2022-2023学年河南省三门峡市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省三门峡市高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线y= 3x+2的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.若数列{an}满足a1=2，an+1-an=1，则数列{an}的通项公式为an=( )
A. n2+1B. n-1C. n+1D. -n+3
3.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是( )
A. (-1,2)，3B. (-1,2)，9C. (1,-2)，3D. (1,-2)，9
4.已知平面α、β的法向量分别为a=(1,2,-2)、b=(-2,1,m)，若α⊥β，则m等于( )
A. 1B. 2C. 0D. 3
5.已知双曲线x29-y216=1上点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(-5,0)的距离为( )
A. 9B. 6C. 6或36D. 9或21
6.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使用了n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
7.数列{an}中，a1=2，an+1=2an，若ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215-25，则k=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.拋物线C：x2=8y的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与拋物线C交于A，B两点，点D为拋物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为( )
A. 16 2B. 12 2C. 8 2D. 6 2
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24，S6=48，则下列正确的是( )
A. a1=-2B. a1=2C. d=4D. d=-4
10.已知点P在圆C：(x-3)2+(y-3)2=4上，点A(2,0)，B(0,2)，则( )
A. 直线AB与圆C相交B. 直线AB与圆C相离
C. 点P到直线AB距离大于0.5D. 点P到直线AB距离小于5
11.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是( )
A. B.
C. D.
12.如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是( )
A. a1+c1=a2+c2
B. a1-c1=a2-c2
C. c1a1D. c1a2>a1c2
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知直线l1：x+2my-1=0和l2：(3m-1)x-my+1=0互相平行，则实数m的值为______ ．
14.已知点M(-1,2,0)，平面α过A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)三点，则点M到平面α的距离为 ．
15.设双曲线C：x2m-y2n=1的一条渐近线为y= 2x，则C的离心率为______ ．
16.过P(x,y)作圆C1：x2+y2-2x=0与圆C2：x2+y2-6x-6y+14=0的切线，切点分别为A，B，若|PA|=|PB|，则x2+y2的最小值为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前n项和为Sn．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及Sn；
(Ⅱ)若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与曲线E：x23-y2=1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若抛物线C上的点P满足|PF|=6，求P点的坐标．
19.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3，底面边长为2，点M为BC的中点，点N在直线CC1上，且MN⊥AB1．
(1)证明：MN⊥面AB1M；
(2)求平面ABB1A1和平面AMN夹角的余弦值．
20.已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=1，nan+1=Sn+n(n+1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3．
21.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD= 7，E是棱PD的中点．
(1)求证：CD⊥AE；
(2)在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为 105？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．
22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为12，点G(0,2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点直线OM，ON的斜率之积等于-34，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y= 3x+2，
∴直线斜率k=tanα=3，
∵α∈[0,π)，
∴α=π3．
故选：B．
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}满足a1=2，an+1-an=1，
∴数列{an}是首项为2，公比为1的等差数列，
∴数列{an}的通项公式为an=2+1×(n-1)=n+1，
故选：C．
直接根据数列的递推关系式即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．
由方程x2+y2+2x-4y-4=0可得(x+1)2+(y-2)2=9，即可得到圆心的坐标和半径．
【解答】
解：由方程x2+y2+2x-4y-4=0可得(x+1)2+(y-2)2=9，
∴圆心坐标为(-1,2)，半径为3．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为α⊥β，则有a⊥b，
那么a⋅b=1×(-2)+2×1-2m=0，
解得m=0．
故选：C．
根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得a⋅b=1×(-2)+2×1-2m=0，解可得答案．
本题考查平面垂直的判断，涉及平面向量的法向量，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：双曲线x29-y216=1中a2=9，b2=16，故c= a2+b2=5，
设F1(-5,0)，F2(5,0)，则F1，F2为双曲线的焦点，
则由双曲线的定义，知||PF1|-|PF2||=2a=6，而|PF2|=15，|PF1|≥5-3=2，
所以|PF1|=9或21．
故选：D．
利用双曲线的定义可得答案．
本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．
6.【答案】D
【解析】解：设该设备第n年的运营费为an万元，则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n，
则该设备使用了n年的运营费用总和为Tn=n2+n，
设使用n年的盈利总额为Sn，则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9，
∴年平均盈利额=10-(n+9n)≤10-2 n×9n=4,当且仅当n=3时取等，
∴当n=3时，年平均盈利额取得最大值4万元，
故选：D．
根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．
本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵a1=2，an+1=2an，
∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an=2×2n-1=2n，
∴ak+1+ak+2+⋯+ak+10=ak+1⋅(1-210)1-2=2k+1⋅(1-210)1-2=2k+1(210-1)=25(210-1)，
∴2k+1=25，则k+1=5，解得k=4．
故选：C．
由已知得数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出an，再利用等比数列求和可得答案．
本题考查了等比数列的定义，等比数列前n项和公式，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：拋物线C：x2=8y的焦点为F(0,2)，
过F且倾斜角为π4的直线l的方程为y=x+2，
联立y=x+2x2=8y，可得x2-8x-16=0，
解得x1=4-4 2，x2=4+4 2，
则|AB|= 2|x1-x2|= 2×8 2=16，
设D(m,m28)，(4-4 2由D到直线l的距离d=|m+2-m28| 2=|-(m-4)2+32|8 2，
当m=4时，d取得最大值328 2=2 2，
所以△DAB的面积的最大值为12×2 2×16=16 2，
故选：A．
求得抛物线的焦点坐标，可得直线l的方程，与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，求得D到直线l的距离的最大值，结合三角形的面积公式，可得所求最大值．
本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d.∵a4+a5=24，S6=48，
∴2a1+7d=24，6a1+6×52d=48，
解得：a1=-2，d=4，
故选：AC．
利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由C：(x-3)2+(y-3)2=4知，圆心为C(3,3)，半径r=2，
直线AB的方程为x2+y2=1，即x+y-2=0，
则圆心到直线距离d=|3+3-2| 2=2 2>r=2．
所以直线AB与圆C相离，故A错误，B正确；
由圆心到直线的距离知，
圆上的点到直线距离的最大为2 2+r=2+2 2，最小值为2 2-r=2 2-2，故C，D正确．
故选：BCD．
根据圆心到直线的距离判断AB，再由圆上点到直线距离的最值判断CD即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：对于A，设正方体棱长为2，MN与OP所成角为θ，
则tanθ=112 4+4= 22，不满足MN⊥OP，故A错误；
对于B，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则M(0,2,2)，N(2,2,0)，P(0,0,1)，O(1,1,0)，
∴MN=(2,0,-2)，OP=(-1,-1,1)，
∴MN⋅OP=-4，不满足MN⊥OP，故B错误；
对于C，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则M(2,2,2)，N(0,2,0)，O(1,1,0)，P(0,0,1)，
∴MN=(-2,0,-2)，OP=(-1,-1,1)，
∴MN⋅OP=0，满足MN⊥OP，故C正确；
对于D，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则M(0,0,2)，N(0,2,0)，P(0,0,1)，O(1,1,0)，
∴MN=(0,2,-2)，OP=(-1,-1,1)，
∴MN⋅OP=-4，不满足MN⊥OP，故D错误．
故选：C．
对于A，设正方体棱长为2，MN与OP所成角为θ，求出tanθ= 22，不满足MN⊥OP；对于B，C，D，作出空间直角坐标系，设正方体棱长为2，利用向量法进行判断，即可．
本题考查空间中线与线的位置关系，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直的方法是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：如图：
对于A，由图可知，a1+c1>a2+c2，故A不正确；
对于B，a1-c1=a2-c2=|PF|，故B正确；
对于C，D，由a1-c1=a2-c2>0，c1>c2>0 知a2-c2c2>a1-c1c1，即a1c1a1c2，即：c1a1>c2a2，故C不正确，D正确．
故选：BD．
根据题意得a1-c1=a2-c2=|PF|，再结合不等式的性质即可得答案．
本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题．
13.【答案】16
【解析】解：①当m=0时，两条直线化为：l1：x-1=0；l2：-x+1=0，此时两条直线重合，应舍去．
②m≠0时，直线的方程分别化为：直线l1：y=-12mx+12m，l2：y=3m-1m+1m．
∵l1/​/l2，
∴-12m=3m-1m12m≠1m，
解得m=16．
综上可知：m=16
分类讨论：当m=0时，直接验证即可．m≠0时，直线的方程分别化为：直线l1：y=-12mx+12m，l2：y=3m-1m+1m.由l1//l2，可得-12m=3m-1m12m≠1m，解得m即可．
本题考查了两条直线平行于斜率的关系、分类讨论方法，属于基础题．
14.【答案】 33
【解析】【分析】
本题主要考查点面距离的计算，属于基础题．
先求得平面ABC的一个法向量n=(x,y,z)，然后由d=|AM⋅n||n|= 33求解．
【解答】
解：因为M(-1,2,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，
所以AM=(-2,2,-1),AB=(0,1,-1),AC=(-1,1,0)，
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AB⋅n=0AC⋅n=0，即y-z=0-x+y=0，
令x=1，则n=(1,1,1)，
所以则点M到平面α的距离为d=|AM⋅n||n|= 33，
故答案为： 33．
15.【答案】 3或 62
【解析】解：当该双曲线焦点位于实轴时，则有m>0，n>0，
因为该双曲线一条渐近线为y= 2x，
所以有 n m= 2⇒nm=2⇒nm+1=3⇒m+nm=3⇒ m+n m= 3，
即此时双曲线的离心率为 3；
当该双曲线焦点位于虚轴时，则有m<0，n<0，
因为该双曲线一条渐近线为y= 2x，
所以有 -n -m= 2⇒-n-m=2⇒-m-n=12⇒-m-n-n=32⇒ -m-n -n= 32= 62，
即此时双曲线的离心率为 62．
故答案为： 3或 62．
根据双曲线焦点的位置，结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
16.【答案】4913
【解析】解：圆C1：x2+y2-2x=0⇒(x-1)2+y2=1，显然C1(1,0)，半径为1，
圆C2：x2+y2-6x-6y+14=0⇒(x-3)2+(y-3)2=4，显然C2(3,3)，半径为2，
因为PA，PB分别是圆C1，圆C2的切线，
所以AC1⊥PA，PB⊥BC2，
因为|PA|=PB|，
所以有 |PC1|2-1= |PC2|2-4，
即x2+y2-2x=x2+y2-6x-6y+14，
化简，得2x+3y=7⇒y=7-2x3代入x2+y2中，
得x2+(7-2x3)2=139x2-289x+499=139(x-1413)2+4913，
所以当x=1413时，x2+y2的最小值为4913，
故答案为：4913．
利用圆切线的性质，结合代入法、二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1+3d=7a1+9d=19，
解得：a1=1，d=2，
∴an=1+2(n-1)=2n-1，
Sn=n(1+2n-1)2=n2．
(2)bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]
=12(1-12n+1)=n2n+1．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
(2)利用“裂项求和”方法即可得出．
18.【答案】解：(1)因为曲线E：x23-y2=1的右焦点为(2,0)，
所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)，
所以p2=2，可得p=4，
所以抛物线C的标准方程为y2=8x；
(2)设P点的坐标为(x0,y0)，
若抛物线C上的点P满足|PF|=6，所以|PF|=x0+p2=x0+2=6，
所以x0=4，则y0=±4 2，
所以P点坐标为(4,±4 2).
【解析】本题主要考查抛物线的定义和性质，考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
(1)根据题意可求得抛物线的焦点坐标，从而可求得p，从而可得抛物线C的标准方程；
(2)设P点的坐标为(x0,y0)，由抛物线的性质可求得x0，代入抛物线方程中可求得y0，从而可得P点坐标．
19.【答案】解：(1)证法一：正△ABC中，点M为BC的中点，∴AM⊥BC，
∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且平面B1BCC1∩平面ABC=BC，AM⊂面ABC，
∴AM⊥面B1BCC1，∵MN⊂面B1BCC1，∴AM⊥MN，
∵MN⊥AB1，且AM∩AB1=A，AM,AB1⊂面AB1M，∴MN⊥面AB1M.
证法二：以M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，过M作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0, 3,0)，B1(-1,0,3)，设N(1,0,z0)，
则AB1=(-1,- 3,3)，MN=(1,0,z0)，
∵MN⊥AB1，∴MN⋅AB1=-1+3z0=0，
∴z0=13，N(1,0,13)，
设面AB1M的法向量u=(x,y,z)，
则u⋅AB1=-x- 3y+3z=0u⋅MA= 3y=0，取z=1，则u=(3,0,1)，
∴MN//u，∴MN⊥面AB1M.
(2)由(1)知BA=(1, 3,0)，BB1=(0,0,3)，MA=(0, 3,0)，MN=(1,0,13)，
设面ABB1A1的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅BA=a+ 3b=0m⋅BB1=3c=0，取b=1，得m=(- 3,1,0)，
设平面AMN的法向量n=(x',y',z')，
则n⋅MA= 3y'=0n⋅MN=x'+13z'=0，取z'=3，得n=(-1,0,3)，
设平面ABB1A1和平面AMN夹角为θ，
则平面ABB1A1和平面AMN夹角的余弦值为csθ=|m⋅n||m|⋅|n|= 32 10= 3020．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)法一：推导出AM⊥BC，从而AM⊥面B1BCC1，AM⊥MN，再由MN⊥AB1，能证明MN⊥面AB1M.
法二：以M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，过M作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN⊥面AB1M.
(2)求出面ABB1A1的法向量和平面AMN的法向量，利用向量法能求出平面ABB1A1和平面AMN夹角的余弦值．
20.【答案】解：(1)∵nan+1=Sn+n(n+1)，
当n≥2时，(n-1)an=Sn-1+n(n-1)，
当n=1时，a2=a1+2，即a2-a1=2，
∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=1+(n-1)×2=2n-1．
证明：(2)bn=an2n=2n-12n，
∴Tn=12+322+523+…+2n-12n①，
12Tn=122+323+524+…+2n-12n+1②，
①-②得：12Tn=12+12+122+…+12n-1-2n-12n+1=32-2n+32n+1，
∴Tn=3-2n+32n，
∵n∈N*，∴2n+32n>0，
∴Tn<3．
【解析】(1)通过nan+1=Sn+n(n+1)推出数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，求解通项公式．
(2)利用错位相减法转化求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥AD，
∵直线PB与底面ABCD所成的角为45°，∴∠PBA=45°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴PA=AB=2，
又PA=2CD，∴CD=1．
在Rt△PAD中，∵PD= 7，PA=2，∴AD= 3，
在三角形ADC中，AD= 3，CD=1，AC=2，
∴AD2+CD2=AC2，可得CD⊥AD，
又AD∩PA=A，AD、PA⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE；
(2)解：假设在棱PB上存在一点T，满足题意，则PT=λPB(0≤λ≤1)，
由(1)可知，∠DAC=30°，∴∠DAB=90°，
以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，D(0, 3,0)，E(0, 32,1)，
设T(x1,y1,z1)，则PT=(x1,y1,z1-2)，
又λPB=(2λ,0,-2λ)，
∴(x1,y1,z1-2)=(2λ,0,-2λ)，得x1=2λ，y1=0，z1=2-2λ，
∴AT=(2λ,0,2-2λ)，AE=(0, 32,1)．
设平面ATE的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则有n⋅AT=2λx2+(2-2λ)z2=0n⋅AE= 32y2+z2=0，
取y2=2，得n=( 3(1-λ)λ,2,- 3)，
而平面PAB的一个法向量为AD=(0, 3,0)，
∴|cs|=|n⋅AD|n|⋅|AD||=2 3 3(1-λ)2λ2+7× 3= 105，
解得λ=12，即T(1,0,1)，所以T是PB的中点，
故在棱PB上存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为 105．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
(1)由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥AD，再由直线PB与底面ABCD所成的角为45°，得∠PBA=45°，在等边三角形ABC中，求得PA=AB=2，进一步得到CD=1，求解三角形可得CD⊥AD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AE；
(2)假设在棱PB上存在一点T，满足题意，则PT=λPB(0≤λ≤1)，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，B，P，D，E的坐标．然后分别求出平面ATE与平面PAB的一个法向量，由二面角的余弦值为 105列式求得λ=12，可得在棱PB上存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为 105．
22.【答案】解：(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，即e=ca=12，
∵点G(0,2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
∴a=2，c=1，b= 3，故椭圆方程为x24+y23=1．
(2)由直线与椭圆交于M，N两点，
联立y=kx+mx24+y23=1，得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则△=(8km)2-16(3+4k2)(m2-3)=48(4k2+3-m2)>0，
x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4(m2-3)3+4k2，
所以kOMkON=y1y2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2x1x2=4k2(m2-3)-8k2m2+m2(3+4k2)4(m2-3)=3(m2-4k2)4(m2-3)=-34，
∴2m2=4k2+3，
∴|MN|= 1+k2|x1-x2|= 1+k24 3 4k2+3-m23+4k2= 1+k24 3|m|2m2，
∵原点O到l的距离d=|m| 1+k2，
∴S△OMN=|MN|2⋅d=12 1+k2⋅4 3|m|2m2|m| 1+k2= 3为定值．
【解析】(1)通过椭圆的离心率，结合点G(0,2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求出a，b，即可得到椭圆方程．
(2)由直线与椭圆交于M，N两点，联立y=kx+mx24+y23=1，得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，利用△>0以及韦达定理，通过斜率乘积推出2m2=4k2+3，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积，推出结果即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．