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浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）
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这是一份浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2. 函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为非零实数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 同号且非零，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，如 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无法得到 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用整体代入法求得正确答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5. 已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性、周期性求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
【答案】C
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，利用 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】利用 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8. 若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有三个不同的实数解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. -6B. -4C. -3D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
即关于 SKIPIF 1 < 0 的方程恰有三个不同的实数解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则①转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据对勾函数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，即 SKIPIF 1 < 0 的根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 是锐角，则 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角
B. SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为第一或第二象限角
D. 若 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 为第一或第三象限角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.
【详解】A选项， SKIPIF 1 < 0 是锐角，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，A选项正确.
B选项，根据弧度制的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不是象限角，C选项错误.
D选项， SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为第一或第三象限角，D选项正确.
故选：ABD
10. 关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 B. 函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 是周期函数D. 函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域不是 SKIPIF 1 < 0 ，A选项错误.
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域关于原点对称，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，B选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，C选项正确.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，A选项符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在CD选项中，C选项错误，则D选项正确.
故选：AD
12. 已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式可能正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由原方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令 SKIPIF 1 < 0 ，代入原方程转化为判断 SKIPIF 1 < 0 是否有解即可判断B，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出 SKIPIF 1 < 0 大小，判断CD，
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；同理可得，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，由换底公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然关于 SKIPIF 1 < 0 的方程在 SKIPIF 1 < 0 上有解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 . 又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上所述可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上所述可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：ABCD
【点睛】关键点点睛：对于CD选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出 SKIPIF 1 < 0 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简求值： SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【解析】
【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是一条连续不断的曲线，当 SKIPIF 1 < 0 时，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，请写出一个满足上述条件的 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，如 SKIPIF 1 < 0 亦可）
【解析】
【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.
【详解】根据函数自变量 SKIPIF 1 < 0 时，函数值域为 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，
根据二次函数性质可知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，如 SKIPIF 1 < 0 亦可）
15. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则当该纸叠扇的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 的长度为______cm.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设扇形ABC半径为 SKIPIF 1 < 0 ，弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，根据扇形ABC的面积得到 SKIPIF 1 < 0 ，纸叠扇的周长 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】设扇形ABC的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，则扇形面积 SKIPIF 1 < 0 .
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以纸叠扇的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】化简函数解析式，先求出 SKIPIF 1 < 0 整体的范围，由在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点得出不等式，解出 SKIPIF 1 < 0 的范围，再结合 SKIPIF 1 < 0 的取值，即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
综上： SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在① SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若______，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）通过选择的条件列不等式，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
选①， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，
则 SKIPIF 1 < 0 且等号不同时成立，解得 SKIPIF 1 < 0 .
选②， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
选③， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【小问1详解】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0
可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-2，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，
所以只需考虑一下三种情况并检验即可：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，舍.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，成立.
③若 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，而此时 SKIPIF 1 < 0 ，成立.
综上可知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心；
（2）先将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象.若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，然后利用整体代入法求得 SKIPIF 1 < 0 的对称中心.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，根据 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域转化不等式 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
由图可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格 SKIPIF 1 < 0 （单位：元）与时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：天） SKIPIF 1 < 0 的函数关系满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ），日销售量 SKIPIF 1 < 0 （单位：件）与时间 SKIPIF 1 < 0 的部分数据如下表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为 SKIPIF 1 < 0 （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）给出以下四种函数模型：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）选择函数模型② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（3）961
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式.
（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.
【小问1详解】
因为第15天的日销售收入为1057元，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由表中的数据知，当时间 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 先增后减.
而函数模型① SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 都是单调函数，
所以选择函数模型② SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以日销售量 SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 的变化关系为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由（2）知 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由基本不等式得， SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为961.
22. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”.
（1）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“ SKIPIF 1 < 0 型函数”?并说明理由；
（2）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 始终是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）1 （3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据“ SKIPIF 1 < 0 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 的定义域求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，结合“ SKIPIF 1 < 0 型函数”的定义以及函数的单调性求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（3）对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论，根据“ SKIPIF 1 < 0 型函数”的定义列不等式，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 递增.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
若取 SKIPIF 1 < 0 ，则不存 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 不是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”.
【小问2详解】
首先函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
由复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以只需 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立即可.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1.
【小问3详解】
由题 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中. SKIPIF 1 < 0
15
20
25
30
SKIPIF 1 < 0
105
110
105
100
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2. 函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为非零实数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 同号且非零，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，如 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无法得到 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用整体代入法求得正确答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5. 已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性、周期性求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
【答案】C
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，利用 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】利用 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8. 若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有三个不同的实数解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. -6B. -4C. -3D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
即关于 SKIPIF 1 < 0 的方程恰有三个不同的实数解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则①转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据对勾函数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，即 SKIPIF 1 < 0 的根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 是锐角，则 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角
B. SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为第一或第二象限角
D. 若 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 为第一或第三象限角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.
【详解】A选项， SKIPIF 1 < 0 是锐角，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，A选项正确.
B选项，根据弧度制的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不是象限角，C选项错误.
D选项， SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为第一或第三象限角，D选项正确.
故选：ABD
10. 关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 B. 函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 是周期函数D. 函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域不是 SKIPIF 1 < 0 ，A选项错误.
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域关于原点对称，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，B选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，C选项正确.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，A选项符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在CD选项中，C选项错误，则D选项正确.
故选：AD
12. 已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式可能正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由原方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令 SKIPIF 1 < 0 ，代入原方程转化为判断 SKIPIF 1 < 0 是否有解即可判断B，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出 SKIPIF 1 < 0 大小，判断CD，
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；同理可得，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，由换底公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然关于 SKIPIF 1 < 0 的方程在 SKIPIF 1 < 0 上有解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 . 又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上所述可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上所述可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：ABCD
【点睛】关键点点睛：对于CD选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出 SKIPIF 1 < 0 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简求值： SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【解析】
【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是一条连续不断的曲线，当 SKIPIF 1 < 0 时，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，请写出一个满足上述条件的 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，如 SKIPIF 1 < 0 亦可）
【解析】
【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.
【详解】根据函数自变量 SKIPIF 1 < 0 时，函数值域为 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，
根据二次函数性质可知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，如 SKIPIF 1 < 0 亦可）
15. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则当该纸叠扇的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 的长度为______cm.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设扇形ABC半径为 SKIPIF 1 < 0 ，弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，根据扇形ABC的面积得到 SKIPIF 1 < 0 ，纸叠扇的周长 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】设扇形ABC的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，则扇形面积 SKIPIF 1 < 0 .
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以纸叠扇的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】化简函数解析式，先求出 SKIPIF 1 < 0 整体的范围，由在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点得出不等式，解出 SKIPIF 1 < 0 的范围，再结合 SKIPIF 1 < 0 的取值，即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
综上： SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在① SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若______，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）通过选择的条件列不等式，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
选①， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，
则 SKIPIF 1 < 0 且等号不同时成立，解得 SKIPIF 1 < 0 .
选②， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
选③， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【小问1详解】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0
可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-2，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，
所以只需考虑一下三种情况并检验即可：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，舍.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，成立.
③若 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，而此时 SKIPIF 1 < 0 ，成立.
综上可知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心；
（2）先将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象.若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，然后利用整体代入法求得 SKIPIF 1 < 0 的对称中心.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，根据 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域转化不等式 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
由图可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格 SKIPIF 1 < 0 （单位：元）与时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：天） SKIPIF 1 < 0 的函数关系满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ），日销售量 SKIPIF 1 < 0 （单位：件）与时间 SKIPIF 1 < 0 的部分数据如下表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为 SKIPIF 1 < 0 （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）给出以下四种函数模型：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）选择函数模型② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（3）961
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式.
（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.
【小问1详解】
因为第15天的日销售收入为1057元，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由表中的数据知，当时间 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 先增后减.
而函数模型① SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 都是单调函数，
所以选择函数模型② SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以日销售量 SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 的变化关系为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由（2）知 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由基本不等式得， SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为961.
22. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”.
（1）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“ SKIPIF 1 < 0 型函数”?并说明理由；
（2）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 始终是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）1 （3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据“ SKIPIF 1 < 0 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 的定义域求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，结合“ SKIPIF 1 < 0 型函数”的定义以及函数的单调性求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（3）对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论，根据“ SKIPIF 1 < 0 型函数”的定义列不等式，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 递增.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
若取 SKIPIF 1 < 0 ，则不存 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 不是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”.
【小问2详解】
首先函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
由复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以只需 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立即可.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1.
【小问3详解】
由题 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 型函数”.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中. SKIPIF 1 < 0
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