2023-2024学年重庆市数学九年级第一学期期末试题

这是一份2023-2024学年重庆市数学九年级第一学期期末试题，共19页。试卷主要包含了下列函数的图象，不经过原点的是，方程x2+5x＝0的适当解法是，sin30°等于等内容，欢迎下载使用。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）
A．5︰3B．4︰3C．︰2D．2︰
2．在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（ ）
A．5B．3C．6D．4
3．如图，已知AB是ʘO的直径，点P在B的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为1．BC＝9，则PA的长为（ ）
A．8B．4C．1D．5
4．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（ ）度．
A．42B．48C．46D．50
5．下列函数的图象，不经过原点的是（ ）
A．B．y＝2x2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．
6．关于二次函数y＝x2+4x﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，5）B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小D．图象与x轴的两个交点之间的距离为5
7．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5B．﹣1C．2D．﹣5
8．在中，，垂足为D，则下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
9．方程x2+5x＝0的适当解法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．因式分解法D．公式法
10．sin30°等于( )
A．B．C．D．
11．方程（x+1）2=4的解是（ ）
A．x1=﹣3，x2=3B．x1=﹣3，x2=1C．x1=﹣1，x2=1D．x1=1，x2=3
12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44°B．40°C．39°D．38°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知线段a＝4，b＝16，则a，b的比例中项线段的长是_______．
14．如图，C，D是抛物线y＝（x+1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E，CD∥x轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为_____．
15．如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为__________．
16．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________．
17．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
18．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知:二次函数为
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标;
（2）为何值时，顶点在轴上方;
（3）若抛物线与轴交于,过作轴交抛物线于另一点,当时，求此二次函数的解析式．
20．（8分）快乐的寒假临近啦！小明和小丽计划在寒假期间去镇江旅游.他们选取金山（记为）、焦山（记为）、北固山（记为）这三个景点为游玩目标.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），请用“画树状图”或“列表”的方法求他俩都选择金山为第一站的概率.
21．（8分）随机抽取某小吃店一周的营业额(单位: 元)如下表:
（1）分析数据，填空:这组数据的平均数是 元，中位数是 元，众数是 元.
（2）估计一个月(按天计算)的营业额,星期一到星期五营业额相差不大，用这天的平均数估算合适么?简要说明理由.
22．（10分）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.
（2）求随的增大而减小时的取值范围.
24．（10分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．
25．（12分）如图是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图.
26．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测得某建筑物顶点O时俯角为30°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，得△ABC △ADE，得 ， ，则， .故选A.
2、D
【分析】由点P在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.
【详解】解：∵点P在圆外
∴圆的直径为10-2=8
∴圆的半径为4
故答案为D.
本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.
3、C
【分析】连接OD,利用切线的性质可得∠PDO＝90°，再判定△PDO∽△PCB，最后再利用相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：连接DO
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵BC⊥PC，
∴∠C＝90°，
∴∠PDO＝∠C，
∴DO//BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴，
设PA＝x，则，
解得：x＝1，
∴PA＝1．
故答案为C．
本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质，证得△PDO∽△PCB是解答本题的关键．
4、A
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=∠ADC=48°，
∴∠ACB=90°-∠B=42°；
故选：A．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5、D
【分析】根据函数图象上的点的坐标特征可以知道，经过原点的函数图象，点（0，0）一定在函数的解析式上；反之，点（0，0）一定不在函数的解析式上．
【详解】解：A、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；
B、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；
C、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；
D、当x＝0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0，0）．故本选项正确．
故选：D．
本题考查了函数的图象,熟悉正比例函数,二次函数和反比例函数图象的特点是解题关键.
6、C
【分析】通过计算自变量为0的函数值可对A进行判断；利用对称轴方程可对B进行判断；根据二次函数的性质对C进行判断；通过解x2+4x﹣5＝0得抛物线与x轴的交点坐标，则可对D进行判断．
【详解】A、当x＝0时，y＝x2+4x﹣5＝﹣5，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5），所以A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以B选项错误；
C、抛物线开口向上，当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，所以C选项正确；
D、当y＝0时，x2+4x﹣5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），两交点间的距离为1+5＝6，所以D选项错误．
故选：C．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7、B
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−，
解得，m=-1，
故选B．
8、D
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【详解】在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝，
故选：D．
此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
9、C
【分析】因为方程中可以提取公因式x，所以该方程适合用因式分解法.因式分解为x（x+5）=0，解得x=0或x=-5.用因式分解法解该方程会比较简单快速.
【详解】解：∵x2+5x＝0，
∴x（x+5）＝0，
则x＝0或x+5＝0，
解得：x＝0或x＝﹣5，
故选：C．
本题的考点是解一元二次方程.方法是熟记一元二次方程的几种解法，也可用选项的四种方法分别解题，选择最便捷的方法.
10、B
【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题．
详解：sin30°=．
故选B．
点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
11、B
【解析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
【详解】（x＋1）2＝4
则x＋1＝±2，
解得：x1＝−1-2＝-3，x2＝−1+2＝1．
故选B．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12、C
【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=×78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可得c2＝ab，代入数据可直接求出c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为4、16的两条线段的比例中项，
∴c2＝ab＝4×16，
∴c2＝64，
∴c＝1或-1（负数舍去），
∴a、b的比例中项为1；
故答案为：1．
本题主要考查了比例线段．掌握比例中项的定义，是解题的关键．
14、
【分析】首先设AB＝CD＝AD＝BC＝a，再根据抛物线解析式可得E点坐标，表示出C点横坐标和纵坐标，进而可得方程﹣5﹣a＝﹣5，再解即可．
【详解】设AB＝CD＝AD＝BC＝a，
∵抛物线y＝（x+1）2﹣5，
∴顶点E（﹣1，﹣5），对称轴为直线x＝﹣1，
∴C的横坐标为﹣1，D的横坐标为﹣1﹣，
∵点C在抛物线y＝（x+1）2﹣5上，
∴C点纵坐标为（﹣1+1）2﹣5＝﹣5，
∵E点坐标为（﹣1，﹣5），
∴B点纵坐标为﹣5，
∵BC＝a，
∴﹣5﹣a＝﹣5，
解得：a1＝，a2＝0（不合题意，舍去），
故答案为：．
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、正方形的性质.
15、2
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可；
【详解】如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=，
∴，
当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD=CB=AB=2，即CD的最大值为2；
故答案为：2.
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.
16、=31.1
【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】根据题意，得：
=31.1
故答案为：=31.1．
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的．
17、1
【分析】根据弧长公式L＝求解即可．
【详解】∵L＝，
∴R＝＝1．
故答案为1．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．
18、1
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.
【详解】解：x2﹣7x+10＝0
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝5，
故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，
则其周长为：5+5+2＝1．
故答案为：1．
本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.
三、解答题（共78分）
19、（1）抛物线开口方向向上，对称轴为直线，；（2）；（3）或
【分析】（1）根据二次函数的性质，即可判定其开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）令顶点坐标大于0即可；
（3）首先得出点A坐标，然后利用对称性得出AB，再根据面积列出等式，即可得出的值，即可得出二次函数解析式.
【详解】
抛物线开口方向向上；
对称轴为直线
顶点坐标为
（2）顶点在轴上方时，
解得
令，则，
所以，点,
轴，
点关于对称轴直线对称，
，
解得
∴二次函数解析式为或.
此题主要考查二次函数的性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
20、 “画树状图”或“列表”见解析；（都选金山为第一站）.
【分析】画树形图得出所有等可能的情况数，找出小明和小丽都选金山为第一站的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小丽都选金山为第一站的只有1种情况，
∴（都选金山为第一站）．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）780,680,640；（2）不合适，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，即可得解；
（2）根据数值和平均数之间的差距即可判定.
【详解】(1)这组数据的平均数是元，
从小到大排列为:540、640、640、680、780、1070、1110，则其中位数是680元，
众数是640元．
（2）不合适
理由：星期一到星期五的日平均营业额相差不大，但是与周六和周日差距较大，
平均数受极端值影响较大，所以不合适.
此题主要考查统计的相关概念，数据波动以及离散程度的相关知识，熟练掌握，即可解题.
22、（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG•AE，
=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m，
=（m-）2+，
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=或，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
23、（1），（2）随的增大而减小时.
【解析】（1）把，代入解析式，解方程组求出a、b的值即可；（2）根据（1）中所得解析式可得对称轴，a＞0，在对称轴左侧y随的增大而减小根据二次函数的性质即可得答案.
【详解】（1）∵抛物线经过点，.
∴
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为.
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴图象开口向上，
∴y随的增大而减小时x<1.
本题考查待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质，a＞0，开口向上，在对称轴左侧y随的增大而减小，a＜0，开口向下，在对称轴右侧y随的增大而减小，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键.
24、（1）72，图详见解析；（2）．
【分析】（1）先画出条形统计图，再求出圆心角即可；
（2）先画出树状图，再求出概率即可．
【详解】（1）条形统计图为；
；
扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是（1﹣15%﹣25%﹣40%）×360°＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图：
由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中符合条件的有2种，
所有P（甲、丙）＝＝，
即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．
本题考查了树状图、条形统计图和扇形统计图等知识点，能画出条形图和树状图是解此题的关键．
25、如图所示见解析.
【分析】从正面看，下面一个长方形，上面左边一个长方形；从左面看，下面一个长方形，上面左边一个长方形；从上面看，一个正方形左上角一个小正方形，依此画出图形即可.
【详解】如图所示.
此题考查了三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
26、40﹣5
【分析】过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，设OC=BC=x，则AC=10+x，利用正切值的定义列出x的方程，求出x的值，进而求出楼的高度．
【详解】过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，
根据题意可知，∠OAC=30°，∠OBC=45°，AB=10米，AD=45米，
在Rt△BCO中，∠OBC=45°，
∴BC=OC，
设OC=BC=x，则AC=10+x，
在Rt△ACO中，
，
解得：x=5+5，
则这栋楼的高度(米)．
本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角的问题以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计