专题03 一元二次方程的应用（五种考法）-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

这是一份专题03 一元二次方程的应用（五种考法）-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版），文件包含专题03一元二次方程的应用五种考法原卷版docx、专题03一元二次方程的应用五种考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

传播问题
1．【广东省惠州市惠城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设有人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
2．【浙江省台州市椒江区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，
因此．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．
3．【广东省肇庆市肇庆中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程是
【答案】
【分析】设参加活动的同学有人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为张，再根据“共送贺卡张”建立方程，然后解方程即可得．
【详解】设参加活动的同学有人，
由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
4．【山西省吕梁市兴县东关中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛?
【答案】11支
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设有支球队参加比赛．
由题意可得：，
解得，（不合题意，舍去），
∴有11支球队参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
增长率问题
5．【四川省南充市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．【重庆市万州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用该公司12月的营业额和该公司10月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．【黑龙江省哈尔滨市巴彦县第一中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】某旅游景点，月份接待游客万，月份接待万，设平均每月的增长率为，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知：月份的游客接待量增长率月份的游客接待量，由此设出未知数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设月平均每月的增长率为，由题意得
，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
8．【新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程 ．
【答案】
【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为，利用该药品经过两次降价后的价格该药品的原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为，
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
营销问题
9．【浙江省台州市仙居县2020-2021学年九年级上学期教学质量数学试题】某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【详解】解：设每件衬衫应降价元．
根据题意，得：，
整理，得，
解得，．
“增加盈利，减少库存”，
应舍去，
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．
10．【山西省阳泉市平定县2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题】春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为 ．
【答案】
【分析】设每件童装降价x元，根据题意列出方程．
【详解】设每件童装降价元，
根据题意可得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据实际问题抽象出一元二次方程．
11．【广东省惠州市惠城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
【答案】(1)
(2)2元
【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得
，
（不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；
（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得
，
解得：．
答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．
12．【广东省茂名市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商平台助力乡村振兴，帮助农户销售一种黑衣花生．从农户手中的进价为每千克元，按每千克元的价格出售，每天可售出千克．调查发现，当售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克．
(1)当售价每千克降低元时，每天销售这种花生______千克，每天获得利润______元；
(2)若要使每天的利润为元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种花生应降价多少元？
【答案】(1)，
(2)每千克这种花生应降价元
【分析】（1）根据售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克，可求出售价每千克降低元时的销售量，由此可求出利润；
（2）设每千克这种花生应降价元，根据题意例一元二次方程方程，解方程，根据实际情况确定方程的根，即可求解．
【详解】（1）解：进价为每千克元，按每千克元的价格出售，每天可售出千克，售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克，
∴当售价每千克降低元时，售价为每千克元，销量为（千克），
∴获得的利润为（元），
故答案为：，．
（2）解：设每千克这种花生应降价元，
根据题意得：，整理得，，
解方程，得，，，
∵要尽快减少库存，
，
∴每千克这种花生应降价元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题，理解销售中的数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键．
与图形有关的问题
13．【河北省唐山市路南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设小路宽，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：设小路宽，则草坪的总长度为，总宽度为，
根据题意得，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程．
14．【河南省新乡市辉县市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可．
【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．

根据题意可得：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
15．【山西省阳泉市平定县2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题】如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】解：设行车通道的宽度为．
根据题意，得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
16．【广东省广州市黄埔区2022～2023学年九年级上学期教学质量诊断（期末）数学】如图，用20米长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），设矩形的一边长度为x米．
(1)矩形的边________米（含x的代数式表示）；
(2)怎样围成一个面积为50平方米的矩形菜园？
【答案】(1)
(2)的长5米，长10米时，矩形面积为50平方米
【分析】（1）根据题意直接列代数式即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，长度为x米，
米，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
整理得，即，
解得．
米，
答：的长5米，长10米时，矩形面积为50平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是表示出矩形的另一边长，列出方程．
动态几何问题
17．【广东省汕头市澄海区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷】如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积．
【答案】2
【分析】先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∵，，
∴， 点Q到B点的时间为，点P到C点的时间为，
∵P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．
∴，
当平分的面积时，，即，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴当时，平分的面积．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范围．
18．【内蒙古自治区包头市东河区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或时，的长度等于
(3)存在，
【分析】（1）根据路程速度时间即可得出，然后用就可得出的值；
（2）运用勾股定理可得：，代入（1）中数据计算即可；
（3）根据三角形面积计算公式可得：，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，，
，
故答案为：；
（2），
∴是直角三角形，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，，
或时，的长度等于；
（3）由题意得：，
即，
解得：，，
当点Q运动到点C时，两点停止运动，
即，
解得，
时，的面积等于．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，考查了列代数式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，三角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的实际问题有意义．
19．【贵州省安顺市关岭县2022-2023学年九年级上学期第一次质检数学试题】如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：
(1)当x为何值时，为等腰三角形；
(2)当x为何值时，的面积为；
(3)当x为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)当时，是等腰三角形
(2)x为1或5时，的面积为
(3)x为或时，是等腰三角形
【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可；
（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；
（3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据题意得：，
∴，
当为等腰三角形时，，
∴，
解得：，
即当时，是等腰三角形；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当x为1或5时，的面积为；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当时，如图1所示：

在和中，由勾股定理得：，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴；
②当时，如图2所示：

在和中，，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴．
综上所述，当x为或时，是等腰三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
20．【江西省萍乡市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加，这两年平均每年绿化面积的增长率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加，则有，解这个方程即可求出答案．
【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
，
解得（舍去），．
所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．
21．【辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A．23B．23或33C．24D．24或30
【答案】B
【分析】先求方程的解 ，再根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴7，11，5能组成三角形，
∵，
∴7，11，15能组成三角形，
∴该三角形的周长是或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
22．【山西省大同市第一中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
23．【河南省郑州市巩义市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可．
【详解】解：可列方程，
故C选项不符合题意，
变形后，可得或，
故A选项不符合题意，D选项不符合题意，
不能得到，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
24．【河北省保定市高碑店市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1870元的利润，即售价定为每个元，销售量为个，结合获得的利润为1870元，可列方程．
【详解】解：根据题意可得：，
即：
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
25．【辽宁省葫芦岛市兴城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】我国古代数学专著《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案．
【详解】解：设正方形的边长是x步，
则列出的方程是：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
26．【河北省邢台市威县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行． 某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为 ， ．
【答案】 8
【分析】利用碰肘的总次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，再解这个方程即可求解．
【详解】解：依题意得，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴
故答案为：；8．
【点睛】本题考查了一元二次方程和应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．【江西省萍乡市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为 元．
【答案】56
【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵要使顾客获得实惠，
∴．
即该商品的销售定价为56元．
故答案为：56．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．【山西省2022--2023学年九年级上学期数学期末试题】如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．
【答案】
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合住房墙的长度为，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．
【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
当所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．【山东省德州市乐陵市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 个队参赛．
【答案】5
【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，则每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
【详解】解：∵赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，
∴共场比赛．
设比赛组织者应邀请队参赛，
则由题意可列方程为．
解得，（舍去），
所以比赛组织者应邀请5队参赛．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于可以把实际问题转换成数学问题．
30．【河南省周口市项城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件．
(1)求四、五两个月销售量的平均增长率；
(2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？
【答案】(1)
(2)每件降价4元
【分析】（1）设四、五两个月销售量的平均增长率为，根据三月份销量与五月份销量的关系列一元二次方程，即可求解；
（2）当年糕每件降价m元时，月销量为件，单件利润为元，根据总利润等于销量乘以单件利润列一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的平均增长率为，
由题意知：，
解得或（舍），
故四、五两个月销售量的平均增长率为；
（2）解：设当年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为6080元，
由题意知：，
整理得：，
解得或，
要使顾客获得最大实惠，
，
即在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，商场六月仍可获利为6080元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
31．【河北省张家口市桥东区张家口东方中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某商店购进一批额温枪，每个进价为40元．若每个售价定为52元，则每周可售出160个．经调查发现，每个售价每增加1元，每周的销售量将减少10个．设每个额温枪的售价为x元（），每周的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求每个售价为多少时，每周的销售利润最大；
(3)若该商店在某周销售这种额温枪获利1600元，求这周每个额温枪的售价．
【答案】(1)
(2)54元
(3)60元
【分析】（1）根据总利润＝每个利润×销售量可得函数关系式；
（2）由二次函数性质即可得销售定价为54元时，这一周销售额温枪获利最大；
（3）在（1）的函数关系式中，令得的一元二次方程，即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意知
（2）解：.
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为1960.
答：当每个售价为54元时，每周的销售利润最大；
（3）解：令，
则，
解得或（不合题意，舍去）.
答：这周每个额温枪的售价为60元；
【点睛】本题考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据总利润＝每台利润×销售量列出函数关系式．
32．【辽宁省锦州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某水果超市以16元/千克购进一定数量的A种水果，若每千克售价为20元，每天可以售出120千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，每千克A种水果的售价每上涨1元，日销售量就减少5千克．
(1)设A种水果每千克的售价上涨x元，则A种水果的日销售量为___________千克；（用含x的代数式表示）
(2)若该水果超市希望每天销售A种水果盈利900元，按照有关管理部门规定，售价不能高出进价的，那么这个水果超市A种水果每千克的售价应上涨多少元？
【答案】(1)；
(2)水果超市A种水果每千克的售价应上涨6元．
【分析】（1）根据“在进价不变的情况下，每千克A种水果的售价每上涨1元，日销售量就减少5千克”列代数式即可．
（2）设水果超市A种水果每千克的售价应上涨x元，根据“该水果超市希望每天销售A种水果盈利900元”列一元二次方程求出x的值，然后根据“售价不能高出进价的”进行取舍即可．
【详解】（1）设A种水果每千克的售价上涨x元，则A种水果的日销售量为元，
故答案为：
（2）设水果超市A种水果每千克的售价应上涨x元，根据题意，得
，
整理得，，
解得，，
∵当时，，
（不合题意，舍去）．
答：水果超市A种水果每千克的售价应上涨6元．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程解决利润问题，解题的关键是要掌握利润的计算方法，最后结果要注意根据题意进行取舍．
33．【河南省驻马店市平舆县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】(1)
(2)6元
【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量（该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润每个的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设平均每月的增长率是，
（个），
解得，（舍）
答：平均每月的增长率是．
（2）设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价6元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．【甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克．
(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
【答案】(1)每天的销售是千克；
(2)水果店需将每千克的售价降低1元．
【分析】（1）销售量＝原来销售量＋上升的销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可．
【详解】（1）每天的销售量是：（千克）；
（2）设这种水果每斤售价降低x元，
根据题意得：
解得：
当时，销售量是；
当时，销售量是（斤）．
∵每天至少售出230斤，
∴．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，第一问关键求出总销售量．第二问，根据售价和销售量、利润之间的等量关系列方程求解．
35．【云南省昭通市昭阳区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动汽车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭电动汽车150辆，2021年底家庭电动汽车的拥有量达到216辆．
(1)若该小区2019年底到2021年底家庭电动汽车拥有量的年平均增长率相同，则年平均增长率是多少？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资30万元（全部用完）建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位10000元/个，露天车位2000元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
【答案】(1)该小区家庭电动汽车拥有量年平均增长率为20%
(2)方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个
【分析】
(设年平均增长率是，根据某小区年底拥有家庭电动汽车辆，年底家庭家庭电动汽车的拥有量达到辆，可求出增长率.
()设该小区可建室内车位m个，露天车位n个，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的倍，但不超过室内车位的倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．
【详解】（1）解：设家庭电动汽车拥有量的年平均增长率为x，
则，
解得，（不合题意，舍去）
答：该小区家庭电动汽车拥有量年平均增长率为20%．
（2）设该小区可建室内车位m个，露天车位n个，
则，
解得，
代入得，
∵m是正整数，
或21，
当时，当时．
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解.
36．【江西省南昌市南昌市二十八中教育集团青云学校等3校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图2，已知“四边形为直等补”四边形，，，，点到直线的距离为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）结合正方形的性质以及旋转的性质，根据“直等补”四边形的定义判断即可；
（2）过作于点，证明四边形是矩形，即有， 再证明，即有，设，则，根据可得，解方程即可求解．
【详解】（1）四边形为“直等补”四边形，理由如下：
四边形是正方形，
，
将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，
，，
，
四边形为“直等补”四边形；
（2）过作于点，如图，

则，
四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
解得，（负值舍去），
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，矩形的判定与性质，旋转的性质以及正方形的性质等知识，理解“直等补”的意义，作出合理的辅助线，是解答本题的关键．