2023-2024学年重庆市数学九年级第一学期期末考试试题

这是一份2023-2024学年重庆市数学九年级第一学期期末考试试题，共16页。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1 200牛时，汽车的速度为( )
A．180千米/时B．144千米/时C．50千米/时D．40千米/时
2．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是 （ ）
A．120°，60°B．95°，105°C．30°，60°D．90°，90°
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．sin30°等于( )
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么csα的值是（ ）
A．B．C．D．
7．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
8．一个袋中有黑球个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出个球，记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程次，发现共有黑球个．由此估计袋中的白球个数是( )
A．40个B．38个C．36个D．34个
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．±B．4C．±或4D．4或－
11．将抛物线y=（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3
12．一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣C．x1＝6，x2＝﹣D．x1＝﹣6，x2＝
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣（﹣1）2＝_____．
14．如图，是半圆的直径，，则的度数是_______．
15．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为_____cm．
16．一元二次方程的两实数根分别为，计算的值为__________．
17．如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为_______．
18．已知直线y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则2x₁y₂+x₂y₁的值是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．
（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？
（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？
20．（8分）如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
21．（8分）如图，在中，，为边上的中点，交于点，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
22．（10分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题：
（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x1﹣1（a﹣1）x+a1﹣a﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x1．
（1）若a为正整数，求a的值；
（1）若x1，x1满足x11+x11﹣x1x1＝16，求a的值．
24．（10分）若，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c.
25．（12分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
(1)求这个抛物线的函数表达式；
(2)若点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.
26．如图，与交于点，过点，交与点，交与点F，，，，.
(1)求证：
(2)若，求证：
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点（3000,20），代入(k),即可求出反比例函数的解析式，再求出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可.
【详解】设函数为(k),
代入（3000,20），得，得k=60000，
∴，
∴牵引力为1 200牛时，汽车的速度为= 50千米/时,故选C.
此题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式.
2、D
【分析】根据两个直角互补的定义即可判断．
【详解】解：∵互补的两个角可以都是直角，
∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，
故选：D.
考点：本题考查的是两角互补的定义
点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．
3、D
【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC，再利用同弧所对的圆周角相等，求证△AB
D△BED，利用其对应边成比例可得，然后将已知数值代入即可求出DE的长．
【详解】解:∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等）,
∴∠DBC=∠BAD，
∴△ABD△BED，
∴,
∴DE=
故选D.
本题考查圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据其定理进行分析.
4、D
【分析】先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：A、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴，错误；
C、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误．
D、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；
故选：D．
本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
5、B
【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题．
详解：sin30°=．
故选B．
点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
6、D
【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．
【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（，2），
∴OH＝，MH＝2，
∴OM＝＝3，
∴csα＝，
故选：D．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7、C
【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【详解】将x＝2代入x2﹣ax＝0，
∴4﹣2a＝0，
∴a＝2，
故选：C．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
8、D
【分析】同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据题中条件求出黑球的频率再近似估计白球数量．
【详解】解：设袋中的白球的个数是个，根据题意得：
解得
故选：D
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
9、B
【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．
10、D
【详解】把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意；
把y=8代入第一个方程，解得： x=，
又由于x小于等于2，所以x=舍去，
所以选D
11、D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=（x-2）2-8向左平移1个单位所得直线的解析式为：
y=（x+1）2-8；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-5）2-8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：
y=（x+1）2-1．
故选：D．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12、C
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求出答案．
【详解】解：∵x（3x+2）＝6（3x+2），
∴（x﹣6）（3x+2）＝0，
∴x＝6或x＝，
故选：C．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，得出答案．
【详解】原式＝1+1﹣1＝1．
故答案为：1．
本题主要考查零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，牢记负整数指数幂的计算方法，是解题的关键.
14、130
【分析】根据AB为直径，得到∠ACB=90°，进而求出∠ABC，再根据圆内接四边形性质即可求出∠D．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°-∠ABC=130°．
故答案为：130°
本题考查了“直径所对的角是圆周角”、“圆内接四边形对角互补”、“直角三角形两锐角互余”等定理，熟知相关定理，并能灵活运用是解题关键．
15、2或1
【分析】分两种情况：（1）容器内水的高度在球形容器的球心下面；（2）容器内水的高度在球形容器的球心上面；根据垂径定理和勾股定理计算即可求解．
【详解】过O作OC⊥AB于C，
∴AC=BC=AB=4cm．
在Rt△OCA中，∵OA=5cm，
则OC3(cm)．
分两种情况讨论：
（1）容器内水的高度在球形容器的球心下面时，如图①，延长OC交⊙O于D，
容器内水的高度为CD=OD﹣CO=5﹣3=2(cm)；
（2）容器内水的高度在球形容器的球心是上面时，如图②，延长CO交⊙O于D，
容器内水的高度为CD=OD+CO=5+3=1(cm)．
则容器内水的高度为2cm或1cm．
故答案为：2或1．
本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．注意分类思想的应用．
16、-10
【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后代入代数式即可得解.
【详解】由已知，得
∴
∴
故答案为-10.
此题主要考查根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，熟练掌握，即可解题.
17、.
【分析】如图，过点C作CP⊥BE于P，可得CG为PC的最小值，由ABCDEF是正六边形，根据多边形内角和公式可得∠GBC=60°，进而可得∠BCG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出PC的长.
【详解】如图，过点C作CG⊥BE于G，
∵点P为对角线BE上一动点，
∴点P与点G重合时，PC最短，即CG为PC的最小值，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠GBC=60°，
∴∠BCG=30°，
∵BC=6，
∴BG=BC=3，
∴CG===.
故答案为：
本题考查正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，根据垂线段最短得出点P的位置，并熟练掌握多边形内角和公式是解题关键.
18、1
【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁．由A（x₁，y₂）在双曲线y＝﹣上可得x₁y₁＝﹣5，然后把x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁代入2x₁y₂+x₂y₁的就可解决问题．
【详解】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝﹣都是以原点为中心的中心对称图形，
∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，
∴x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁．
∵A（x₁，y₁）在双曲线y＝﹣上，
∴x₁y₁＝﹣5，
∴2x₁y₂+x₂y₁＝2x₁（﹣y₁）+（﹣x₁）y₁＝﹣3x₁y₁＝1．
故答案为：1．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）20%；（2）1728万元．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程求解可得；
（2）根据求得的增长率代入求得2020年的投入即可．
【详解】解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，得：
1000（1+x）2＝1440，
解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），
答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；
（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．
本题考查的知识点是用一元二次方程求增长率问题，根据题目找出等量关系式是解此题的关键.
20、1米．
【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．
【详解】解：过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，
在Rt△ABE中，tan∠B＝，
∴BE＝＝x，
在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，
∴CE＝＝x，
∵BC＝BE﹣CE，
∴x﹣x＝150，
解得：x＝1．
答：小岛A到公路BD的距离为1米．
本题考查了三角函数和一元一次方程的问题，掌握特殊三角函数值和解一元一次方程的方法是解题的关键．
21、（1）（2）
【分析】（1）根据题意证出∠B=∠ADE，进而设出DE和AD的值，再结合勾股定理求出AE的值即可得出答案；
（2）根据斜中定理求出AD和AB的值，结合∠B和∠AED的sin值求出AC和AE的值，相减即可得出答案.
【详解】（1）∵，
∴.
又∵，
∴.
设，则.
在中， ，
则.
（2）∵为斜边上的中点，
∴，
∴.
则， ，
∴.
本题考查的是解直角三角形，难度适中，需要熟练掌握直角三角形中的相关性质与定理.
22、（1）喷出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）.（3）水池的直径至少要6米.
【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，即可求出喷出的水流距水平面的最大高度；
（2）根据两抛物线的关于y轴对称，即可求出左边抛物线的二次项系数和顶点坐标，从而求出左边抛物线的解析式；
（3）先求出右边抛物线与x轴的交点的横坐标，利用对称性即可求出水池的直径的最小值.
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点式为.
∴喷出的水流距水平面的最大高度是4米.
（2）∵两抛物线的关于y轴对称
∴左边抛物线的a=-1，顶点坐标为（-1,4）
左边抛物线的表达式为.
（3）将代入，则
得，
解得，（求抛物线与x轴的右交点，故不合题意，舍去）.
∵（米）
∴水池的直径至少要6米.
此题考查的是二次函数的应用，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式、利用顶点式求二次函数的解析式和求抛物线与x轴的交点坐标是解决此题的关键.
23、（2）a＝2，2；（2）a＝﹣2．
【分析】（2）根据关于x的一元二次方程x2-2（a-2）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，得到△=[-2（a-2）]2-4（a2-a-2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x2+x2=2（a-2），x2x2=a2-a-2，代入x22+x22-x2x2=26，解方程即可得到结论．
【详解】解：（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，∴a＝2，2；
（2）∵x2+x2＝2（a﹣2），x2x2＝a2﹣a﹣2，
∵x22+x22﹣x2x2＝26，
∴（x2+x2）2﹣3x2x2＝26，
∴[2（a﹣2）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝26，
解得：a2＝﹣2，a2＝6，
∵a＜3，∴a＝﹣2．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
24、4∶8∶7.
【解析】试题分析：首先设等式为m，然后分别将a、b、c用含m的代数式来进行表示，根据2a-b+3c=21求出m的值，从而得出a、b、c的值，最后求出比值．
试题解析：令＝＝＝m，则a＋2=3m，b=4m，c＋5=6m，
∴a=3m－2，b=4m，c=6m－5， ∵2a－b＋3c=21，
∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)=21， 即20m=40，解得m=2，
∴a=3m－2=4，b=4m=8，c=6m－5=7， ∴a∶b∶c=4∶8∶7.
25、 (1)；(2)的最大值为.
【分析】（1）根据A,B两点坐标可得出函数表达式；
（2）设点，根据列出S关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.
【详解】解：（1）将A,B两点的坐标代入解析式得，解得
故抛物线的表达式为：；
（2）连接，设点，
由（1）中表达式可得点，
则
，
∵，故有最大值，当时，的最大值为.
本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.
26、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOB∽△COD,从而可证∠A=∠D；
（2）证明△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
【详解】证明：（1）∵，，，,
∴,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,
∴∠A=∠D；
（2）∵∠A=∠D，
∴AB∥CD,
∴△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,
∴,,
∴,
∵，
∴

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何证明．