2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8+a14＝3a11﹣4，则S21＝（ ）
A．72B．84C．144D．168
2．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0（k＜0）和定点P（1，﹣1），若过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）
3．（5分）如果直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣b关于直线y＝x对称，那么（ ）
A．a，b＝6B．a，b＝﹣6C．a＝3，b＝﹣2D．a＝3，b＝6
4．（5分）已知抛物线x2＝16y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
5．（5分）设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nan+1＝2Sn，，数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝（ ）
A．0B．50C．100D．2525
7．（5分）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为E：x2+y2＝7，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．M到C的右焦点的距离的最大值为
C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则
D．△MPQ面积的最大值为
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（1）＝9，对任意实数x1，x2都有，若an＝f（n），则{an}中的最大项为（ ）
A．a9B．a10C．a8和a9D．a9和a10
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
（多选）9．（5分）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列﹣2021，0，4与数列4，0，﹣2021是同一个数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项
C．在数列中，第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，⋯的通项公式为
（多选）10．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn}，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，下列说法正确的是（ ）
A．T2022＝1348
B．若Tn＝2022，则n＝3033
C．S1000＝a1002﹣1
D．a12+a22+a32+⋯+a5002＝a500a501
（多选）11．（5分）已知圆M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直线l：x+y﹣2＝0，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形MAPB面积的最小值为4
B．线段AB的最小值为
C．当直线AB的方程为x+y＝0时，∠APB最小
D．若动直线l1∥l，l1且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线l1横截距的取值范围为
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围为 ．
14．（5分）已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝﹣n2+2n+m，则实数m的取值范围是 ．
15．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是 ．
16．（5分）如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足AB⊥AD，CB⊥CD，，若点A，C分别为椭圆E：（b＞0）的上、下顶点，点B在椭圆E上，点D不在椭圆E上，则椭圆E的焦距为 ．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．半径为3的圆C过点A（1，﹣1），圆心C在直线y＝2x上且圆心在第一象限．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程．
18．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2+4y2＝4的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式．
（1）求线段AB的长度；
（2）求顶点C的轨迹方程．
19．已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝3n．
（1）求an；
（2）若对任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，求λ的取值范围．
20．如图，已知点A，B，C是抛物线x2＝y上的三个不同的点，且△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标；
（Ⅱ）求三角形ABC的面积的最小值．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，．
（1）计算：a2，a3；
（2）证明为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（3）设，求数列{bn+1bn}的前n项和Tn．
22．设椭圆E：的左右焦点F1，F2分别是双曲线1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8+a14＝3a11﹣4，则S21＝（ ）
A．72B．84C．144D．168
【解答】解：由等差数列性质知a8+a14＝2a11＝3a11﹣4，解得a11＝4，
故．
故选：B．
2．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0（k＜0）和定点P（1，﹣1），若过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）
【解答】解：圆C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0化为标准方程：（x+k）2+（y+1）2＝1，
∵过点P（1，﹣1）可以作两条直线与圆C相切，
∴点P（1，﹣1）在圆外，将点P（1，﹣1）代入圆方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1，
∴k＞0（舍去）或k＜﹣2，
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故选：D．
3．（5分）如果直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣b关于直线y＝x对称，那么（ ）
A．a，b＝6B．a，b＝﹣6C．a＝3，b＝﹣2D．a＝3，b＝6
【解答】解：
法一：由题意，函数y＝3x﹣b的反函数为y，
与y＝ax+2对照可得a，b＝6；
法二：在y＝ax+2上取点（0，2），
则点（2，0）在y＝3x﹣b上，故得b＝6；
又y＝3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y＝ax+2上，代入得a，
由此可得a，b＝6
故选：A．
4．（5分）已知抛物线x2＝16y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【解答】解：由题意知，圆心E（2，6），半径r＝2，抛物线的焦点F（0，4），准线l：y＝﹣4，
如图，作PH⊥l于H，因为P在抛物线上，所以|PF|＝|PH|，
因为|PQ|+|PH|≤|QH|，当P，Q，H三点共线时，取等号，
又|QH|≥|EH|﹣|EQ|，则当E，Q，H三点共线时，取等号，
过点E，作EH1⊥l，垂足为H1，EH1交圆于Q1点，交抛物线于P1，
此时E，Q1，P1，H1四点共线，则上述两式可同时取等号，
所以（|P1Q1|+|P1H1|）min＝|Q1H1|＝|EH1|﹣|EQ1|＝|6﹣（﹣4）|﹣2＝8，
所以|PQ|+|PF|的最小值为8，
故选：C．
5．（5分）设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为：，即bx±ay＝0，
∴F（c，0）到渐近线的距离为，∴，
则直角三角形FOH的内切圆的半径，
如图，设三角形的内切圆与FH切于M，则，，
可得，∴，
即2b＝2a+c，则4b2＝4c2﹣4a2＝c2+4ac+4a2，
所以8a2+4ac﹣3c2＝0，
由，∴3e2﹣4e﹣8＝0，
∵e＞1，∴．
故选：A．
6．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nan+1＝2Sn，，数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝（ ）
A．0B．50C．100D．2525
【解答】解：∵nan+1＝2Sn①，
则当n≥2时，（n﹣1）an＝2Sn﹣1②，
①﹣②得nan+1﹣（n﹣1）an＝2an，
即，易知，又，•••，，
∴，
又a1＝1满足an＝n，
∴，∴，
∴b1+b2＝b3+b4＝⋯＝b99+b100＝1，
∴T100＝50，
故选：B．
7．（5分）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为E：x2+y2＝7，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．M到C的右焦点的距离的最大值为
C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则
D．△MPQ面积的最大值为
【解答】解：∵椭圆的蒙日圆为E：x2+y2＝7，
根据蒙日圆的定义，4+m＝7，得m＝3，
∴椭圆，a2＝4，b2＝3，则c2＝1，
∴椭圆的离心率，故A正确；
点M是圆E：x2+y2＝7上的动点，椭圆的右焦点F（1，0），
则|MF|的最大值是，故B正确；
根据蒙日圆的定义可知MP⊥MQ，则PQ为圆E的直径，PQ与椭圆交于两点A，B，点A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），N（x0，y0），，故C正确；
D因为PQ为圆的直径，，当点M到直线PQ的距离为时，△PQM的面积最大，此时最大值是，故D错误．
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（1）＝9，对任意实数x1，x2都有，若an＝f（n），则{an}中的最大项为（ ）
A．a9B．a10C．a8和a9D．a9和a10
【解答】解：根据题意可得，
可得∴，
令x1＝n，x2＝1，而f（1）＝9，
可得，
∴，
∴
∴数列是以首项为，公差d＝10的等差数列，
∴，
∴，
∴，
∴当n≤8时，an+1＞an；当n＝9时，an+1＝an；当n≥10时，an+1＜an，
∴{an}中最大项为a9和a10，
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
（多选）9．（5分）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列﹣2021，0，4与数列4，0，﹣2021是同一个数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项
C．在数列中，第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，⋯的通项公式为
【解答】解：对于选项A，数列﹣2021，0，4与4，0，﹣2021中数字的排列顺序不同，
不是同一个数列，
所以选项A不正确；
对于选项B，令，
解得n＝10或n＝﹣11（舍去），
所以选项B正确；
对于选项C，根号里面的数是公差为1的等差数列，
第8个数为，即，
所以选项C正确；
对于选项D，由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知通项公式为an＝2n+1，
所以选项D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn}，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，下列说法正确的是（ ）
A．T2022＝1348
B．若Tn＝2022，则n＝3033
C．S1000＝a1002﹣1
D．a12+a22+a32+⋯+a5002＝a500a501
【解答】解：根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列{bn}为1，1，0，1，1，0，⋯，则数列{bn}为周期数列，且周期为3，
所以T2022＝（1+1+0）×674＝1348，所以A正确．
因为2022＝（1+1+0）×1011，1011×3＝3033，且b3031＝1，b3032＝1，b3033＝0，所以n＝3033或n＝3032，所以B错误．
因为S1000＝a1+a2+⋯+a999+a1000＝a3﹣a2+a4﹣a3+⋯+a1001﹣a1000+a1002﹣a1001＝a1002﹣a2＝a1002﹣1，所以C正确.，
所以D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知圆M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直线l：x+y﹣2＝0，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形MAPB面积的最小值为4
B．线段AB的最小值为
C．当直线AB的方程为x+y＝0时，∠APB最小
D．若动直线l1∥l，l1且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线l1横截距的取值范围为
【解答】解：圆M：（x+1）2+（y+1）2＝4的圆心M（﹣1，﹣1），半径为r＝2，
可知|MA|＝|MB|＝2，PA⊥AM，，SMAPB＝2S△APM，
当|PM|取最小值时，四边形MAPB面积取得最小值，
此时，
所以四边形MAPB面积的最小值为，故A正确；
又圆心M（﹣1，﹣1）到直线l的距离，
所以当SMAPB取得最小值时，，
可得，故|AB|最小值，故B正确；
当直线AB的方程为x+y＝0时，kAB＝﹣1，kOM＝1，则kAB⋅kOM＝﹣1，
所以直线AB与直线OM垂直，又O是AB中点，|MA|＝|MB|＝2，，
所以，则|MA|2+|MB|2＝|AB|2，
所以MA⊥MB，
易得四边形MAPB是正方形，此时∠APB＝90°，而当|PM|＝4时，直角三角形中，∠APM＝30°，∠APB＝60°＜90°，故C错误；
设M到直线l1的距离为d1，因为，且，
所以，则，
设l1：x+y+m＝0，所以，即，解得，
故直线l1的横截距﹣m的取值范围为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
【解答】解：由题意得点（1，2）在抛物线C：y2＝2px 上，
所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则 F（1，0），
设直线l：x＝my+1，与y2＝4x 联立得y2﹣4my﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以 ，
当 时，|MN|＝16，故A错误；
，
则，
当且仅当 时等号成立，故B正确；
如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交 y 轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，
垂足为D1，则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，
所以 ，所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以 为圆与 y 轴的切点，所以点D的纵坐标为，
又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，
又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，故C正确；
过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以ΔGFM 的周长为 ，
当且仅当点 M 的坐标为（1，2）时取等号，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围为 ．
【解答】解：kPA
kPB
∵l与线段AB相交，
∴kpA≤k≤kpB
∴﹣1≤k≤1
∴0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0
由于y＝tanx在[0，）及（，0）均为减函数
∴直线l的倾斜角α的范围为：
故答案为：
14．（5分）已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝﹣n2+2n+m，则实数m的取值范围是 （﹣2，+∞） ．
【解答】解：①当n＝1时，，
②当n≥2时，，an+1﹣an＝[﹣2（n+1）+3]﹣（﹣2n+3）＝﹣2＜0，
∴当n≥2时，an+1＜an，数列{an}递减，
综上所述，若使{an}为递减数列，只需满足a2＜a1，即﹣2×2+3＜1+m，
解得m＞﹣2，
故答案为：（﹣2，+∞）．
15．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是 ．
【解答】解：不妨设F1为下焦点，F2为上焦点，延长BI交AF2于D，如图：
分别记△ABF2，△IF2B，△IF2A，△IAB面积为S，S1，S2，S3，
以，为基底表示，
又B，I，D三点共线，，，
∴，
由内心的性质知，S1：S2：S3＝BF2：AF2：AB＝3：5：6，
不妨令BF2＝6，AF2＝10，AB＝12，由椭圆的第一定义4a＝28⇒a＝7，且BF1＝8，
在△ABF2中，余弦定理得，∴，∴，
∴，
∴，．
故答案为：．
16．（5分）如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足AB⊥AD，CB⊥CD，，若点A，C分别为椭圆E：（b＞0）的上、下顶点，点B在椭圆E上，点D不在椭圆E上，则椭圆E的焦距为 4 ．
【解答】解：由题意得A（0，b），C（0，﹣b），设B（x1，y1），D（x2，y2），连接BD，如图所示：
∵AB⊥AD，CB⊥CD，
∴A，B，C，D在以BD为直径的圆M上，且∠ABC+∠ADC＝π，
又原点O为圆M的弦AC的中点，则圆心在AC的垂直平分线上，即在x轴上，则y1+y2＝0，
又，则，
∵∠ABC+∠ADC＝π，∴cs∠ABC+cs∠ADC＝0，
∴，
当cs∠ADC≠0时，则0，
若cs∠ADC＝0时，则四边形ABCD为矩形，则点D也在椭圆E上，与点D不在椭圆E上矛盾，
∴S△ABC＝2S△ADC，∴x1＝﹣2x2，故圆M的圆心坐标为，
∴圆M的方程为，
将（0，b）代入得，
又，解得b2＝4，
故椭圆E的焦距为，
故答案为：4．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．半径为3的圆C过点A（1，﹣1），圆心C在直线y＝2x上且圆心在第一象限．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程．
【解答】解：（1）∵圆心C在直线y＝2x上且圆心在第一象限，
∴可设圆心为C（a，2a）（a＞0），
∵半径为3的圆C过点A（1，﹣1），
∴，解得a＝1，
故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9；
（2）∵（4﹣1）2+（3﹣2）2＞9，
∴点（4，3）在圆外，
①切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，圆心到直线的距离为d＝4﹣1＝3＝r，满足条件，
②切线斜率存在时，设切线l：y﹣3＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+3＝0，
则圆心到切线的距离，解得，则切线的方程为4x+3y﹣25＝0，
综上所述，切线的方程为x﹣4＝0或4x+3y﹣25＝0．
18．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2+4y2＝4的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式．
（1）求线段AB的长度；
（2）求顶点C的轨迹方程．
【解答】解：（1）∵椭圆的方程为x2+4y2＝4，
∴椭圆的方程为，
∴a＝2，b＝1，，
∵A，B分别为椭圆的左焦点和右焦点，
∴，
∴，
∴线段AB的长度；
（2）△ABC中根据正弦定理得：（R为△ABC外接圆半径），
∴，
∵，
∴，
∴．
∴C点的轨迹是以A，B为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
则，
∴，
∴顶点C的轨迹方程为．
19．已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）an＝3n．
（1）求an；
（2）若对任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，求λ的取值范围．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝3；
当n≥2时，a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）an﹣1＝3n﹣1，
又a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）an﹣1+（2n﹣1）an＝3n，
上述两式作差可得（2n﹣1）an＝3n﹣3n﹣1＝2•3n﹣1，即an，
a1＝3不满足an，
所以an；
（2）当n≥2时，an+1﹣an0，即an+1＞an，
所以，数列{an}从第二项开始为递增数列，对任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，
①若n为正奇数，则an≥﹣λ，∵a1＝3＜a3a5＜…，则﹣λ≤3，可得λ≥﹣3；
②若n为正偶数，则an≥2，可得λ≤a2＝2．
综上所述，﹣3≤λ≤2．
20．如图，已知点A，B，C是抛物线x2＝y上的三个不同的点，且△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标；
（Ⅱ）求三角形ABC的面积的最小值．
【解答】解：（1）∵直线BC的斜率为1，
∴直线BC的倾斜角为45°，即∠CBx＝45°，
又△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°＝∠CBx，
∴直线AC与x轴平行，
由抛物线的对称性知，点B为原点，
∴B（0，0）．
（2）由对称性知，不妨设点B在y轴的右侧（包括y轴），且A（x1，y1），C（x2，y2），B（t，t2），
则x1＜0＜t＜x2，
设直线BC的斜率为k（k＞0），则直线AB的斜率为，
∴直线BC的方程为y﹣t2＝k（x﹣t），
联立，得x2﹣kx+kt﹣t2＝0，
∴x2+t＝k，x2•t＝kt﹣t2，
∴|BC|•（x2﹣t）•（k﹣2t），
同理可得，|AB|•|2t|•（2t），
∵|AB|＝|BC|，
∴•（2t）•（k﹣2t），
化简可得，t，
∴△ABC的面积S|AB|•|BC|•（1+k2）•（k﹣2t）2
•（1+k2）•[k﹣2]2
•（1+k2）•[]2•
1，
当且仅当k＝1时，等号成立，
故三角形ABC的面积的最小值为1．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，．
（1）计算：a2，a3；
（2）证明为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（3）设，求数列{bn+1bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）令 n＝2，得 S2﹣3S1＝2，
又 a1＝S1＝1，所以 a2＝4，
令 n＝3，得 2S3﹣4S2＝8，
又 S2＝5，∴a3＝9；
证明：（2）因为当 n≥2（n∈N*） 时，，
所以 ，
所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ，
所以 ，
于是，当 n≥2（n∈N*） 时，
，
当 n＝1 时，a1＝S1＝1，满足上式，
故 ；
（3）因为 ，则 ，
于是，
．
22．设椭圆E：的左右焦点F1，F2分别是双曲线1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意得点F1（﹣2，0），F2（2，0），
所以a2﹣b2＝4，
因为椭圆的右顶点（a，0）到双曲线的渐近线y的距离da．
解得a2＝8，b2＝4，
故椭圆E的标准方程为1；
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，
联立y＝kx+m与1可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
由Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0可得8k2﹣m2+4＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2，x1x2，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m），
因为，
所以x1x2+y1y2＝（1+k2）•kmm2＝0，
整理得3m2＝8+8k2≥8，代入到8k2﹣m2+4＞0，可得m2＞2，
所以，
故m或m，
因为原点到直线y＝kx+m的距离d，
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且，
该圆的半径为d，故该圆的方程为x2+y2；
当直线AB的斜率不存在时，此时直线AB的方程为x与已知椭圆的交点为（，），（，）或（，），（，），
此时，满足题意；
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且；
因为|AB|••，
令t，则m2，代入上式可得|AB|，
因为所以t≥1，0，
故当，即t＝2时|AB|取得最大值2，
又|AB|，
所以，
当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝2，
故|AB|的取值范围为[，2]．