2023-2024学年吉林省吉林十三中、十八中、朝鲜族中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林十三中、十八中、朝鲜族中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. 2(x−1)2=2x2+2
C. (k+1)x2+3x=2D. (k2+1)x2−2x+1=0
2.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x=−2的是
( )
A. y=(x+2)2B. y=2x2−2C. y=−2x2−2D. y=2(x−2)2
3.为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，藏文试卷3张，英语试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是( )
A. 12B. 13C. 15D. 16
4.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为( )
A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是( )
A. 8≤AB≤10
B. 8C. 4≤AB≤5
D. 4二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.如图，在⊙O中，AB=CD，∠DCB=28°，则∠ABC=______度．
8.如果关于x的方程3x2−mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为______．
9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小为______．
10.一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是______．
11.如图，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E是DC上一点，DE=2cm，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则△CEF的面积为______ cm2．
12.如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为______ 米.
13.如果将抛物线y=x2+2x−1向上平移，使它经过点A(0,3)，那么所得新抛物线的表达式是______．
14.二次函数y= 3x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y= 3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为__________．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
15.小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏，先将梅花2、3、4、5和红心2、3、4、5分别洗匀，并分开将正面朝下放在桌子上，游戏者在4张梅花牌中随机抽1张，再在4张红心牌中随机抽1张，规定：当再次所抽出的牌面上数字之积为奇数时，他就可获奖．
(1)利用树状图或列表方法表示游戏所有可能出现的结果；
(2)游戏者获奖的概率是多少？
四、解答题：本题共11小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解方程：(2x−1)−x(1−2x)=0．
17.(本小题5分)
已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，直线x=−1是其对称轴．
(1)确定a、b、c的符号；
(2)当x取何值时，y>0；当x取何值时，y<0．
18.(本小题5分)
在△AMB中，∠AMB=90°，将△AMB以B为中心顺时针旋转90°，得到△CNB．
求证：AM/​/NB．
19.(本小题5分)
如图，在正方形ABCD中，AB=2 2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少？
20.(本小题7分)
如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是多少米？
21.(本小题7分)
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．
(1)求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率．
(2)若2021年保持前两年的年平均增长率不变，则预想该企业2021年的利润能否超过3.4亿？
22.(本小题7分)
如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点D.连接AC，若BC=6，DE=1，求AC的长．
23.(本小题8分)
某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜.为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择.方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元.试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
24.(本小题8分)
如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
(2)求证：ED是⊙O的切线．
25.(本小题10分)
已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是BC上一点，连接AE
(1)如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；
(2)如图2，延长BC至D，使DC=BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG=BE．
26.(本小题10分)
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、错误，当a=0时，是一元一次方程；
B、错误，是一元一次方程；
C、错误，当k=−1时，是一元一次方程；
D、正确，符合一元二次方程的定义．
故选D．
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【解答】
解：A.y=(x+2)2的对称轴为：x=−2，故A正确；
B.y=2x2−2的对称轴为：x=0，故B错误；
C.y=−2x2−2的对称轴为：x=0，故C错误；
D.y=2(x−2)2的对称轴为：x=2，故D错误．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：∵卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，藏文试卷3张，英语试卷1张，
∴一共有2+3+1=6种等可能的结果，
∵恰好是语文试卷的有2种情况，
∴恰好是语文试卷的概率是26=13．
故选：B．
卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，藏文试卷3张，英语试卷1张，可得一共有6种等可能的结果，又由语文试卷2张，根据概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．明确概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOP=∠B+∠OAB，
∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．
故选：B．
连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
5.【答案】D
【解析】解：由图象开口向上可知a>0，
对称轴x=−b2a<0，得b>0．
所以一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6.【答案】A
【解析】解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 52−32=8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故选：A．
此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8.若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．
本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．
7.【答案】28
【解析】解：∵AB=CD，
∴AC=BD；
又∵∠DCB=28°，
∴∠ABC=28度．
故答案为：28．
首先根据AB=CD，可得AC=BD；然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，由∠DCB=28°，可得∠ABC=28度，据此解答即可．
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】±6
【解析】【分析】
若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
【解答】
解：∵方程3x2−mx+3=0有两个相等的实数根，
∴△=m2−4×3×3=0，
解得m=±6，
故答案为±6．
9.【答案】120°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠A=180°−120°=60°，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠A=120°，
故答案为：120°．
根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10.【答案】25
【解析】解：女生当选组长的概率是：
4÷10=410=25．
故答案为：25．
随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可．
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．(2)P(必然事件)=1.(3)P(不可能事件)=0．
11.【答案】212
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为5cm的正方形，DE=2cm，
∴∠ABC=∠C=∠D=90°，BC=CD=5cm，
∴CE=CD−DE=5−2=3(cm)，
由旋转得BF=DE=2cm，∠ABF=∠D=90°，
∴∠ABF+∠ABC=180°，
∴F、B、C三点在同一条直线上，
∴CF=BF+BC=2+5=7(cm)，
∴S△CEF=12CF⋅CE=12×7×3=212(cm2)，
故答案为：212．
由正方形的性质得∠ABC=∠C=∠D=90°，BC=CD=5cm，所以CE=CD−DE=3cm，由旋转得BF=DE=2cm，∠ABF=∠D=90°，则F、B、C三点在同一条直线上，所以CF=BF+BC=7cm，则S△CEF=12CF⋅CE=212cm2，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、三角形的面积公式等知识，正确地求出DE的长和CF的长是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成长为(32−x)米，宽为(20−x)米的矩形．
依题意得：(32−x)(20−x)=540，
解得：x1=2，x2=50(舍去)．
故答案为：2．
由道路的宽为x米，可得出种植草坪的部分可合成长为(32−x)米，宽为(20−x)米的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】y=x2+2x+3
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
设平移后的抛物线表达式为y=x2+2x−1+b，把点A的坐标代入即可得到b的值，从而得到抛物线表达式．
【解答】
解：设平移后的抛物线表达式为y=x2+2x−1+b，
把A(0,3)代入，得3=−1+b，
解得b=4，
则该函数表达式为y=x2+2x+3．
故答案是：y=x2+2x+3．
14.【答案】2 3
【解析】【分析】
连接BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD= 3BD，设BD=t，则OD= 3t，B(t, 3t)，利用二次函数图象上点的坐标特征列出方程解出来得到BD、OD的长，再利用菱形面积公式计算即可．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度).也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
【解答】
解：连接BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，∠BOD=30°，
∴OD= 3BD，
设BD=t，则OD= 3t，
∴B(t, 3t)，
把B(t, 3t)代入y= 3x2得 3t2= 3t，解得t1=0(舍去)，t2=1，
∴BD=1，OD= 3，
∴BC=2BD=2，OA=2OD=2 3，
∴菱形OBAC的面积=12×BC×OA=12×2×2 3=2 3．
故答案为：2 3．
15.【答案】解：(1)画树状图为：

共有16种等可能的结果数；
(2)游戏者获奖的概率=416=14．
【解析】(1)利用树状图法展示所有16种等可能的结果数；
(2)先找出数字之积为奇数所占的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
16.【答案】解：(2x−1)−x(1−2x)=0，
分解因式得：(2x−1)(1+x)=0，
可得：2x−1=0或x+1=0，
∴x1=12，x2=−1．
【解析】提取公因数2x−1，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0；
(2)根据图象可知，
当−30；当x<−3或x>1时，y<0．
【解析】(1)根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号；
(2)抛物线在x轴上方时y>0；抛物线在x轴下方时y<0．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数的符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定．利用数形结合是解题的关键．
18.【答案】证明：由旋转的性质得：△AMB≌△CNB，∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠CBN，∠ABN+∠CBN=90°，
∴∠ABM+∠ABN=90°，
即∠MBN=90°，
∴∠AMB+∠MBN=90°+90°=180°，
∴AM//NB．
【解析】由旋转的性质得出△AMB≌△CNB，∠ABC=90°，得出∠ABM=∠CBN，∠ABN+∠CBN=90°，证出∠MBN=90°，得出∠AMB+∠MBN=180°，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定、旋转的性质、全等三角形的性质；熟练掌握旋转的性质，证明∠MBN=90°是解决问题的关键．
19.【答案】解：在正方形ABCD中，AB=2 2，
∴AC= 2AB=4，∠ACD=45°，
∵点E在BC的延长线上，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACE=45°+90°=135°，
∴S阴影=S扇形ACE−S△ACD=135π×42360−12×2 2×2 2=6π−4．
故图中阴影部分的面积为6π−4．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再由正方形的性质得出∠ACD=45°，根据S阴影=S扇形ACE−S△ACD即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及正方形的性质是解答此题的关键．
20.【答案】解：分别以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∴M(1,3)，A(0,2.25)．
则，可设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3，
把A(0,2.25)代入，得2.25=a+3，a=−0.75．
∴抛物线的解析式为：y=−0.75(x−1)2+3．
当y=0时，0=−0.75(x−1)2+3，
解得：x2=−1(舍去)，x2=3．
答：水流下落点B离墙的距离OB是3米．
【解析】依据题意，分别以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y=0，即可解答．
本题主要考查二次函数的应用，建立适当的坐标系，在平面直角坐标系中求抛物线解析式是解题关键．
21.【答案】解：(1)设这两年该企业年利润的平均增长率为x，
根据题意得：2(1+x)2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，
答：这两年该企业年利润的平均增长率为20%；
(2)∵2021年该企业的年利润为2.88×(1+20%)=3.456(亿元)，3.456>3.4，
∴该企业2019年的利润能超过3.4亿元，
答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．
【解析】(1)设这两年该企业年利润的平均增长率为x，由题意：2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．列出一元二次方程，解方程取其正值即可；
(2)求出2021年该企业的年利润，再比较即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：连接OC，如图所示．
∵点E是BC的中点，
∴∠BOE=∠COE，OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r−1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
∵OB=r，OD=r−1，BD=3，
∴r2=32+(r−1)2．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=12AC．
∴AC=8．
【解析】连接OC，由垂径定理得出OD⊥BC，BD=CD.在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．
本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设平均每次下调x，
根据题意，得10(1−x)2=6.4，
解得x=20%或x=180%(舍去)，
答：平均每次下调20%；
(2)方案一更优惠，理由如下：
方案一：6.4×0.8×2000=10240(元)，
方案二：6.4×2000−2000=10800(元)，
∵10240<10800，
∴采购员选择方案一更优惠．
【解析】(1)设平均每次下调x，根据该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元列一元二次方程，求解即可；
(2)分别计算出方案一和方案二的总费用，再进行比较即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
24.【答案】(1)解：连接CD，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵AD=DB，OC=5，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10；
(2)证明：连接OD，如图所示，

∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=EC=12AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
即DE⊥OD，
∴ED是⊙O的切线．
【解析】(1)连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而可得AC=BC=2OC=10；
(2)连接OD，先由直角三角形中线的性质可得DE=EC，然后根据等边对等角可得∠1=∠2，由OD=OC，根据等边对等角可得∠3=∠4，然后根据切线的性质可得∠2+∠4=90°，进而可得：∠1+∠3=90°，进而可得：DE⊥OD，从而可得：ED是⊙O的切线．
此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径．
25.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，
∴CE=EH=BH，
在Rt△ACE与Rt△AHE中，CE=EHAE=AE，
∴Rt△ACE与Rt△AHE(HL)，
∴AH=AC，
∴AH=BC，
∵△EHB的周长为10m，
∴AB=AH+BH=BC+BH=10m；
(2)如图所示，连接AD，
线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE=AF，∠EAF=90°，
∵AC⊥BD，DC=BC，
∴AD=AB，∠ABE=∠ADC=45°，
∴∠BAD=90°=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴DF=BE，∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠FDC=90°，
∵BG⊥BC，
∴∠CBG=∠CDF=90°，
又∵BC=DC，∠BCG=∠DCF，
∴△BCG≌△DCF(ASA)，
∴DF=BG，
∴BG=BE．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=45°，根据角平分线的性质得到CE=EH=BH，根据全等三角形的性质得到AH=AC，于是得到结论；
(2)先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF=BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF=BG，进而得到BG=BE．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．
26.【答案】解：(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4,6)，
∵A(12,52)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴52=(12)2a+12b+66=16a+4b+6，解得a=2b=−8，
∴抛物线的解析式为y=2x2−8x+6．
(2)设动点P的坐标为(n,n+2)，则C点的坐标为(n,2n2−8n+6)，
∴PC=(n+2)−(2n2−8n+6)，
=−2n2+9n−4，
=−2(n−94)2+498，
∵PC>0，
∴当n=94时，线段PC最大且为498．
(3)∵△PAC为直角三角形，
i)若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC/​/y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii)若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3−1，过点A(12,52)作AN⊥x轴于点N，则ON=12，AN=52．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=52，∴OM=ON+MN=12+52=3，
∴M(3,0)．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：12k+b=523k+b=0，解得k=−1b=3，
∴直线AM的解析式为：y=−x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2−8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=12(与点A重合，舍去)
∴C(3,0)，即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1(3,5)；
iii)若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2−8x+6=2(x−2)2−2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3−2，作点A(12,52)关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C(72,52).
当x=72时，y=x+2=112．
∴P2(72,112).
∵点P1(3,5)、P2(72,112)均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3,5)或(72,112).
【解析】(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
(3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．