04对数和对数函数-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份04对数和对数函数-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）的值为（ ）
A．10B．C．1D．不能确定
2．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·湖南湘潭·高一统考期末）设，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·湖南岳阳·高一统考期末）已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）已知,则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·湖南永州·高一统考期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023上·湖南郴州·高一统考期末） .
14．（2023上·湖南长沙·高一统考期末）已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，P的大小关系是 .
15．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）函数与互为反函数，则 ．
16．（2023上·湖南怀化·高一统考期末）若，，，则它们的大小关系为 .
17．（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）函数的定义域为 ．
四、解答题
18．（2023上·湖南张家界·高一统考期末）计算下列各式：
(1)；
(2)．
19．（2023上·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）计算
(1)
(2)，，
20．（2023上·湖南衡阳·高一耒阳二中校考期末）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上.
(1)求实数的值并解不等式；
(2)函数的图象与直线有两个不同的交点时，求的取值范围.
21．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）已知
(1)若，求的值．
(2)若的定义域为，求的取值范围．
22．（2023上·湖南长沙·高一统考期末）已知（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)当（其中，且t为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)当时，求满足不等式的实数x的取值范围.
23．（2022上·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知函数．
(1)求的定义域;
(2)求的值域．
24．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；
(2)若，求实数的取值范围.
五、证明题
25．（2022上·湖南岳阳·高一统考期末）（1）已知实数满足，求的值．
（2）若，求证：．
参考答案：
1．A
【分析】令，两边取常用对数，结合对数的运算性质即可得解.
【详解】令，两边取常用对数，得，解得，
故选：A.
2．C
【分析】根据对数函数的真数大于0，即可解出其定义域.
【详解】 有意义，则，
所以函数定义域为.
故选：C.
3．A
【分析】根据对数函数的定义域直接求解.
【详解】令，可得,
故的定义域为.
故选:A.
4．B
【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：B
5．B
【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】令，，
若在上单调递增，因为是上的增函数，
则需使是上的增函数且，则且，解得.
因为，故是的必要不充分条件，
故选：B.
6．A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可．
【详解】因为，，，所以.
故选：A．
7．C
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性以及中间值确定的范围,进行比较即可.
【详解】根据指数函数、对数函数的性质,
由单调递减可知:
由单调递减可知:
由单调递减可知:
故,即.
故选:C.
8．C
【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，则且、均为正数，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，所以，，即，解得.
故选：C.
9．AD
【分析】令，得出．选项A，根据换底公式计算即可判断；选项B，结合作差法和换底公式即可判断；选项C、D，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断．
【详解】令，则，可得：，，．
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故，
，即；
，即，故B错误．
对于C，，，，
因为，（因为所以等号不成立），
所以，则，即，故C错误；
对于D，，，，
因为，（因为所以等号不成立），
所以，则，即，故D正确．
故选：AD．
10．ACD
【分析】结合对数函数的单调性可判断的大小范围,结合的单调性可判断的取值范围,从而可判断选项A,B,C的正误;通过比较的大小,可判断出,即可判断选项D的正误.
【详解】解:因为在单调递增,
所以,即,
因为在单调递增,
所以,,
综上:,故选项B错误,选项A、C正确;
因为,且,
即,所以,故选项D正确.
故选:ACD
11．BC
【分析】A选项，由单调性排除A，由奇偶性排除D，BC选项，先求出定义域，可利用函数奇偶性定义判断出为偶函数，进而判断出函数的单调性，得到答案.
【详解】在上单调递减，A错误；
定义域为R，且，故为偶函数，
且的对称轴为轴，且在上单调递增，B正确；
的定义域为，且，
故为偶函数，
又当时，单调递增，故C正确；
因为，故不是偶函数，D错误.
故选：BC
12．CD
【分析】先求得的关系式，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.
【详解】由于，所以，
A选项，由于，所以，所以A选项错误.
B选项，当时，，所以B选项错误.
C选项，由于，所以，所以C选项正确.
D选项，在上递减，，所以，所以D选项正确.
故选：CD
13．
【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.
【详解】解：.
故答案为：3.
14．
【分析】根据指数函数性质可知，由此可推断出m，n，p的取值范围继而得到大小关系.
【详解】因为指数函数是减函数，所以
由此可知；；，故
故答案为：
15．0
【分析】根据指数函数与对数函数互为反函数求解即可.
【详解】与互为反函数，
，故，
∴.
故答案为：
16．/
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用中间值可以比较出三个数的大小关系
【详解】因为，，，
即，，，所以由大到小的顺序为.
故答案为
17．
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
【详解】根据题意可得，，解得
即函数的定义域为.
故答案为:
18．(1)
(2)2
【分析】（1）根据对数的运算原则和性质计算即可；
（2）根据指对数的运算即可得到答案.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
19．(1)1；
(2).
【分析】（1）根据对数运算的性质，化简求解即可得出答案；
（2）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）.
20．(1)，不等式的解集为
(2)
【分析】（1）由指数函数的性质可求得定点，再将定点代入即可求得，再解不等式即可求得结果.
（2）由（1）求得，再求得的解析式，画出图像，由图像可得的取值范围.
【详解】（1）函数的图象恒过定点，当时，即，
∴点的坐标为，又点在上，
∴，解得，
，∴，∴，∴，
∴不等式的解集为；
（2）由（1）知，∴，
分别画出与的图象，如图所示：
由图象可知：，故的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由列式求解即可；
（2）由题意得对恒成立，从而，解不等式即可.
【详解】（1） ∴，解得.
（2）∵的定义域为，
∴对恒成立，
∴，即，解得.
22．(1)
(2)当时存在最小值，当时，不存在最小值，理由见解析
(3)
【分析】(1)根据真数大于零解不等式即可求定义域；
(2)讨论函数的单调性即可求最小值；
(3)利用函数的奇偶性单调性解不等式.
【详解】（1）由可得或，
解得，即函数的定义域为.
（2）设，则，
∵，∴，，∴，
①当时，则在上是减函数，又，
∴时，有最小值，且最小值为；
②当时，，则在上是增函数，又，
∴时，无最小值.
（3）由于的定义域为，定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
由（2）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于，
即有，解得，
所以x的取值范围是.
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.
（2）运用对数运算性质将化简为,根据(1)中的定义域求得的范围,再根据的单调性即可求得值域.
【详解】（1）因为,
所以,解得,
所以的定义域为．
（2）因为
,
由(1)知的定义域为,
所以,,，
因为是增函数，所以，
故的值域为．
24．(1)函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
(2)
【分析】(1)设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；
(2)结合（1）的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解.
【详解】（1）设，则，所以，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
则函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知：，所以不等式可化为，结合函数的单调性可知：，
解得：，所以实数的取值范围为.
25．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；
（2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：，，，
又，，所以；
（2）证明：设，则且，，，
，，，
，.