江苏省镇江市丹阳高级中学2022-2023学年高二重点班上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江市丹阳高级中学2022-2023学年高二重点班上学期期末数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、,,若,则( )
A.6B.7C.8D.9
2、椭圆的焦距为4,则m的值为( )
A.12B.4C.12或4D.10或6
3、已知等比数列满足,,则( )
A.B.C.D.
4、将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则2次抛掷的点数之积是6的概率是( )
A.B.C.D.
5、在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺
6、已知数列的前n项和,且,则( )
A.14B.28C.56D.112
7、已知圆的一条切线与双曲线有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、数列满足,,则数列的前20项和为( )
A.100B.110C.160D.200
二、多项选择题
9、刘女士的网店经营坚果类食品,2019年各月份的收入,支出(单位:百元)情况的统计如图所示,下列说法中正确的是( )
A.4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B.支出最高值与支出最低值的比是
C.第三季度平均收入为5000元
D.利润最高的月份是3月份和10月份
10、如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且,则下列说法中正确的有( )
A.B.
C.D.直线与AC所成角的余弦值为
11、过抛物线的焦点F作直线交抛物线C于A,B两点,则( )
A.的最小值为4
B.以线段AB为直径的圆与y轴相切
C.
D.当时,直线AB的斜率为
12、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,….设第n层有个球,从上往下n层球的总数为,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,,,,则60分为成绩的第________百分位数.
14、已知数列是公差不为零的等差数列,,,成等比数列,第1,2项与第10,11项的和为68,则数列的通项公式是________.
15、已知样本数据,,…,的平均数与方差分别是m和n,若,且样本数据的,,…,平均数与方差分别是n和m,则________.
16、甲,乙,丙,丁,戊五位同学分别写了一张新年贺卡,然后放在一起,现在五人均从中抽取一张.则这五位同学恰好有2人都抽到自己的贺卡的概率________.
四、解答题
17、某大型连锁超市随机抽取了100位客户,对去年到该超市消费情况进行调查.经统计,这100位客户去年到该超市消费金额(单位:万元)均在区间内,按,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示.
（1）求该频率分布直方图中a的值,并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表);
（2）为了解顾客需求,该超市从消费金额在区间和内的客户中,采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈,再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”,求幸运客户中恰有1人来自区间的概率.
18、已知等差数列和等比数列满足,,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列,记数列{cn}的前n项和为,求.
19、已知圆C经过点,及.经过坐标原点O的斜率为k的直线l与圆C交于M,N两点.
（1）求圆C的标准方程;
（2）已知点,若的面积为,求k的值.
20、如图,直三棱柱中,,,M为棱AB的中点,N是的中点.
（1）证明:平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21、已知数列的前n项和为,且,a1＝1.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,数列的前n项和为,证明.
22、已知椭圆,的左右焦点,是双曲线的左右顶点,的离心率为,的离心率为,点在上,过点E和,分别作直线交椭圆于F,G和M,N点,如图.
（1）求,的方程;
（2）求证:直线和的斜率之积为定值;
（3）求证:为定值.
参考答案
1、答案：B
解析：由//,且,,
则存在非零实数使得,
即,解得,,
所以.
故选:B
2、答案：C
解析：因为双曲线的焦距为,则,
由,
当焦点在x轴上时,即,解得
当焦点在y轴上时,即,解得.
故或12.
故选:C
3、答案：D
解析：设等比数列的公比为,
因为等比数列满足,,
所以,
所以,
故选:D.
4、答案：C
解析：由题设,2次抛掷的点数之积是6的事件,而抛掷2次的所有可能事件:种,
2次抛掷的点数之积是6的概率.
故选:C
5、答案：A
解析：设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为d尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故选：A.
6、答案：B
解析：注意到,,则当时,.
故.
故选:B
7、答案：D
解析：选B,圆心到切线的距离,解得:,
切线方程为;
与双曲线有两个交点,,.
错因:
求离心率时忘记开方,注意双曲线中,
正
由圆的方程知:圆心,半径,
则圆心到切线的距离,解得:,
切线方程为;
与双曲线C有两个交点,,,
即双曲线C的离心率的取值范围为.
故选:D.
8、答案：B
解析：由,
得:,,,,
.
同理求得,.
数列的前20项满足,,,…是以6为首项,8为公差的等差数列,
则数列的前20项和为.
故选:B.
9、答案：ACD
解析：对于A选项,4至5月份的收入的变化率为,11至12月份的变化率为,因而两个变化率相同,所以A项正确.
对于B选项,支出最高值是2月份60百元,支出最低值是5月份的10百元,故支出最高值与支出最低值的比是,故B项错误.
对于C选项,第三季度的7,8,9月每个月的收入分别为40百元,50百元,60百元,故第三季度的平均收入为百元,故C选项正确.
对于D选项,利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元,故D项正确.
综上可知,正确的为ACD,
故选:ACD.
10、答案：ABD
解析：以为空间一组基底,
,
,
所以,故A选项正确;
所以故B选项错误;
,
所以
所以故C选项错误;
设直线BD与AC所成角为,
,
,
故
所以,故D正确;
故选:ABD.
11、答案：ACD
解析：由题设,由焦点F作直线交抛物线C于A,B两点,设直线方程为,
所以,则,而,
所以,,故,,
因为,故当时,A正确;
以线段AB为直径的圆,圆心为,即,半径为,
显然该圆与抛物线准线相切,与y轴相交,B错误;
由,故C正确;
由,即,故,
所以,则,可得或,
当时,显然不合题意;当时,如图知:,,
所以直线AB的斜率为,根据对称性易知:也满足,D正确.
故选:ACD
12、答案：BC
解析：由题得,C项正确;
,A项错误;
,B项正确;
因为,
,D项错误;
故选:BC.
13、答案：30
解析：由图可知成绩落在中的频率是,
分为成绩的第30百分位数.
故答案为:30.
14、答案：
解析：设等差数列的公差为
由题可知
即
因为,所以解得:
所以.
故答案为:
15、答案：4044
解析：由题意得,,解得,,
,
,
.
故答案为:4044
16、答案：
解析：第一步,选择抽到自己贺卡的两个人,共有种;
第二步,假设抽到自己贺卡的两个人为丁,戊,则甲,乙,丙没抽到自己的,
若甲抽到乙的,则乙只能抽到丙的,丙只能抽到甲的;
若甲抽到丙的,则乙只能抽到甲的,丙只能抽到乙的;
故只能两种情况,所以五位同学恰好有2人都抽到自己的贺卡共有种情况,
所以这五位同学恰好有2人都抽到自己的贺卡的概率为.
故答案为:
17、答案：（1）,0.466万元;
（2）.
解析：（1）由题可知,
即,所以.
由频率分布直方图可得
因此,这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元.
（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件A.
因为区间与频率之比为,采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈,故从分组区间中抽取2人,分别记为,,从分组区间中抽取3人,分别记为,,,从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”,样本点表示“选出,”(余类推),则样本空间为
.
所以.
答:（1）该频率分布直方图中的值为1.3,这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元;（2）幸运客户中恰有1人来自区间的概率为.
18、答案：（1）,,,
（2）11302,
解析：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由,,,,可得,,
则,,,,,
（2）由（1）,
即是数列中的第项,
设数列的前n项和为,数列的前n项和为,
因为,,
所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的,
所以,
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）设圆的方程为:,由圆过,及.
,可得,
圆C的方程为:,其标准方程为;
（2）设,,直线l为,
与圆:联立得:,
,则,.
.
整理得,解得,所以.
20、答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析：（1）连接CM,因为,M为棱AB的中点,
所以,
过点M作,
因为三棱柱为直三棱柱,
所以⊥平面ABC,
因为BM,平面ABC,
所以,,
故以M为坐标原点,MB,MC,ME所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
因为,所以,
由勾股定理得:,
所以,,,,,,
则,设平面的法向量为,
则,
解得:,令,则,
故,
所以,
所以,平面,故平面;
（2）则,,
设平面的法向量为,
则,
令,则,
故,
设直线与平面所成角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,所以.
两式相减,得,
即
所以当时,,
在中,令,得,
所以,
又满足,所以
所以,
故数列是首项为1,公差为2的等差数列,且.
（2）,
所以,
当时,,
当时,,
所以.
22、答案：（1）;
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由题设知,椭圆的离心率为
解得
,
椭圆的左右焦点,是双曲线的左右顶点,
设双曲线:
的离心率为解得.
;
（2）证明:点E在上
设
则,
.
直线和的斜率之积为定值1;
（3）证明:设直线和的斜率分别为,,则
设,
与方程联立消y得
“*”
则,是“*”的二根
则
则
同理
.