【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题04 指数函数与对数函数的概念与简单性质（专题过关）

专题04   指数函数与对数函数的概念与简单性质（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高一课时练习）下列函数中定义域与值域相同的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据指数函数与对数函数的性质，逐项求解选项中函数的定义域与值域，即可求解.

【详解】

对于A中，函数的定义域为，值域为，不符合题意；

对于B中，函数定义域为，值域为，不符合题意；

对于C中，函数有意义，则满足，解得，

即函数的定义域为，且值域也为，符合题意；

对于D中，函数有意义，则满足，解得，

即函数的定义域为，值域为，不符合题意.

故选：C.

2．（2021·全国·高一课时练习）函数y＝的定义域为（    ）

A．(1,2) B．[1,2)

C．(1,2] D．[1,2]

【答案】A

【分析】

根据具体函数的定义域建立不等式组，解之可得选项.

【详解】

解：由题意得，解得1<x<2，所以所求函数的定义域为(1,2)．

故选：A.

3．（2021·甘肃·天水市第一中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可

【详解】

∵，，

∴．

故选：C．

4．（2021·全国·高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.

【详解】

若在上为增函数，则，即，

因为是的充分不必要条件，

所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.

故选：A．

5．（2021·云南·宾川四中高一月考）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

若函数在上是单调增函数，根据对数函数及复合函数单调性可知，解不等式即可得到的取值范围．

【详解】

由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：

在上是单调增函数，且，所以，所以，

故选:C．

6．（2021·广西·玉林市育才中学高三开学考试（理））若，则数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据对数式与指数式恒等式，结合指数运算性质、对数的运算性质进行求解即可.

【详解】

.

故选：A

7．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高二期中（文））若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求得函数的定义域，利用复合函数法求得函数的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数的取值范围.

【详解】

解不等式，即，解得，

内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

而外层函数在定义域上为减函数，

由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，

由于函数在区间上单调递增，所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.

8．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A．(-∞，1] B．[1，+∞)

C．(-∞，5] D．[5，+∞)

【答案】B

【分析】

分段函数中，根据对数函数分支y = log2x的值域在(1，+∞)，而函数的值域为R，可知二次函数y = -x2 + a的最大值大于等于1，即可求得a的范围

【详解】

x > 2时，y = log2x > 1

∴要使函数的值域为R，则y = -x2 + a在x ≤ 2上的最大值a大于等于1

即，a ≥ 1

故选：B

【点睛】

本题考查了对数函数的值域，由函数的值域及所得对数函数的值域，判断二次函数的的值域范围进而求参数范围

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·全国·高一单元测试）下列计算成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】

利用对数运算确定正确选项.

【详解】

对于A选项，，故A选项错误.

对于B选项，，故B选项错误.

对于C选项，，故C选项正确.

对于D选项，，故D选项正确.

故选：CD

10．（2021·重庆·高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

【答案】BC

【分析】

由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．

【详解】

，，

，则不是偶函数，故A错误；

的定义域为，

，

为奇函数，故B正确；

，

又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；

，，则，可得，

即．

，故D错误．

故选：BC．

【点睛】

关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.

11．（2020·全国·高一单元测试）设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（    ）

A．函数的定义域为R

B．函数是增函数

C．函数的值域为R

D．函数的图象关于直线x=对称

【答案】AD

【分析】

求得对数型复合函数的定义域、单调性、值域以及对称性，即可判断和选择.

【详解】

A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；

B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；

C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；

D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.

故选：.

【点睛】

本题考查对数型复合函数性质的求解，属综合基础题.

12．（2021·江苏·如皋市第一中学高一月考）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】

由根式与分式指数幂互化的法则，逐项判断即可得解.

【详解】

对于选项A，因为，而，所以A错误；

对于选项B，因为，所以B错误；

对于选项C，因为成立，所以C正确；

对于选项D，当时，，所以D正确.

故选：CD.

【点睛】

本题考查了根式与分式指数幂的互化，考查了运算求解能力，注意底数的取值范围是解题关键，属于基础题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·全国·高一单元测试）若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.

【答案】

【分析】

令，且 ，，由是增函数且恒成立，列出关于的不等式组并解之即可.

【详解】

令，且 ，，

因为函数在上是减函数且在上是减函数，

所以是增函数且恒成立，

即，解之得的取值范围是.

故答案为：.

14．（2021·全国·高一单元测试）______

【答案】

【分析】

利用指数幂运算和对数恒等式计算，即可得到答案；

【详解】

因为，

故答案为：

15．（2020·天津四十三中高一月考）已知函数，则_______.

【答案】

【分析】

根据分段函数的定义域区间分别求出、的值，代入目标式中求值即可

【详解】

．

故答案为：－1

【点睛】

本题考查了指数、对数的运算，注意指数的性质，及对数运算性质的应用

16．（2020·福建·泉州市第九中学高一期中）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.

【详解】

函数是上的增函数，

函数，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·广西·玉林市育才中学高三月考（理））求值：（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

根据指数以及对数的运算法则即可就得结果

【详解】

（1）原式=；

（2）原式.

【点睛】

本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题.

18．（2020·全国·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，.

（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；

（2）若f(x)≤1，求实数x的取值范围．

【答案】（1）；（2）－2≤x≤0或x≥.

【分析】

（1）由函数为奇函数设x<0，则－x>0，求出，再结合即可求解；

（2）写出分段函数解析式，再分段讨论解不等式即可.

【详解】

(1)设x<0，则－x>0，从而f(－x)＝，

∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝，

即x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝；

(2)由题意及(1)知f(x)＝

当x>0时，由f(x)≤1得，解得x≥；

当x＝0时，f(x)≤1显然成立；

当x<0时，由f(x)≤1得，

解得－2≤x<0.

综上可知，x的取值范围为－2≤x≤0或x≥

【点睛】

本题主要考查指数型函数的应用，由函数的奇偶性求分段函数解析式，由不等式求解分段函数自变量取值范围，属于中档题

19．（2019·陕西·西安市铁一中学高一月考）设，且.

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间上的值域.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域；

（2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.

【详解】

（1）∵，∴，∴.

由，得，∴函数的定义域为

（2），

∴当时，是增函数；当时，是减函数，

函数在上的最大值是，

函数在上的最小值是，

∴在区间上的值域是.

【点睛】

本题主要考查了对数型函数的定义域，复合函数的单调性以及函数的值域等，属于基础题.

20．（2020·全国·高一单元测试）已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.

【答案】（1）；（2）y的最大值为1，此时x=1.

【分析】

（1）由题意结合对数函数的性质可得，解不等式即可得解；

（2）由题意结合二次函数的性质可得，由对数函数的性质可得，即可得解.

【详解】

（1）由题意，解得，

所以函数的定义域为；

（2）因为，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以y的最大值为1，此时x=1.

【点睛】

本题考查了对数型复合函数的定义域及最值的求解，考查了对数函数性质的应用及一元二次不等式的求解，属于基础题.

21．（2021·全国·高一单元测试）已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.

（1）求，的值

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）判断函数在上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得；

（2）设，利用分离参数法，题中问题为在上有解，求出的最大值即可得．

（3）把方程化简，并设，方程化为，结合图象，方程有两个实数解，则有，，或，，利用二次方程根的分布知识求得的范围．

【详解】

（1）由题意，又，∴在上单调递增，

∴，解得．

（2）由（1），，

时，，令，则在上有解，

，∵，∴，

，则，∴的最大值为，

∴，即．

∴的取值范围是．

（3）原方程化为，

令，则，有两个实数解，

作出函数的图象，如图

原方程有三个不同的实数解，则，，或，，

记，

则，解得，

或，无解．

综上的取值范围是．

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．

22．（2021·全国·高一课时练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么：

（1）10h后还剩百分之几的污染物？

（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？

（3）画出P关于t变化的函数图象.

【答案】（1）81%；（2）33h；（3）见解析

【分析】

（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；

（2）令，根据指数运算性质求出的值；

（3）求出的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象．

【详解】

（1）当时，，当时，，即.

，当时，，

即10h后，还剩81%的污染物.

（2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得.

，即污染物减少50%大约需要花33h.

（3）图象大致如图所示.

【点睛】

本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题．