2023-2024学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．ax+ay+a＝a（x+y）
B．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4
C．m2﹣6m+9＝（m﹣3）2
D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1
2．（4分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≠0D．x＜3
3．（4分）某学习小组的五名同学在一次数学抽测中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91B．中位数是90
C．众数是94D．方差是74
4．（4分）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：青，爱，我，数，学，高，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱高青C．我爱高青D．高青数学
5．（4分）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知一组数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．10C．4D．2
7．（4分）某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）小明同学在解关于x的分式方程时，产生了增根，则m的值可能为（ ）
A．2B．﹣3C．1D．3
9．（4分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如8＝32﹣12，24＝72﹣52，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中（ ）
A．160B．164C．168D．177
10．（4分）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1或0D．0或1
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）分解因式：y3﹣5y2﹣6y＝ ．
12．（4分）若分式的值为0，则x的值为 ．
13．（4分）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，那么李明同学最终比赛成绩为 分．
14．（4分）已知x2+x＝6，则代数式x3+x2﹣6x+2023的值为 ．
15．（4分）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。）
16．（1）化简：；
（2）分解因式：x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
17．（90分）金秋十月，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是在全党全国各族人民迈向全面建设社会主义现代化国家的新征程，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级
A.90≤x＜100，
B.80≤x＜90，
C.70≤x＜80，
D．0≤x＜70．
八年级学生的竞赛成绩为：
99，98，95，91，90，87，87，87，84，83，82，81，79，58；九年级等级B的学生成绩为：89，88，87，83，82
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（条理由即可）；
（3）若八、九年级各有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大或等于90分）的学生共有多少人？
18．先化简：，并在﹣2，0，1，2中选一个合适的数求值．
19．解方程：（1）；
（2）．
20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题；
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
21．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
22．体育用品店准备从厂家购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用5000元购进甲款篮球的数量是用2000元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
23．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，求a与b之间的数量关系．
2023-2024学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．ax+ay+a＝a（x+y）
B．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4
C．m2﹣6m+9＝（m﹣3）2
D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1
【答案】C
解：A、ax+ay+a＝a（x+y+1）；
B、（x﹣2）（x+4）＝x2﹣4，是整式的乘法，故本选项不符合题意；
C、m6﹣6m+9＝（m﹣8）2，是因式分解，故本选项符合题意；
D、x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式不是因式分解．
故选：C．
2．（4分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≠0D．x＜3
【答案】A
解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠6，解得x≠3．
故选：A．
3．（4分）某学习小组的五名同学在一次数学抽测中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91B．中位数是90
C．众数是94D．方差是74
【答案】C
解：A、平均分为：，故此选项错误；
B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，94，98，
故中位数是94分，故此选项错误；
C、94分、90分、74分中．故此选项正确；
D、方差＝，故此选项错误．
故选：C．
4．（4分）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：青，爱，我，数，学，高，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱高青C．我爱高青D．高青数学
【答案】C
解：3a（x2﹣6）﹣3b（x2﹣8）
＝3（a﹣b）（x2﹣4）
＝3（a﹣b）（x+1）（x﹣5）（a﹣b），
那么结果呈现的密码信息可能是我爱高青，
故选：C．
5．（4分）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：原式＝÷
＝•
＝．
故选：D．
6．（4分）已知一组数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．10C．4D．2
【答案】D
解：∵数据：﹣1，x，0，5，﹣2的平均数是0，
∴（﹣6+x+0+1﹣3）÷5＝0，
解得x＝5，
∴这组数据的方差是：
S2＝[（﹣1﹣0）5+（2﹣0）8+（0﹣0）2+（1﹣0）8+（﹣2﹣0）3]＝2；
故选：D．
7．（4分）某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解：设乙的进价为x元，则甲的进价是（x+50）元，
根据题意得，．
故选：C．
8．（4分）小明同学在解关于x的分式方程时，产生了增根，则m的值可能为（ ）
A．2B．﹣3C．1D．3
【答案】B
解：去分母，得m+3＝x﹣2，
将增根x＝3代入，
得m+3＝0，
解得m＝﹣7．
故选：B．
9．（4分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如8＝32﹣12，24＝72﹣52，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中（ ）
A．160B．164C．168D．177
【答案】C
解：设相邻的两奇数分别为2n+1，3n﹣1（n≥1，
（8n+1）2﹣（5n﹣1）2＝2n，
根据题意得：8n≤50，
∴n≤，
∴n最大为2，此时2n+1＝13，
∴72﹣17+52﹣32+...+132﹣115
＝132﹣14
＝168．
故选：C．
10．（4分）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1或0D．0或1
【答案】D
解：，
方程两边同时乘以x﹣2，得8﹣a＝2ax﹣4a，
移项、合并同类项，
∵方程无解，
∴4a＝0或＝2，
解得a＝7或a＝1．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）分解因式：y3﹣5y2﹣6y＝ y（y﹣2）（y﹣3） ．
【答案】y（y﹣2）（y﹣3）．
解：原式＝y（y2﹣5y+5）
＝y（y﹣2）（y﹣3）．
故答案为：y（y﹣5）（y﹣3）．
12．（4分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
解：由题意可得x2﹣1＝2且x﹣1≠0，
解得x＝﹣3．
故答案为﹣1．
13．（4分）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，那么李明同学最终比赛成绩为 92 分．
【答案】92．
解：李明的最终成绩为90×40%+95×40%+90×20%＝92（分），
故答案为：92．
14．（4分）已知x2+x＝6，则代数式x3+x2﹣6x+2023的值为 2023 ．
【答案】2023．
解：∵x2+x＝6，
∴x3+x2﹣6x+2023，
＝x（x7+x）﹣6x+2023，
＝6x﹣6x+2023，
＝2023，
故答案为：2023．
15．（4分）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组，则所有满足条件的整数a的值之和是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
解：关于x的分式方程化为整式方程是：ax﹣3+（x﹣2）＝﹣（4x﹣1），
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴a+4＞0，
∴a＞﹣5，
∵关于x的分式方程可能会产生增根2，
∴，
∴a≠﹣1．
解关于y的一元一次不等式组得：，
∵关于y的一元一次不等式组有解，
∴a﹣6＜0，
∴a＜3．
综上，﹣3＜a＜3且a≠﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣4或﹣2或0或4或2
∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣6+0+1+2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。）
16．（1）化简：；
（2）分解因式：x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
【答案】（1）；
（2）（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
解：（1）
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝；
（2）x2（m﹣2）+y8（2﹣m）
＝（m﹣2）（x8﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
17．（90分）金秋十月，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是在全党全国各族人民迈向全面建设社会主义现代化国家的新征程，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级
A.90≤x＜100，
B.80≤x＜90，
C.70≤x＜80，
D．0≤x＜70．
八年级学生的竞赛成绩为：
99，98，95，91，90，87，87，87，84，83，82，81，79，58；九年级等级B的学生成绩为：89，88，87，83，82
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（条理由即可）；
（3）若八、九年级各有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）a＝87；b＝88.5；m＝40；
（2）九年级的成绩更好，理由见解答；
（3）420人．
解：（1）八年级20名同学的成绩出现次数最多的是87，故众数a＝87；
九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，故中位数b＝；
由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%﹣×100%＝40%；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同；
（3）600×+600×40%＝420（名），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有420人．
18．先化简：，并在﹣2，0，1，2中选一个合适的数求值．
【答案】化简结果为2x+8，当x＝1时代入求值结果为10．
解：原式＝[﹣]
＝•
＝•
＝•
＝2（x+6）
＝2x+8；
又分母不能为4，
∴x不能取﹣2，0，2，
当x＝1时，原式＝2×2+8＝10．
19．解方程：（1）；
             （2）．
【答案】（1）分式方程无解；
（2）x＝﹣3．
解：（1），
方程两边都乘3﹣x，得x﹣1＝3+6﹣2x，
解得：x＝4，
检验：当x＝5时，x﹣4＝0，
所以x＝2是增根，
即分式方程无解；
（2），
方程两边都乘（x+3）（x﹣1），得x（x﹣1）﹣5＝x2﹣1，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣4）≠0，
所x＝﹣3是分式方程的解．
20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题；
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）完全平方公式；
（2）（x﹣2）4，因式分解不彻底；
（3）（x﹣1）4．
解：（1）y2+8y+16＝（y+7）2，用到的是完全平方公式；
（2）∵（x2﹣7x+4）2＝（x﹣5）4，
∴因式分解不彻底；
（3）设y＝x2﹣5x，
∴（x2﹣2x）（x7﹣2x+2）+8
＝y（y+2）+1
＝y5+2y+1
＝（y+2）2
＝（x2﹣8x+1）2
＝（x﹣5）4．
21．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）5；
（2）．
解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）＝＝＝25，
∴．
22．体育用品店准备从厂家购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用5000元购进甲款篮球的数量是用2000元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
【答案】见试题解答内容
解：（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为（x+30）元，
根据题意得：，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，
∴x+30＝120+30＝150．
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球 （2m﹣10）个，
根据题意得：，
解得：6＜m≤10，
设商店共获利w元，则w＝30m+20（2m﹣10），
即w＝40m﹣200，
∵70＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝10时，w取得最大值．
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．
23．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，求a与b之间的数量关系．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）32；
（3）b＝2a．
解：（1）∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b4+c2+2ab+2bc+2ac
∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+3ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）7＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）由（1）可知2ab+abc+2ac＝（a+b+c）3﹣（a2+b2+c3），
∵a+b+c＝10，a2+b2+c4＝36；
∴2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2﹣（a3+b2+c2）＝100﹣36＝64，
∴．
（3）由题意知，BC＝2a，EH＝CF＝b，
∵S长方形ABCD﹣S长方形EFGH，
∴S＝CD•BC﹣EH•EF＝x•7a﹣b•（x+b﹣3a），
即S＝2ax﹣bx﹣b7+3ab＝（2a﹣b）x﹣b7+3ab，
又∵S为定值，
∴2a﹣b＝2，即b＝2a．学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.3
87
a
83.71
九年级
85.3
b
91
81.76
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.3
87
a
83.71
九年级
85.3
b
91
81.76