模型08、平抛模型 【巧解题】2024高考物理模型全归纳

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平抛运动
1.性质:加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
2.基本规律:以抛出点为原点，水平方向(初速度方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则:
(1)水平方向:做匀速直线运动，速度,位移
(2)竖直方向:做自由落体运动，速度,位移
(3)合速度:,方向与水平方向的夹角为θ,则
(4)合位移:,方向与水平方向的夹角为,则
平抛运动的基本规律
1.飞行时间:由，时间取决于下落高度h,与初速度无关.
2.水平射程:，即水平射程由初速度和下落高度h共同决定，与其他因素无关.
3.落地速度:,以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有所以落地速度也只与初速度v和下落高度h有关.
4.速度改变量:因为平抛运动的加速度为重力加速度g所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔内的速度改变量相同，方向恒为竖直向下，如图所示.

5.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示.

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一-位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水平方向的夹角为θ,则.
三、斜抛运动
1.运动性质 加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线.
2.基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)

(1)水平方向:，
(2)竖直方向:，
【模型解题】
1、“化曲为直”思想——平抛运动的基本求解方法
在研究平拋运动问题时，根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.再运用运动合成的方法求出平抛运动的规律.这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，是处理曲线运动问题的一种重要的思想方法.
平抛运动的三种分解思路:
(1)分解速度:
(2)分解位移: ，，
(3)分解加速度
2、求解多体平抛问题的3点注意
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.
【模型训练】
【例1】如图，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧O点以不同的速度水平抛出，A为O点在竖直墙壁上的投影点，每次抛出飞镖的同时，在A处由静止释放一个特制（飞镖能轻易射穿）的小球，且飞镖均能插在墙壁上，第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，图中没有画出，不计空气阻力。（，）则（ ）
A．两次速度增量之比为9：16
B．两次抛出的飞镖只有一次能击中小球
C．两次下落的高度之比为9：16
D．两次平抛的初速度之比为3：4
【答案】C
【详解】A．第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，则
第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，则
因为
解得
根据
可知，两次速度增量之比为3：4，故A错误；
B．因为平抛运动竖直方向是自由落体运动，所以两次均能命中小球，故B错误；
C．根据
两次下落的高度之比为9：16，故C正确；
D．因为
两次平抛的初速度之比为4：3，故D错误。
故选C。
变式1.1如图所示，、两点位于同一条竖直线上，从、两点分别以速度、水平抛出两个相同的小球，可视为质点，它们在水平地面上方的点相遇。假设在相遇过程中两球的运动没有受到影响，空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．两个小球从、两点同时抛出
B．两小球抛出的初速度
C．从点抛出的小球着地时水平射程较小
D．从点抛出的小球着地时重力的瞬时功率较大
【答案】D
【详解】A．a点较高，运动时间较长，从a点先抛出，A错误；
B．根据
，
得
则抛出的初速度关系为
B错误；
C．a球到达P点时竖直分速度较大，则a球先落地，由于a球水平速度较小，则从点抛出的小球着地时水平射程较大，C错误；
D．根据
，
从a点抛出的小球落地时竖直速度较大，重力功率较大，D正确。
故选D。
变式1.2学校给同学们提供了乒乓球台，很多同学利用课余时间打乒乓球锻炼身体。某同学接球后，两次将球再次拍出。为简化过程，假定乒乓球为质点，运动中空气阻力不计。如图所示，该同学第一次将乒乓球由点斜抛拍出，落点为点；对方反击后，该同学在点将球再次平抛拍出，同样也落于点。已知两次运动轨迹的最高点、高度相同，假设、、三点位于同一竖直面内，则下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球两次落于点的动能一定相同
B．乒乓球两次落于点前瞬间，重力的功率一定相同
C．乒乓球由到、到过程中，重力的冲量一定相同
D．乒乓球两次被拍出的过程中，第二次球拍对球做的功一定较大
【答案】B
【详解】A．根据平抛运动规律
，，
假设最高点到台面的高度为，可知两次运动过程中，由到的时间为，由到的时间为，则两次运动的水平速度不同，落到点的竖直速度相同，故两次落点的速度不相等，两次落到点的动能不相同，第二次落到点的动能大一些，A错误；
B．两次落于点前瞬间，竖直方向的速度均为
重力的功率均为
则两次落于点重力的功率相同，B正确；
C．重力的冲量为
由于两次运动的时间不相同，则两次运动过程中，重力的冲量不相同，C错误；
D．由于球拍接到乒乓球前的速度未知，故无法比较第二次球拍做的功与第一次球拍做的功的大小关系，D错误；
故选B。
【例2】如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】小球虽说是做斜抛运动，由于到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，所以逆向看是小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，这样就可以用平抛运动规律求解。因小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则速度与水平方向的夹角为，设位移与水平方向的夹角为，则
因为
则竖直位移
而
所以
解得
故选A。
变式2.1如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆面相切于B点，已知抛出点在半圆面左端点A点的正上方，半圆面半径为R，直线OB与水平面成角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动分析正确的是
A．小球到达B点飞行的时间为
B．小球平抛的初速度为
C．小球到达B点时水平位移
D．小球到达B点时竖直位移
【答案】B
【详解】AB．小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点,则知在B点时速度与水平方向的夹角为，有
根据
得
由
解得：
飞行的时间为
故A项错误，B项正确；
C．由几何知识可得，小球自抛出至B点的水平射程为：
故C项错误；
D．设位移与水平方向的夹角为θ，则有：
可得竖直位移为
故D项错误．
【例3】如图所示，ab两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、向右抛出，已知半圆轨道的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面倾角为，重力加速度为g，要使两球同时落到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将半圆轨道和斜面重合放置，会发现两轨道交于A点，也就是说当抛出小球的速度恰好为某一值时，两小球会在同时落到半圆轨道上和斜面上，如图中的x和y分别为小球做平抛运动的水平位移和竖直位移
，，，
得
故选B。
变式3.1如图所示，O为半圆槽的圆心、R为半圆槽的半径，重力加速度为g。先将小球从O点以初速度v0沿水平方向抛出，在小球自O点抛出至与半圆槽相撞的过程中（ ）
A．v0越大，小球的位移越大
B．v0越小，小球的位移越大
C．无论v0多大，小球都不可能与半圆槽垂直相撞
D．只有时，小球才与半圆槽垂直相撞
【答案】C
【详解】AB．因小球的初位置在圆心O，末位置在圆上，故小球的位移总是R，与v0的大小无关，故AB错误；
CD．因平抛运动末速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而不是通过圆心，所以无论v0多大，小球都不可能与半圆槽垂直相撞，故C正确，D错误；
故选C。
变式3.2如图所示，ab两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面宽为2R，重力加速度为g，则有关小球落到斜面和半圆轨道的时间t1和t2的说法一定正确的是（ ）
A．t1>t2B．t1C．t1=t2D．以上情况都有可能
【答案】D
【详解】将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示
交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上。
故选D。
【例4】如图所示，小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球乙落地前，两小球的速度差逐渐变大
B．小球甲、乙运动的第2s内位移大小之比为1:2
C．至小球乙落地时，甲、乙两球的路程之比为2:3
D．落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5:6
【答案】D
【详解】A．取竖直向上为正方向，小球乙落地前，甲球与乙球的速度差为
保持恒定，故A错误；
B．由
可得小球甲上升到最高点时间
则小球甲第2s内位移是下落第一秒的位移
小球乙运动的第2s内位移大小
位移大小之比为
故B错误；
CD．对甲球，取竖直向上为正方向，对整个过程，有
解得甲球运动的总时间
甲球上升的最大高度为
则甲球运动的总路程为
整个过程平均速率为
对乙球，根据
得乙球落地用时间为
乙球经过的路程为
落地前的运动过程中小球乙的平均速率为
落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为
小球乙落地时，甲球的路程
甲、乙两球的路程之比为
故C错误，D正确；
故选D。
变式4.1（多选）如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出的同时，小球B斜向左上方以速度抛出，与水平方向的夹角为。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相碰。已知单独抛出小球B时，小球B到达的最高点恰好与小球A的抛出点处于同一水平线上，且小球B落地点位于小球A抛出点的正下方。不计空气阻力，重力加速度为，，，下列说法正确的是（ ）
A．小球A抛出的初速度大小等于B．小球A抛出的初速度大小等于
C．两球抛出点的水平距离为D．两球抛出点的水平距离为
【答案】BC
【详解】CD．小球B在水平、竖直方向的速度为
单独抛出小球B时，小球B在空中运动的时间为
两球抛出点的水平距离为
故C正确，D错误；
AB．小球A抛出高度为
小球A、B在恰好在空中相碰，若此时小球B向上运动，有
解得小球A抛出的初速度大小等于
小球A、B在恰好在空中相碰，若此时小球B向下运动，有
解得小球A抛出的初速度大小等于
综上所述，小球A抛出的初速度大小等于或，故A错误，B正确。
故选BC。
变式4.2（多选）如图所示，同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A做自由落体运动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，且小球B、C、D抛出时的初速度大小相同，不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中（ ）
A．重力对4个小球做的功相同
B．重力对4个小球做功的平均功率相等
C．落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率大小关系为
D．重力对4个小球做功的平均功率大小关系为
【答案】AC
【详解】A．4个质量相同的小球从同一高度抛出到落地的过程中，重力做功为
故重力对4个小球做的功相同，故A正确；
BD．小球A做自由落体运动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，小球从同一高度抛出到落地，运动时间关系为
重力对4个小球做功的平均功率为
可得重力对4个小球做功的平均功率大小关系为
故BD错误；
C．落地前瞬间，4个小球竖直方向有
，
，
4个小球竖直方向的速度关系为
落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率
落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率大小关系为
故C正确。
故选AC。
【例5】某地方电视台有一个叫“投准”的游戏，其简化模型如图所示，左侧是一个平台，平台右边的地面上有不断沿直线向平台运动的小车，参赛者站在台面上，看准时机将手中的球水平抛出，小球能落入小车算有效。已知投球点与小车上方平面高度差h=5 m，小车的长度为L0=1.0 m，小车以大小为a=2 m/s2的加速度做匀减速运动，球的大小可忽略。某次活动中，一辆小车前端行驶到与平台水平距离L=23 m处时，速度为v0=11 m/s，同时参赛选手将球水平抛出，结果小球落入小车中。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)小球从抛出到落入小车的时间；
(2)小球抛出时的速度v的范围。
【答案】(1)1s；(2)13 m/s【详解】(1)小球做平抛运动，设飞行时间为t，由
h=gt2
解得
t=1 s
(2)在t时间内小车前进的位移为
=10 m
要投入小车，小球最小的水平位移为
x1==13 m
最小速度为
v1==13 m/s
小球最大的水平位移为
x2=+L0=14 m
最大速度为
v2==14 m/s
小球抛出时的速度v的范围是13 m/s变式5.1如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝8 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度的大小．
【答案】(1)5 m/s≤v0≤11 m/s；(2)5m/s
【详解】（1）若v太大，小球落在空地外边，因此球落在空地上，v的最大值vmax为球落在空地最右侧时的平抛初速度，小球做平抛运动时间为t1．
则小球的水平位移
L+x=vmaxt1
小球的竖直位移
H=gt12
解以上两式得

若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在空地上，v的最小值vmin
为球恰好越过围墙的最高点P落在空地上时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，则此过程中小球的水平位移
L=vmint2
小球的竖直方向位移
H﹣h=gt22
解以上两式得
因此v0的范围是vmin≤v0≤vmax，即
5m/s≤v0≤11m/s．
（2）根据机械能守恒定律得

解得小球落在空地上的最小速度
变式5.2如图所示，水平平台AO长x＝1.0m，槽宽d＝0.20m，槽高h＝0.8m，现有一小球从平台上A点水平射出，已知小球与平台间的阻力为其重力的0.2倍，空气阻力不计，g＝10m/s2。求：
(1)小球在平台上运动的加速度大小；
(2)为使小球能沿平台到达O点，求小球在A点的最小出射速度和此情景下小球在平台上的运动时间；
(3)若要保证小球不碰槽壁，求小球离开O点时的速度的范围。
【答案】(1)a＝2m/s2；(2) ，t＝1s；(3)0＜v0≤0.5m/s
【详解】(1)设小球在平台上运动的加速度大小为a，则
kmg=ma
代入数据得
a＝2m/s2
(2)小球到达O点的速度恰为零时，小球在A点的出射速度最小，设小球的最小出射速度为v1，由

解得最小出射速度

此情景下小球在平台上的运动时间

(3)设小球恰能落到槽底上的P点时，在O点抛出时的速度为v0，水平方向有
d＝v0t1
竖直方向有
联立解得
v0＝0.5m/s
则若要保证小球不碰槽壁，小球离开O点时的速度的范围
0＜v0≤0.5m/s