江苏省南京市建邺区2023-2024学年上学期九年级期末数学模拟练习试卷

这是一份江苏省南京市建邺区2023-2024学年上学期九年级期末数学模拟练习试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 二次函数y＝3（x﹣2）2+4的图像的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣4）D．（2，4）
2. 已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
3 . 某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．B．C．D．
4 . 点，与为二次函数图象上的三点，
则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5 .如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）

A．50°B．65°C．115°D．130°
6 . 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．

A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7 .连续两次抛掷一枚均匀的硬币，两次都正面朝上的概率是 ．
8. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
9 .如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，
同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝2m，BD＝6m，则大树的高度为 m．

在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为_______
11 . 已知二次函数的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程的解为 ．

12 .如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，
已知，则⊙的半径为 ．

13 .某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，则平均每次降价的百分数为 ．
14 .在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，
已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，
与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），
当她与跳台边缘的水平距离为_________m时，竖直高度达到最大值．

15 .如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，
当，时，则阴影部分的面积为 ．

16 .如图，在矩形纸片中，，，点在上，
将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，
将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：
①；②；③；④；
其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）

三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
(1)x2－x－2＝0；
(2)3x(x－2)＝2－x．
18 .劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，
该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，
求平均每年的增产率．
19 .王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，
对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，
随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从
“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，
：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，
随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，
请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，
求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
21 .如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，
把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）

22 . 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．

(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
如图，是的直径，，垂足为E，直线与圆相切于点C，交于点D，
直线交的延长线于点P，连接．

(1)求证：平分；
(2)若直径为10，，求长．
24 ．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，
发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系，
如图所示．

(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
25 .（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．

26 .如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．

（1）求抛物线的解析式与点B坐标；
（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
2023-2024学年九年级第一学期江苏省南京市建邺区期末数学模拟练习试卷 解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1.二次函数y＝3（x﹣2）2+4的图像的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣4）D．（2，4）
【答案】D
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线y＝3（x﹣2）2+4的顶点坐标是
故选D
2. 已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2-2x+a=0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
【详解】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，
∴x=1满足关于x的一元二次方程x2-2x+a=0，
∴12-2×1+a=0，即1-2+a=0，
解得，a=1；
故选：A．
3 .某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据加权平均数的计算方法，以及中位数的计算方法即可得出.
【详解】由题意可知，共有15名学生，成绩按从小到大排列， 位置排在中间的是第8名，
所以中位数是95，
平均数为，
故选：B.
4 .点，与为二次函数图象上的三点，
则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以根据抛物线开口向下，
在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出的大小关系．
【详解】∵抛物线，
∴对称轴为，
∴在的右边随的增大而减小，
∵点，与为二次函数图象上的三点，
∴，
故选：A．
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．65°C．115°D．130°
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
6 .已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7 .连续两次抛掷一枚均匀的硬币，两次都正面朝上的概率是 ．
【答案】
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两次都是正面朝上的结果数为1，
∴两次都是正面朝上的概率=．
故答案为：．
8. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据分式的加减化简代数式，进而即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
9 .如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，
同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝2m，BD＝6m，则大树的高度为 m．
【答案】4.4
【分析】过点C作交AB于点F，由此可知CF＝BD＝6m，BF＝CD＝2m，
再根据题意可得，即可求出AF的长，从而可求出大树高．
【详解】如图：过点C作交AB于点F，
由作图结合题意易知四边形BDCF为矩形，
∴CF＝BD＝6m，BF＝CD＝2m，
∵同一时刻1.2m的标杆影长为3m，
∴，即，
解得：AF＝2.4．
∴大树高AB＝AF＋BF＝2.4＋2＝4.4m．
故答案为：4.4．
10.在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为_______
【答案】20
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，
可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
11 . 已知二次函数的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，
根据抛物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．
【详解】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），
对称轴为，
由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，
即：；
故答案为：．
12.如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，
已知，则⊙的半径为 ．
【答案】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，
在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
13 .某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，则平均每次降价的百分数为 ．
【答案】20%
【分析】设平均每次降价率为x，可先表示出第一次降价后的价格，
那么第一次降价后的价格×（1-x）=128，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设平均每次降价率为x，
则第一次降价后的价格为200×（1-x），
两次连续降价后售价后的价格为：200×（1-x）×（1-x），
则列出的方程是200×（1-x）2=128，
解得：x=20%．即平均每次的降价率为20%．（不符合题意的根舍去）
故答案为：20%．
14 .在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，
已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，
与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），
当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值．

【答案】8
【解析】
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴当x=8时， y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
15 .如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，
当，时，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】本题考查勾股定理和三角形的面积、圆的面积．根据勾股定理求出，
分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．
能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
16 .如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而 =2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．
【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在RtABF中，AF==8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在RtGFH中，
∵，
∴，
解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正确；
∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴ABF∽DFE，
∴，
∴，
而 ，
∴，
∴DEF与ABG不相似；所以②错误．
∵=×6×3=9，=×3×4=6，
∴．所以③正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
(1)x2－x－2＝0；
(2)3x(x－2)＝2－x．
【答案】(1)x1＝2，x2＝－1
(2)x1＝－，x2＝2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
【详解】（1）解：x2－x－2＝0，
(x－2)(x＋1)＝0，
x－2＝0或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1．
（2）解：3x(x－2)＝2－x，
3x(x－2)＋(x－2)＝0，
(3x＋1)(x－2)＝0，
3x＋1＝0或x－2＝0，
x1＝－，x2＝2．
18 .劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，
该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，
求平均每年的增产率．
【答案】平均每年的增产率为10%
【解析】
【分析】根据年均增长率的计算公式，列式计算即可．
【详解】解：设平均每年的增产率为x．
根据题意得：
解得 （不合题意，舍去）
答：平均每年的增产率为10%
19 .王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，
对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）6，7，7
（2）
（3）乙同学，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【小问1详解】
解：甲数据从小到大排列，第5、6位都6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
【小问2详解】
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
选择乙同学，理由：
乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
20.某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，
随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从
“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，
：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，
随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，
请结合统计图回答下列问题．
本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，
求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【答案】（1）200，72；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名，
扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是，
故答案为：200；72；
（2）选项的人数为（名，
补全条形图如下：
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
21 .如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，
把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别连接、、，再结合网格找出、、的中点，顺次连接即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求；
22 . 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】(1)先利用等角的余角相等，证得∠BAE＝∠CEF，再结合∠B＝∠C＝90°，即可证得△ABE∽△ECF．
(2) 由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，．
要求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA＋∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
即CF＝．
设CE＝x，则BE＝4－x．
∴CF＝＝－（x－2）2＋1，
当x＝2时，CF取最大值1；
此时，DF取最小值3．
当DF＝3时，AF取最小值，．
∴AF长度的最小值为5．
23.如图，是的直径，，垂足为E，直线与圆相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接．
(1)求证：平分；
(2)若直径为10，，求长．
【答案】(1)见详解；
(2)4.4
【分析】（1）连接，如图，利用切线的性质得到，则判断，所以，然后利用，进而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到，再利用勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，利用勾股定理得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵直线与圆相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵是的直径，
∴
在中，，
在和中，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
连接，
∴，
在中，，
∴．
24. ．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，；
(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．
【分析】（1）由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，设，将，代入解析式求解即可；
（2）设利润为w元，求得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，
设，将，代入解析式，可得
，解得
即，
由题意可得，，，解得
即，，
（2）解：设利润为w元，
则，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，w有最大值，为1000元，
25 .（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
【答案】（1）①；②；（2）；；
（3）；
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，
结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，
求出，证明，
求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
26 .如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．
（1）求抛物线的解析式与点B坐标；
（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（﹣1，0）；（2）
点D坐标为，，（2，0），（5，0）；（3）M（4，5）或（﹣2，5）
【分析】(1)将点A,C的坐标代入求解即可.
作AM⊥x轴于M,分类讨论当BA=BD时,点
D在B的左侧和点D在B的右侧,D点坐标;
当AD=BD时,D点坐标;当AB=AD时,D点坐标.
(3)抛物线图象得A、B,、N的坐标,结合图象可得两种可能情况,代入求值即可.
【详解】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3）
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1
∵点B在x轴负方向，
∴点B坐标为（﹣1，0）；
（2）作AM⊥x轴于M，
∴点M（2，0），AM＝3，
∴AM＝BM＝3，
∴∠ABM＝45°
∴AB＝
当BA＝BD时，若点D在B点左侧，此时点D，
若点D在B点右侧，此时点D，
当AD＝BD时，显然点D即为点M，坐标（2，0），
当AB＝AD时，DM＝BM＝3，此时点D（5，0），
综上所述：点D坐标为，，（2，0），（5，0）；
（3）抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，即点N横坐标为1，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，
∴xB﹣xM＝xA﹣xN或xB﹣xN＝xA﹣xM，
∴﹣1﹣xM＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣xM，
∴xM＝﹣2或4，
∴M（4，5）或（﹣2，5）．
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
7
a
6
乙
b
7
c
d
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
7
a
6
乙
b
7
c
d