，∠BAC＝45°－15°＝30°，
AC＝eq \f(PC,tan∠APC)＝100eq \r(3)m，BC＝eq \f(PC,tan∠CBP)＝100m，
由正弦定理eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，可得sin∠ABC＝eq \f(\r(3),2)，
因此∠ABC＝60°或120°，
当∠ABC＝60°时，∠ACB＝90°，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝200 m，
当∠ABC＝120°，∠ACB＝30°＝∠BAC，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝BC＝100 m.
(2)由题意作图如下：
设捕猎成功所需的最短时间为t，
在△ABQ中，BQ＝20t，AQ＝25t，AB＝200，∠ABQ＝120°，
由余弦定理得：625t2＝400t2＋2002－2×20t×200×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
整理得：9t2－160t－1 600＝0，
设f(t)＝9t2－160t－1 600，显然f(0)