2024届陕西省商洛市高三上学期第一次模拟检测l理科数学试题

这是一份2024届陕西省商洛市高三上学期第一次模拟检测l理科数学试题，共11页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，4%，55%，已知函数等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x²−x−6≤0}，B={−3，−2，0，2，3}，则A∩B=（ ）
A.{−3，−2，0，2} B. {−2，0} C.{−2，0，2，3} D. {0，2}
2.复数 z=1+2i4+3i在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 a=0.91.1，b=lg1213，c=lg132，则（ ）
A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>a>c
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3a=4b，A=2B，则 csB=（ ）
A. 13 B.23 C. 38 D. 34
5.根据国家统计局发布的数据，我国今年 3月份至 10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A.我国今年3月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速最高为 18.4%
B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%
C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为 14.9%
D.我国今年3月份至 10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%
6.将一个底面半径为3，高为4的圆柱形铁块熔化为铁水，恰好制成一个实心铁球，则该实心铁球的半径是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
7.已知 sinα+5π2=3sinα−π，则 tan2α=（ ）
A. 34 B.−34 C. 43 D. - 43
8.已知抛物线C. y²=6x，过点 A（4，2）的直线l与抛物线C 交于M，N两点，若 MA=AN，则直线l的斜率是（ ）
A. 23 B. 34 C. 43 D. 32
9.在正四面体ABCD中，E，F 是棱BC，AB的中点，则异面直线 DE 与CF 所成角的余弦值是（ ）
A.55 B.255 C. 16 D.356
10.已知函数. fx=2x−1eˣ−x²−ax在 R上单调递增，则a的最大值是（ ）
A.0 B. 16 C. e D.3
11.已知A，B 是直线 y=32与函数 fx=sinωx+π6（ω>0）图象的两个相邻交点，若|AB| =π6，则ω=（ ）
A.4 B.4 或8 C.2 D.2 或 10
12.已知函数 f（x）=|lg₂|x||，x∈（−1，0）∪（0，4].若关于x 的方程f（x）=a有3个实数解x₁，x₂，x₃，且. x₁ A.8 B.11 C.13 D.16
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共20分.
13.已知单位向量 a，b满足| |a+2b|=7，则向量a，b的夹角是 .
14.x−2x36的展开式中，含x²项的系数是 .（用数字作答）
15.已知某比赛在六支队伍（包含甲、乙两支队伍）之间进行，假设这六支队伍的水平相当，则甲、乙这两支队伍都进入前3名的概率是 .
16.过双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点 F₂ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且C的左顶点为B， |AB|=2aba2+b2，则C的离心率为 .
三、解答题：本题共6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题:共 60分.
17.（12 分）
在等差数列{an}中， a₂+a₅=12，a₆=11.
（1）求{an}的通项公式;
（2）若 bn=2an，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ.
18.（12 分）
镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望.
19.（12 分）
如图，在三棱柱 ABC−A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面 ABC，△ABC是等边三角形，且D为棱AB的中点.
（1）证明:AB⊥平面 CC₁D.
（2）若 2AA₁=3AB，求平面 A₁CD与平面ABC₁所成锐二面角的余弦值.
20.（12分）
已知函数 fx=sinx+x².
（1）求曲线 y=fx在点（0，f（0））处的切线方程;
（2）证明: fx>−516
21.（12分）
已知点 F₁−10，F₂10，动点 M 满足 |MF₁|+|MF₂|=4，动点 M 的轨迹记为 E.
（1）求 E 的方程.
（2）若不垂直于x轴的直线l 过点. F₂，与E 交于C，D两点（点C在x 轴的上方）， A₁，A₂分别为E在x轴上的左、右顶点，设直线A₁C的斜率为 k₁k₁≠0，直线 A₂D的斜率为 k₂，试问 k1k2是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
（二）选考题：共 10分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{y=3sinαx=1+3csα，（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 ρcsθ+3ρsinθ− 8=0.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）已知直线 l1:θ=π3，在第一象限内，直线l₁ 与曲线C交于点A，与直线l交于点 B，求|AB|的值.
23.[选修4-5:不等式选讲]（10分）
已知函数 fx=|x−2|.
（1）求不等式 fx≥2x−5的解集；
（2）若 fx≥3−|x+a||恒成立，求a 的取值范围.
商洛市2024届高三第一次模拟检测
数学试卷参考答案（理科）
1．C 由题意可得，则．
2．A 因为，所以复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限．
3．D 因为，所以．
4．B 因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，则．
5．C 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为，A正确．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为，C错误．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为，D正确．
6．B 设该实心铁球的半径为，则，解得．
7．B 因为，所以，所以，则．
8．D 设，则，故直线的斜率．
9．C 如图，取线段的中点，连接．易证，则是异面直线与所成的角或其补角．设，则，从而．在中，由余弦定理可得．
10．A 由题意可得．因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立．设，则．当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即．
11．D 设的最小正周期为，则或，即或，解得或．
12．C 作出的大致图象，如图所示．由图可知，则．因为，所以．设函数，则．当时，，当时，，所以，即的最小值是13．
13． 因为，所以．因为，所以，则，故向量的夹角是．
14． 展开式的通项．令，得，则．
15． 这六支队伍按排名先后，共有种情况，其中甲、乙这两支队伍排在前3位的情况共有种，故所求概率．
16．2 设为坐标原点，的焦距为．过点作垂直于轴，垂足为（图略）．易得，则由，得，所以，得，所以，故．
17．解：（1）设数列的公差为，
由题意可得解得．
故．
（2）由（1）可得，则，从而．
因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列．
由等比数列的前项和公式可得．
18．（1）解：因为，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．
设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，
解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．
的所有可能取值为．
，
，
．
从而的分布列为
故．
19．（1）证明：由三棱柱的性质可知．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为为的中点，且是等边三角形，所以．
因为平面，且，所以平面．
（2）解：取的中点，连接．易证两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
故．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20．（1）解：．
故曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：由（1）得．
令函数，则，所以是增函数．
，
所以存在，使得，即．
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
因为，所以，
所以．
故．
21．解：（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆．
设的方程为，则，可得．
又，所以，所以的方程为．
（2）设直线．
联立消去得．
易知，且．
由，
得．
（方法一）
因为所以，
所以，所以为定值，且定值为．
（方法二）
因为，
所以，
所以为定值，且定值为．
22．解：（1）由（为参数），得，即，
则曲线的极坐标方程为．
（2）联立解得或（舍去）．
联立解得．
故．
23．解：（1）等价于或
解得，即不等式的解集为．
（2）恒成立，即恒成立．
因为，
所以，解得或，
即的取值范围是．0
1
2
3
4