2024湖南省名校联考联合体高二上学期第三次联考数学试题含解析

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时量：120分钟满分：150分
（考试范围：必修第一册､必修第二册､选择性必修一，选择性必修二至第五章5.2）
得分：__________.
一､选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. 5B. C. 10D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. 10C. D. 12
4. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B. C. D.
5. 敲击如图1所示音叉时，在一定时间内，音叉上一点离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值分别为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
8. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（ ）
A B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得.5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（ ）
A. APP使用人数最多的是微信
B. 微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍
C. 微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和
D. 抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%
11. 对于数列，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. 数列是等差数列D.
12. 已知双曲线与椭圆有公共的焦点，是双曲线的一条渐近线上的一点，是椭圆的对称中心，点，分别为上的动点，位于轴的同侧，且不在轴上，则（ ）
A.
B.
C. 当为与的交点时，
D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，且，则__________.
14. 等比数列前项和为，若，则__________.
15. 已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆交于两点，则__________.
16. 如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若是边上一点，且，设边上的高为，求.
20. 如图，四边形是正方形，平面为的中点，为的外心.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系；
（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.
22. 已知斜率为的直线与抛物线相交所得的弦中点的横坐标为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）点是曲线上位于直线上方的点，过点作曲线的切线交于点，若为抛物线的焦点，以为直径的圆经过点，证明：.