黑龙江省双鸭山市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题（含答案）

这是一份黑龙江省双鸭山市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的图象过点，则 （ ）
A．3B．-3C．D．
4．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
7．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
8．已知函数的图象经过定点，那么使得不等式在区间上有解的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特引入“”和“”符号，对不等式的发展影响深远.下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．若是锐角，则是第一象限角
B．
C．若，则为第一或第二象限角
D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角
11．关于函数的零点，下列选项说法正确的是（ ）
A．是的一个零点
B．在区间内存在零点
C．至少有2零点
D．的零点个数与的解的个数相等
12．有一种附中精神叫“平民本色，精英气质”.若函数满足对任意，都有，则称为“精英”函数.下列选项正确的是（ ）
A．，为“精英”函数
B．若为“精英”函数，则，其中且
C．若为“精英”函数，则且，有
D．，，则为“精英”函数
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如果，为第三象限角，则 ．
14．函数的定义域为 ．
15．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
16．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，则m的取值范围是 ；若满足，则的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算下列各式：
(1)
(2)
18．已知是第三象限角，且.
①若，求的值；
②若，求的值.
19．已知函数，其中
(1)若的最小值为，求的值；
(2)若存在，使成立，求的取值范围．
20．已知且满足.
（1）求的值；
（2）的值.
21．已知函数
(1)若时，求该函数的值域；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
22．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
1．D
【分析】首先根据对数函数的定义域求集合N，再利用交集的概念求答案.
【详解】根据对数函数的定义域得，又因为，所以，
故选：D.
2．C
【分析】由幂函数的定义得出的值，结合的图像与坐标轴没有公共点，确定，代值计算即可得出答案．
【详解】因为为幂函数，
所以，即，解得或，
则或，
又因为的图像与坐标轴没有公共点，
所以，则，
故选：C．
3．C
【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故选：C
4．B
【详解】由诱导公式可得
，
即，
由三角函数的定义可得
则．故选B．
5．A
判断a、b、c与0、1的大小关系进行大小比较.
【详解】∵，，，∴.
故选：A.
指、对数比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
6．D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
7．B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
8．D
【分析】根据可求得，进而得到，根据对数真数大于零可确定；将不等式化为，根据对数函数单调性，结合分离变量法可得，根据不等式有解可知，令，将问题转化为求解在上的最大值的问题，利用二次函数性质可求得最大值，结合可得结果.
【详解】，，解得：，；
当时，恒成立，若，则；
由得：，
，即；
令，，，即；
令，则当时，，
，又，，即实数的取值范围为.
故选：D.
9．AB
【分析】根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.
【详解】A ，不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变，故A正确.
B，由基本不等式知B选项正确.
C，当时，由得到，所以C错误.
D，，，所以D选项错误.
故选：AB
10．ABD
【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.
【详解】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.
B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.
C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误.
D选项，为第二象限角，即，
所以为第一或第三象限角，D选项正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断.
【详解】因为，所以是的一个零点，A不正确；
因为，，
所以在区间内存在零点，B正确；
令，得，
因为方程的判别式，且不是的根，
所以有3个零点，C正确；
由零点的定义可知D也是正确的.
故选：BCD.
12．ABD
【分析】根据“精英”函数的定义结合函数单调性的判断一一分析即可.
【详解】对A，因为，
所以
，
故，故是“精英”函数，A正确；
对B，因为为“精英”函数，故，即，
，故，
同理可得，……，，其中且，B正确；
对C，若且，有，则单调递增，
而举例，满足，
即，为“精英”函数，但在上单调递减，故C错误；
对D，，，即，
则在上单调递减，
任取，，
则，
即，
变形为，
两式相加得：，
因为，所以，
则为“精英”函数，D正确.
故选：ABD.
13．##
【分析】先利用诱导公式化简，再求值
【详解】由诱导公式可知，
又且为第三象限角，所以，
所以，
故
14．
【分析】求定义域要把握三种位置限制：分母不为零，偶次根号下大于等于零，真数大于零，本题三种位置限制都有，则同时满足即可.
【详解】由题意可得：，得：，即：，
∴定义域为.
故答案为.
15．4
【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值.
【详解】函数的图象恒过定点，所以 ,
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故4
16． (0,1)
【分析】根据二次函数以及对数函数的图象特征作出的图象，结合函数图象即可求解，根据对数的运算以及二次函数的对称性得和，即可代入利用二次函数的性质求解.
【详解】作出函数的图象，且，
方程有四个不同的实根，，，，取值范围为(0,1); 如图所示：
满足，则，，
由即：，所以，所以，
根据二次函数的对称性可得：，
，考虑函数单调递增，，，
所以时，的取值范围为.
故(0,1),
方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答.
（2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答.
【详解】（1）原式；
（2）原式
．
18．①;②
【分析】利用诱导公式将原式化为；
①利用诱导公式和同角三角函数关系即可求得结果；
②利用诱导公式将所求余弦值化为,从而得到结果.
【详解】
①
为第三象限角
②
本题考查利用诱导公式化简求值的问题,涉及到同角三角函数关系、特殊角三角函数值的求解问题,考查学生对于诱导公式掌握的熟练程度,属于基础公式应用问题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值；
（2）令，，由可得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，，
当时，即当时，函数取得最小值，即，解得.
（2）解：令，则，由可得，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，，.
20．（1）（2）
【分析】（1）先求出，再分子、分母同时除以，即可得解；
（2）将除以，再结合即可得解.
【详解】解：（1）因为，所以或，
又，所以，
即，
则；
（2）.
本题考查了构造齐次式求值问题，重点考查了运算能力，属中档题.
21．(1)
(2)
【分析】（1）换元法，令得，即可解决；（2）换元法，令，由题意得恒成立，即即可解决.
【详解】（1）由题知，，，
令，
，
，
，
所以该函数的值域为.
（2）同（1）令，
，即恒成立，
，
，易知其在上单调递增，
，
，
的取值范围为.
22．（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.
【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；
（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】解：（1）是定义在R上的奇函数，
，从而得出，
时，，
；
（2）是R上的增函数，证明如下：
设任意，且，
，
，，，，
，
是在上是单调增函数.
，
又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，
，
，；
（3）假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数在上单调递增，
，
，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，
令，即方程有两个不等的正根，
于是有且且，
解得.
存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.
本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.