北京市燕山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份北京市燕山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 32的结果是( )
A. 3B. −3C. ±3D. 3
2. 如图，▱ABCD中，∠B=25°，则∠A=( )
A. 50°
B. 65°
C. 115°
D. 155°
3. 点P(1,3)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为( )
A. 13B. 2C. 3D. 4
4. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 8= 10B. 2 2−2= 2
C. 2× 8=4D. 8÷ 2=4
5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90°B. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. a：b：c=3：4：5D. a=b=1，c= 2
6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为( )
A. 8分B. 8.1分C. 8.2分D. 8.3分
7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.如果图中勾a=3，弦c=5，则小正方形的面积为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y与行驶时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10. 将直线y=3x向上平移2个单位，得到的直线为______．
11. 已知点P(−2,y1)，Q(1,y2)在一次函数y=kx+1(k≠0)的图象上，且y1>y2，则k的值可以是______ (写出一个即可)．
12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是______ (写出一个条件即可)．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标为______ ．
14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，连接OE.若AC=2 3，BD=2，则OE的长为______ ．
15. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身高y(单位：cm)是指距x(单位：cm)的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值：
小明的身高是160cm，一般情况下，他的指距约是______ cm．
16. 2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：

根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；
②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；
③若记4月上旬(1日至10日)的最高气温的方差为s12，中旬(11日至20日)的最高气温的方差为s22，下旬(21日至30日)的最高气温的方差为s32，则s22其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算： 6× 50÷ 3．
18. (本小题5.0分)
计算：( 2023)0+− 2− 18+( 2)2．
19. (本小题5.0分)
已知a= 5+1，求代数式a2−2a的值．
20. (本小题5.0分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与两坐标轴分别交于点A(−1,0)，B(0,3).求该一次函数的解析式．
21. (本小题5.0分)
下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路，选择其中一种，完成证明．

22. (本小题5.0分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求四边形ABCD的面积．
23. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD=2，∠CAB=30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长．
24. (本小题6.0分)
探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.小腾根据学习函数的经验，对函数y1=2x与y2=−x+6进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)绘制函数图象
①列表：下表是x与y1，y2的几组对应值；
其中，b= ______ ；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；
(2)结合函数图象，探究函数性质；
①函数y1，y2的图象的交点坐标为______ ，则关于x，y的二元一次方程组y=2x,y=−x+6的解是______ ；
②过点M(m,0)作垂直于x轴的直线与函数y1，y2的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，m的取值范围是______ ．
25. (本小题6.0分)
为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.八年级学生成绩的频数分布直方图如下(数据分为4组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)
b.八年级学生成绩在80≤x<90这一组的是：81 83 84 84 84 86 89
c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______ (填“小亮”或“小宇”)，理由是______ ；
(3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(a,m)和点N(a+2,n)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上．
(1)若a=0，m=4，n=2，求该一次函数的解析式；
(2)已知点A(1,2)，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．
①求点B的坐标；
②若m−n=4，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线段AB有公共点，求b的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，E为边AB上一点.点F在DB的延长线上，EF=ED.作点F关于直线AB的对称点G，连接EG．
(1)依题意补全图形，并证明∠ADE=∠FEB；
(2)用等式表示AE，CG，DF之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(2,2)，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．
(1)已知直线l1：y=−x，在点P1(−2,1)，P2(−2,−1)，P3(2,0)中，直线l1的关联点是______ ；
(2)若在x轴上存在点P，使得点P为直线l2：y=−x+b的关联点，求b的取值范围；
(3)已知点N(n,−n)，若存在直线l3：y=mx是点N的关联直线，直接写出n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 32=|3|=3．
故选：A．
直接根据 a2=|a|化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|．
2.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=25°，
∴∠A=155°，
故选：D．
根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：将P的坐标代入，得：3=k，
解得：k=3．
故选：C．
将点P的坐标代入可求得k的值即可．
本题主要考查一次函数上点的坐标特征，点的坐标代入解析式中计算是关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、 2+ 8= 2+2 2=3 2，故A不符合题意；
B、2 2与−2不能合并，故B不符合题意；
C、 2× 8= 16=4，故C符合题意；
D、 8÷ 2= 4=2，故D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−(∠A+∠B)=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2=12+12=2，c2=( 2)2=2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：该企业的总成绩为：8×55+3+2+9×35+3+2+7×25+3+2=8.1(分)，
故选：B．
根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图可得，
b= c2−a2= 52−32=4，
∴小正方形的边长为4−3=1，
∴小正方形的面积为1×1=1，
故选：A．
根据勾股定理可以求得b的值，再根据图形可知小正方形的边长为b−a，然后正方形的面积=边长×边长计算即可．
本题考查勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．
8.【答案】B
【解析】解：①中设高为ℎ，则y=12ℎx，由12ℎ>0，得①不符图象所示；
②中泳池放水时剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合图象所示；
③中观光船从码头驶到景区，观光船与景区间的距离y随行驶时间x的增大而减小，故③符合图象所示；
故选：B．
依题意列出函数关系式，可判断①的正确性，依据函数y与自变量x的增减关系可判断②和③的正确性．
本题考查了函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
9.【答案】x≥5
【解析】解：式子 x−5在实数范围内有意义，则x−5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
10.【答案】y=3x+2
【解析】解：将一次函数y=3x向上平移2个单位，所得图象的函数解析式为：
y=3x+2
故答案为：y=3x+2．
根据“上加下减”的平移规律填空．
本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：对直线y=kx而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．
11.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：∵点P(−2,y1)，Q(1,y2)在一次函数y=kx+1(k≠0)的图象上，且y1>y2，
∴k<0，
∴k可以是−2(答案不唯一)，
故答案为：−2(答案不唯一)．
由x1y2，根据一次函数的增减性，得到k<0，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
12.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：这个条件可以是AB=AD(答案不唯一)，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=AD(答案不唯一)．
根据正方形 的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】 13
【解析】解：∵点A坐标为(2,3)，
∴OA= 22+32= 13，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆弧上，
∴OB=OA= 13，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标为 13，
故答案为： 13．
根据勾股定理求出OA的长，即可解决问题．
本题考查的是勾股定理以及坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
14.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=12BD，OC=12AC，
∵AC=2 3，BD=2，
∴OD=1，OC= 3，
∴CD= OC2+OD2=2，
∵点E为边CD的中点，
∴OE=12CD=1．
故答案为：1．
由菱形的性质得到AC⊥BD，OD=12BD=1，OC=12AC= 3，由勾股定理求出CD= OC2+OD2=2，由直角三角形斜边中线的性质即可求出OE的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质，勾股定理求出CD的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出OE长．
15.【答案】19
【解析】解：根据已知设y=kx+b，
将表格任意两组数据(16,133)(18,151)，
∴16k+b=13318k+b=151,
解得：k=9b=−11
∴y=9x−11，
当y=160cm时，
160=9x−11，
解得：x=19，
故答案为：19．
根据已知条件身高是指距的一次函数，设一次函数解析式，代入两组数据即可求得解析式，将身高等160厘米时代入解析式即可求得指距．
本题考查利用待定系数法，求一次函数解析式，利用一次函数解析式解决实际问题．
16.【答案】①③
【解析】解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意；
②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为20−1515×100%≈33.3%，4月24日到4月25日气温上升幅度约为22−1515×100%≈46.7%，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意；
③由图可知，4月上旬(1日至10日)的最高气温在11℃至27℃徘徊，中旬(11日至20日)的最高气温在19℃至28℃徘徊，下旬(21日至30日)的最高气温在15℃至26℃徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以s22故答案为：①③．
①根据折线统计图提供的数据作答即可；
②根据折线统计图提供的数据作答即可；
③根据方差的意义作答即可．
本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
17.【答案】解： 6× 50÷ 3
= 6×50÷3
= 100
=10．
【解析】根据二次根式乘除法法则进行计算即可得出结论．
本题考查了二次根式的乘除法，其中熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：( 2023)0+− 2− 18+( 2)2
=1+ 2−3 2+2
=3−2 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：a2−2a=(a−1)2−1，
当a= 5+1时，
原式=( 5+1−1)2−1
=5−1
=4．
【解析】将a的值代入a2−2a=(a−1)2−1计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
20.【答案】解：根据已知条件：
将点A(−1,0)，B(0,3)的坐标分别代入y=kx+b中，
得方程组 −k+b=0,b=3,
解方程组得：
k=3,b=3,
故一次函数的解析式y=3x+3．
【解析】根据已知条件运用待定系数法将A、B点的坐标代入y=kx+b列方程组求得k和b的值即可．
本题考查运用待定系数法，求一次函数的解析式，将已知点代入列方程组，求得k和b的值即得答案．
21.【答案】思路一：证明：
如图2，连接AC，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
AB=CD∠BAC=∠DCAAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴∠BCA=∠DAC，
∴BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
思路二：证明：如图3，连接AC，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
AB=CD∠BAC=∠DCAAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】思路一：连接AC，由AB//CD，得∠BAC=∠DCA，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠DAC，则BC//AD，即可根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形；
思路二：连接AC，可证明△ABC≌△CDA，得BC=DA，而AB=CD，即可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形．
此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)△ACD为直角三角形，
理由：由题意得：AC2=32+32=18，
CD2=22+22=8，
AD2=12+52=26，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD=90°；
(2)在Rt△ABC中，AB=AC=3，∠ABC=90°，
∴SRt△ABC=12AB⋅BC=12×3×3=92；
在Rt△ACD中，AC=3 2，CD=2 2，
∴SRt△ACD=12AC⋅CD=12×3 2×2 2=6
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=92+6=212，
∴四边形ABCD的面积为212．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得：S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO．
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形；
(2)解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，BC=AD=2．
∵CE为∠DCB的平分线，
∴∠ECB=12∠DCB=45°．
∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB= AC2−BC2= 42−22=2 3．
∵∠CBE=90°，∠ECB=45°，
∴BE=BC=2，
∴AE=AB−BE=2 3−2．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AC=2AO，BD=2BO.根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)如图，根据矩形的性质得到∠DCB=∠ABC=90°，BC=AD=2.根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠DCB=45°.根据勾股定理得到AB= AC2−BC2= 42−22=2 3.根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】6 (2,4) x=2y=4 m<2
【解析】解：(1)①当x=0时，y2=6=b．
故答案为：6．
②如图1：

(2)①由图象1得：函数y1，y2的图象的交点坐标为(2,4)，
则方程组的解为：x=2y=4，
故答案为：(2,4)；x=2y=4．
②画出函数y1，y2的图象如图2；

如图2，显然当PQ在A左侧时P在Q的下方，
又A(2,4)，
∴m<2．
故答案为：m<2．
(1)①依据题意，通过解析式代入可以得解；②依据题意，结合①可以得解；(2)①借助图象可得交点坐标，再结合方程组的解即对应交点坐标，进而得解；②依据题意画出图象分析即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质及一次函数与二元一次方程，解题时要熟练掌握并理解．
25.【答案】小宇 小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前
【解析】解：(1)八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84，
∴中位数m=83+842=83.5；
(2)小宇；
理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
故答案为：小宇，小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
(3)5+220×300=105(人)，
答：估计八年级获得优秀奖的学生有105人．
(1)结合题意，根据中位数的意义解答即可；
(2)根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
(3)先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案．
本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
26.【答案】解：(1)当a=0，m=4，n=2时，点M(0,4)和点N(2,2)在一次函数y=kx+b上，
∴b=4,2k+b=2,
解得 k=−1,b=4,
∴一次函数的解析式y=−x+4．
(2)①∵点A(1,2)，
∴将点A向左平移3个单位长度，得到点B(−2,2)；
②把点M(a,m)和点N(a+2,n)代入y=kx+b(k≠0)中，
得m=ka+b，n=k(a+2)+b．
∵m−n=4，
∴k(a+2)+b−(ka+b)=4，
解得k=−2，
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=−2x+b．
当直线y=−2x+b经过点A(1,2)时，−2+b=2，
解得b=4．
当直线y=−2x+b经过点B(−2,2)时，−2×(−2)+b=2，
解得b=−2．
综上所述，b的取值范围是−2≤b≤4．
【解析】(1)利用待定系数法求得即可；
(2)①根据平移的规律即可求得；
②把点M(a,m)和点N(a+2,n)代入y=kx+b得到m=ka+b，n=k(a+2)+b.由m−n=4，得到k(a+2)+b−(ka+b)=4，解得k=−2，然后分别代入点A、B求得b的值，即可求得b的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化−平移，熟知待定系数法是解题的关键．
27.【答案】解：(1)补全的图形如图所示；

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=12∠ADC=60°，
∠ABD=12∠ABC=60°，
∴∠ADE+∠BDE=60°，
∠FEB+∠BFE=60°．
∵ED=EF，
∴∠BDE=∠BFE，
∴∠ADE=∠FEB．
(2)AE，CG，DF之间的数量关系：DF=CG+2AE．

证明：如图，连接DG．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠ABD=12∠ABC=60°=∠A，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD=DB，∠ABF=120°，
点F关于AB的对称点G在线段BC上，
∴EG=EF=ED，∠GEB=∠FEB=∠ADE．
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEG+∠GEB，
∴∠DEG=∠A=60°，
∴△DEG为等边三角形，
∴DE=DG，∠EDG=60°，
∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDG=60°，
∴∠ADE=∠BDG，
∴△ADE≌△BDG(SAS)，
∴AE=BG，
∴DF=DB+BF=BC+AE=CG+BG+AE=CG+2AE．
【解析】(1)根据题意补全图形，根据菱形的性质结合ED=EF可推出∠BDE=∠BFE，从而推出结论；
(2)连接DG，根据菱形的性质结合∠ABC=120°推出△ABD为等边三角形，得出AD=DB，∠ABF=120°，由点F关于AB的对称点G在线段BC上，推出△DEG为等边三角形，根据SAS证明△ADE≌△BDG得出AE=BG，从而得出结果．
本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键．
28.【答案】P2
【解析】解：(1)由题意，对称点在线段AB上，那么点P必在线段AB的对称线段A′B′上，

∴P1(−2,1)，P2(−2,−1)，P3(2,0)中，在线段A′B′上的点仅有P2，
故答案为：P2；
(2)令点P关于直线l2的对称点为Q，
∵点P为直线l2的关联点，
∴点Q在线段AB上，
当点Q与点A重合时，点P的坐标为(−2,0)，
△AOP是等腰直角三角形，直线l2经过原点，此时b=0；
当点Q与点B重合时，点P的坐标为(0,0)，
△ABO是等腰直角三角形，直线l2经过点A，此时b=2．
综上所述，b的取值范围是0≤b≤2；
(3)因为N(n,−n)，则点N在函数y=−x的图象上，
当n≤0时，点N在第二象限．

若m>0，则y=−x(x<0)的图象关于直线y=mx的对称图象与线段AB没有交点，
所以m<0. ①当l3与y轴正半轴的夹角是22.5°时，点A关于l3的对称点A′y=−x上．
且OA′=OA=2，则A′(− 2, 2)，此时n=− 2．
②当l3与y轴正半轴的夹角大于22.5°时，y=−x关于l3的对称图象与线段AB没有交点．
③当l3与y轴正半轴的夹角小于22.5°时，y=−x关于l3的对称图象与线段AB有交点，
且线段AB关于y轴的对称线段与y=−x有交点B′，且B′(−2,2)．
而l3不与y轴重合，所以当l3与y轴正半轴的夹角大于0°，且小于等于22.5°时，
y=−x(x<0)的图象关于l3的对称图象与线段AB有交点．
此时n的取值范围是：−2同理可得当m>0时，n的取值范围是： 2≤n<2．
综上所述：−2根据平面直角坐标系中一次函数图象的有关知识进行分析．
本题主要考查了平面直角坐标系中一次函数图象的有关内容，熟练掌握一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征是本题的解题关键．
指距x/cm
16
18
20
22
身高y/cm
133
151
169
187
已知：如图1，四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
思路一：条件中已有AB//CD，只需证明
BC//AD即可．
证明：如图2，连接AC．
思路二：条件中已有AB=CD，只需证明
BC=AD即可．
证明：如图3，连接AC．
x
…
0
1
…
y1
…
0
2
…
y2
…
b
5
…
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84