2024届陕西省商洛市高三上学期第一次模拟检测l文科数学试题

这是一份2024届陕西省商洛市高三上学期第一次模拟检测l文科数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2､请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B.
C. D.
3.在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. B.或 C. D.或
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为
B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为
C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为
D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ）
A.0 B. C. D.3
10.已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（ ）
A. B. C. D.
11.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（ ）
A.4 B.4或8 C.2 D.2或10
12.在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量满足，则向量的夹角是__________.
14.已知实数满足约束条件.，则的最大值为__________.
15.在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.
16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________.
三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）
镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.
19.（12分）
如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，且为棱的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求点到平面的距离.
20.（12分）
已知点，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.
21.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知直线，在第一象限内，直线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
商洛市2024届高三第一次模拟检测
数学试卷参考答案（文科）
1.C 由题意可得.
2.B .
3.A 由正弦定理可得，则，则或.因为，所以，则.
4.D 因为，所以.
5.C 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.正确.
6.B 因为，所以，所以，则.
7.D 设，则，故直线的斜率.
8.B 因为是定义在上的增函数，所以解得.
9.A 由题意可得.因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立.设，则.当0时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.
10.C 这4支队伍按排名先后的情况有，，共12种，其中这2支队伍排在前3位的情况有，共8种，故所求概率.
11.D 设的最小正周期为，则或，即或，解得或.
12.B 如图1，连接，作，垂足为，易证平面.因为，所以，则.因为点在底面内，且，所以.以为圆心，为半径画圆，如图2，则是的轨迹.分别作，垂足分别为.由题意可得，则，从而，故的轨迹长度是.
13. 因为，所以.因为，所以，则，故向量的夹角是.
14.4 画出可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值，且最大值为4.
15. 如图，取线段的中点，连接.易证，则是异面直线与所成的角或其补角.设，则，从而.在中，由余弦定理可得.
16.2 设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为（图略）.易得，则由，得，所以，得，所以，故.
17.解：（1）设数列的公差为，
由题意可得解得.
故.
（2）由（1）可得，则，从而.
因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列.
由等比数列的前项和公式可得.
18.（1）解：因为，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.
设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，
解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为；从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为.
从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种，
其中符合条件的情况有，共7种，
故所求概率.
19.（1）证明：由三棱柱的性质可知.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为为的中点，且是等边三角形，所以.
因为平面，且，所以平面.
（2）解：因为，所以，
则的面积.
作，垂足为，易证平面.
因为是等边三角形，所以，则.
因为平面，所以，则，故的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.
因为，所以，所以.
20.解：（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆.
设的方程为，则，可得.
又，所以，
所以的方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线.
联立整理得，
则，
.
由弦长公式可得
.
点到直线的距离，则的面积
设，则.
因为，所以，所以，当且仅当时，.
21.（1）解：.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）证明：由（1）得.
令函数，则，所以是增函数.
因为，
所以存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以，
所以.
故.
22.解：（1）由（为参数），得，即
则曲线的极坐标方程为.
（2）联立解得或（舍去）.
联立解得.
故.
23.解：（1）等价于或
解得，即不等式的解集为.
（2）恒成立，即恒成立.
因为，
所以，解得或，
即的取值范围是.