炎德英才·名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第二次联考数学（B）卷（含解析）

这是一份炎德英才·名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第二次联考数学（B）卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=3+4i1-2i，则z=( )
A. 5B. 5 5C. 10D. 10 5
2.已知集合A=x|4≤x<8，B=x|-17<3-2x<-1，则∁RA∪B=( )
A. (-∞,2]∪[10,+∞)B. 4,8
C. 2,4∪8,10D. R
3.已知函数fx为奇函数，且当x>0时，fx=4x+1-lg3x，则f-3=( )
A. -10B. 10C. -12D. 12
4.已知向量a=(x,1,1)，b=(-2,2,y)，a⋅b=0，则2x-y=( )
A. 1B. -1C. -2D. 2
5.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=Asin ωtω>0.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定A，ω的值分别为( )
A. 11000，400B. 11000，400πC. 1500，800D. 1500，800π
6.如图，将一个圆柱2nn∈N*等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为
A. 5πB. 10πC. 20πD. 30π
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，PF⊥x轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，△POQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. 32B. 35C. 3+12D. 5-12
8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为1，P为棱AE的中点，DQ=13DA，设直线FP与CQ的夹角为θ，则tan θ=( )
A. 263B. 3 2626C. 216D. 156
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数a>b>0>c，则下列不等式正确的是
A. ac>bcB. a-b>b-cC. ac2>bc2D. 1ac>1bc
10.为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则
( )
A. APP使用人数最多的是微信
B. 微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍
C. 微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和
D. 抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%
11.对于数列an，若a2=2，a2n+a2n+2=4nn∈N*，则下列说法正确的是
( )
A. a6=6B. 数列an是等差数列
C. 数列a4n - 2是等差数列D. a4n=16n-2
12.已知双曲线C：x212-y212=1与椭圆Γ：x2k+y2=1有公共的焦点F1，F2，N是双曲线C的一条渐近线上的一点，O是椭圆Γ的对称中心，点P，Q分别为C，Γ上的动点，N，P位于y轴的同侧，且Q不在x轴上，则
( )
A. k=2
B. ∠PON∈(0,π2)
C. 当P为C与Γ的交点时，cs∠F1PF2=13
D. ∠F1QF2∈0,π2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=1,3+t，b=-2,4，且3a-b//a，则a=________．
14.等比数列an的前n项和为Sn，若S5S10=133，则a10a9+a8=________．
15.已知直线l1：x+4y=0，直线l2过点-4,132且与直线l1相互垂直，圆C：x2+y2+6x-4y-3=0，若直线l2与圆C交于M，N两点，则MN=________．
16.如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC上，且CM=13BC，N是侧面CDD1C1上一点，且MN //平面A1BD，则线段MN的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知an是各项均为正数的等比数列，a1=4，且a1，a2+18，a3成等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=1lg4anlg4an + 1，求数列bn的前n项和．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，an+an+2=2an+1n∈N*，且a2+a4=6，S6=21．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an,n为奇数,2an-1,n为偶数,求数列bn的前2n项和T2n．
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A+sin Ccs B)=sin Abcs C- 3c．
(1)求B；
(2)若D是AC边上一点，且BD=CD=13b，设边AC上的高为h，求hc．
20.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，FB // PA，PA=2AB=2FB，E为PA的中点，O为△BDE的外心．
(1)求证：AO⊥平面PCF；
(2)求平面PCF与平面BCF夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)，圆C:(x-1)2+y2=1与x轴交于点O，点B．
(1)证明：在x轴上存在异于点A的定点T(t,0)，使得对于圆C上任一点P，都有|PA||PT|为定值;
(2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点，过(1)中的点T(t,0)作垂直于x轴的直线l，直线OM与l交于点N，直线AN与直线MB交于点R，求证：点R在椭圆上运动．
22.(本小题12分)
已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小3．
(1)求抛物线Γ的准线方程;
(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，线段AB的中垂线与抛物线T的准线交于点C，请问是否存在直线l，使得tan∠ACB=43?若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数模的运算，主要考查了复数模的运算性质的理解与应用，属于基础题．
利用复数模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为z=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i2=11-2i，
所以|z|= 112+-22=5 5．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
先化简集合B，求出A∪B，最后由补集概念求解运算即可．
【解答】解：因为B={x|-17<3-2x<-1}={x|2又A={x|4≤x<8}，
所以A∪B={x|2则∁RA∪B=(-∞,2]∪[10,+∞).
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
利用奇函数性质代入数据计算得到答案．
【解答】
解：因为函数 fx 为奇函数，且当 x>0 时， fx=4x+1-lg3x ，
所以f(-3)=-f(3)=-(4×3+1-lg33)=-12．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【解析】因为a=(x,1,1)，b=(-2,2,y)，a⋅b=0，所以-2x+2+y=0，解得2x-y=2，故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
由函数图象求出A和周期，再求ω的值．
【解答】
解：由图可知A=11000，设y=Asinωt(ω>0)的最小正周期为T，
则34T=3800，解得T=1200，
则2πω=1200，解得ω=400π．
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查圆柱的侧面积公式，属于基础题．
由已知可得新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，进而可计算圆柱的体积．
【解答】
解： 显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，
设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh=20，则rh=10，
因为新几何体的高为5，所以圆柱的高为5，即h=5，解得r=2，
所以圆柱的体积为V=πr2h=20π．
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知椭圆的焦点在x轴，不妨设F(c,0)，P(c,y0)，
因为点P(c,y0)在椭圆上，
所以c2a2+y02b2=1，解得y0=±b2a，取P(c,b2a)，
又△POQ为等腰直角三角形，所以|PF|=|OF|，
即b2a=c，即a2-c2=ac，所以e2+e-1=0，
解得e= 5-12或e=-1- 52(舍)．
故选D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正八面体的结构特点，向量数量积的运算，属于中档题．
根据正八面体的性质得到 FP=-AC-12AE，CQ=23AD-AC，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可．
【解答】
解：由题意，FP=FE+EP=-AC-12AE，CQ=AQ-AC=23AD-AC，
又由正八面体ABCDEF的棱长都是1，且各个面都是等边三角解，
在△ACE中，由AC=AE=1，CE= 2，可得AC2+AE2=CE2，所以AC⊥AE，
所以FP⋅CQ=(-AC-12AE)⋅(23AD-AC)=-23AC⋅AD+AC2-13AE⋅AD+12AE⋅AC
=-23×1×1×12+12-13×1×1×12+0=12，
|FP|= (-AC-12AE)2= AC2+AC⋅AE+14AE2= 12+0+14×12= 52;|CQ|= (23AD-AC)2= 49AD2-43AD⋅AC+AC2= 49×12-43×1×1×12+12= 73:
所以csθ=csFP,CQ=FP⋅CQFPCQ=12 52× 73=3 3535，所以sinθ= 26 35，则tanθ=sinθcsθ= 263．
故选A．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】
解：对于A项，因为a>b>0，c<0，所以ac对于B项，因为a=3，b=1，c=-6满足a>b>0>c，此时a-b=2对于C项，因为c<0，所以c2>0，又a>b>0，所以ac2>bc2，故C正确;
对于D项，由A得ac1bc，故D正确．
故选CD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查条形统计图，属于中档题．
根据条形统计图中的数据信息，逐项计算判断即可．
【解答】
解：对于A项，APP使用人数最多的是微信，故A正确;
对于B项，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，
所以微信APP的使用人数小于今日头条APP的使用人数的2倍，故B错误;
对于C项，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，快手APP的使用人数占4格，
所以微信APP的使用人数小于今日头条APP与快手APP的使用人数之和，故C错误;
对于D项，抖音APP的使用人数占5格多，快手APP的使用人数占4格，则快手APP的使用人数的125%等
于5格，所以抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%.故D正确．
故选AD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推式，重点考查了等差数列通项公式的求法，属基础题．
由数列的递推式结合等差数列通项公式的求法逐一判断即可得解．
【解答】
解：由a2n+a2n+2=4n(n∈N*)，a2=2，
得a4=4-a2=2，a6=8-a4=6，故A正确;
又a2n+a2n+2=4n，a2n+2+a2n+4=4(n+1)，
两式相减得a2n+4-a2n=4，
令n=2n1-1，n1∈N*，可得a4n1+2-a4n1-2=4，
所以{an}不是等差数列，{a4n-2}是等差数列，故B错误，C正确;
同理，令n=2n1，n1∈N*，则a4n1+4-a4n1=4，
所以{a4n}是以a4=2为首项，公差为4的等差数列，
所以a4n=2+(n-1)×4=4n-2，故D错误．
故选AC．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程、双曲线的简单几何性质、椭圆和双曲线的定义、余弦定理，考查了学生的运算能力，是难题
结合椭圆的标准方程、双曲线的简单几何性质、椭圆和双曲线的定义、余弦定理对各选项分析即可得答案．
【解答】
解：双曲线C:x212-y212=1的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，
则k-1=12，解得k=2，故A正确;
双曲线C:x212-y212=1的渐近线方程为y=±x，
如图，设M(与N点位于y轴的同侧)是双曲线C的另一条渐近线上的一点，
则∠PON∈(0,∠MON)，因为∠MON=π2，所以∠PON∈(0,π2)，故B正确;
当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
|PF1|+|PF2|=2 2，|PF1|-|PF2|= 2，解得|PF1|=3 22，|PF2|= 22，
又|F1F2|=2，在△F1PF2中，由余弦定理得cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=13，故C正确;
设|QF1|=m，|QF2|=n，则m+n=2 2，则由余弦定理得cs∠F1QF2=m2+n2-|F1F2|22mn=m2+n2-222mn
=(m+n)2-2mn-42mn=(2 2)2-2mn-42mn=4-2mn2mn=2mn-1=2m(2 2-m)-1=2-(m- 2)2+2-1，
由m∈( 2-1, 2+1)，得m- 2∈(-1,1)，得(m- 2)2∈[0,1)，得-(m- 2)2∈(-1,0]，得
-(m- 2)2+2∈(1,2]，得2-(m- 2)2+2∈[1,2)，得2-(m- 2)2+2-1∈[0,1)，即cs∠F1QF2∈
[0,1)，所以∠F1QF2∈(0,π2].故D错误．
故选ABC．
13.【答案】 5
【解析】【分析】
本题考查向量平行的性质和向量的模，属于基础题．
由向量平行的坐标运算，得到 t=-5 ，再利用模的坐标公式求 a ．
【解答】
解：已知向量 a=1,3+t，b=-2,4， 3a-b=(5,5+3t) ，
∵ 3a-b//a ，∴ 5+3t=5×3+t ，解得 t=-5 ，
∴ a=(1,-2) ， |a|= 5 ．
故答案为： 5
14.【答案】43
【解析】【分析】
本题主要考查的是等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，属于基础题．
由S5S10=133求出公比，再由等比数列的通项公式求值即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，且q≠0，
若q=1，则S5S10=510≠133，与题设矛盾，所以q≠1.
则S5S10=a1(1-q5)1-qa1(1-q10)1-q=11+q5=133，解得q=2，
所以a10a9+a8=a8q2a8q+a8=a8q2a8(q+1)=q2q+1=222+1=43．
15.【答案】 47
【解析】【分析】本题考查两直线的垂直，圆的一般方程化为标准方程，直线与圆的相交弦长，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
依题意，设与直线l1垂直的直线l2为4x-y+m=0，代入点-4,132，求得m得直线l2方程，化圆的方程为标准方程，得圆心、半径，由点到直线的距离求得圆心(-3,2)到直线l2的距离d，由相交弦长|MN|=2 r2-d2求解．
【解答】
解：依题意，设与直线l1：x+4y=0 垂直的直线l2为4x-y+m=0，
∵直线l2过点-4,132，
∴-16-132+m=0，即m=452，
∴直线l2为：4x-y+452=0，
化简得8x-2y+45=0，又由圆C:x2+y2+6x-4y-3=0，
即C:(x+3)2+(y-2)2=16，可得圆C的圆心坐标为C(-3,2)，半径为r=4，
则圆心C到直线l2的距离为d=|8×(-3)+(-2)×2+45| 82+(-2)2= 172，
所以弦长|MN|=2 r2-d2=2 42-( 172)2= 47．
16.【答案】 14
【解析】【分析】
本题考查空间线段的长度，考查面面平行的判定，属于一般题．
作图，通过求证平面MEF//平面A1BD，得到N在线段EF上，求出ME和MF，即可得到线段MN的最大值．
【解答】
解：如图，在线段CD上取一点E，使得CE=13CD，在线段DD1上取一点F，使得D1F=13DD1，连接ME，EF，CD1，
因为CMBC=CECD=D1FDD1=13，所以ME//BD，EF/​/CD1，
又A1B/​/CD1，所以EF/​/A1B，
因为ME⊄̸平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以ME/​/平面A1BD，
同理，因为EF⊄̸平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF//平面A1BD，
又ME∩EF=E，ME，EF⊂平面MEF，
所以平面MEF//平面A1BD，因此，N在线段EF上．
因为ME= 12+12= 2，MF= 12+32+22= 14，
所以线段MN的最大值为 14．
17.【答案】解：(1)设{an}的公比为q，由{an}的各项均为正数知q>0，
因为a1，a2+18，a3成等差数列，
所以a1+a3=2(a2+18)，
又a1=4，所以4+4q2=2(4q+18)，
化简得(q+2)(q-4)=0，
解得q=4或q=-2(舍去)，
故{an}的通项公式为an=4×4n-1=4n．
(2)由(1)知bn=1lg4anlg4an+1
=1lg44nlg44n+1
=1n(n+1)=1n-1n+1，
设{bn}的前n项和为Sn，则Sn=1-12+12-13+⋯+1n-1-1n+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式、等差数列的性质以及裂项相消法求和，是基础题．
(1)由a1，a2+18，a3成等差数列，得a1+a3=2(a2+18)，可得公比q，可得an的通项公式；
(2)由(1)知bn=1n-1n+1，由裂项相消求和可得数列bn的前n项和．
18.【答案】解：(1)由an+an+2=2an+1，得an+2-an+1=an+1-an，
所以数列{an}为等差数列，
设数列{an}的公差为d，
由a2+a4=6,S6=21,得2a1+4d=6,6a1+6×52d=21,解得a1=1,d=1,
所以an=1+(n-1)×1=n．
(2)当n为奇数时，bn=an=n；
当n为偶数时，bn=2an-1=2n-1，
所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=(1+3+⋯+2n-1)+(2+23+⋯+22n-1)=1+2n-1n2+21-4n1-4
=n2+22n+1-23．
【解析】本题考查等差数列的判定、通项公式和数列求和，属于一般题．
(1)判断出数列{an}为等差数列，求出首项和公差，即可得通项公式;
(2)分n为奇数和偶数讨论，求出bn，利用分组转化求和即可．
19.【答案】解：(1)因为a(sinA+sinCcsB)=sinA(bcsC- 3c)，
所以sin2A+sinAsinCcsB=sinAsinBcsC- 3sinAsinC，
又A∈(0,π)，所以sinA≠0，
所以sinA+sinCcsB=sinBcsC- 3sinC，
所以sin(B+C)+sinCcsB=sinBcsC- 3sinC，
所以sinBcsC+sinCcsB+sinCcsB=sinBcsC- 3sinC，
所以2sinCcsB=- 3sinC，
又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以csB=- 32．
又B∈(0,π)，所以B=5π6．
(2)在△BCD中，由余弦定理得cs∠BDC=BD2+CD2-BC22BD⋅CD=2b2-9a22b2，
在△ABD中，由余弦定理得cs∠BDA=BD2+AD2-AB22AD⋅BD=5b2-9c24b2，
因为∠BDC+∠BDA=180∘，所以cs∠BDC=-cs∠BDA．
即2b2-9a22b2=-5b2-9c24b2，整理得b2-c2=2a2．
在△ABC中，由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac=- 32，
则-a22ac=-a2c=- 32，所以a= 3c.
所以b2-c2=6c2，即b= 7c.
所以S△ABC=12acsinB=12bh，即12 3c⋅c⋅12=12 7ch，解得h= 2114c，则hc= 2114．
【解析】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了三角恒等变换，是中档题．
(1)利用正弦定理，三角恒等变换可求得csB=- 32.故可得B;
(2)在△BCD中，由余弦定理得cs∠BDC和在△ABD中，由余弦定理得cs∠BDA，故可求得b2-c2=2a2，结合csB可得a= 3c.结合面积公式可得答案．
20.【答案】解：(1)因为PA=2FB，E为PA的中点，
所以PE=FB，
又FB//PE，所以四边形PEBF是平行四边形，所以PF//EB，
又PF⊄̸平面BDE，EB⊂平面BDE，所以PF//平面BDE．
连接EF，如图所示，
同理，易证四边形ABFE是平行四边形，所以EF= //AB，
又CD= //AB，所以EF= //CD，所以四边形EFCD是平行四边形，所以CF/​/DE，．
又CF⊄̸平面BDE，DE⊂平面BDE，所以CF//平面BDE．
又PF∩CF=F，PF，CF⊂平面PCF，所以平面PCF//平面BDE．
因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2AB，E为PA的中点，
所以AB，AD，AE两两互相垂直，且AB=AD=AE，
所以由勾股定理可知BD=BE=DE，则三棱锥A-BDE是正三棱锥，
那么△BDE的外心O就是△BDE的中心，也是A在底面BDE上的射影，即△BDE的垂心，．
所以AO⊥平面BDE，
所以AO⊥平面PCF；
(2)以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴正方向建立如右图所示的空间直角坐标系．
不妨设PA=2AB=2FB=2，则AB=AD=FB=1，
则点P(0,0,2)，C(1,1,0)，F(0,1,1)，B(0,1,0)，
则PC=(1,1,-2)，PF=(0,1,-1)．
设平面PCF的法向量为n=(x,y,z)，则
由n⋅PC=(x,y,z)⋅(1,1,-2)=x+y-2z=0,n⋅PF=(x,y,z)⋅(0,1,-1)=y-z=0,得x=z,y=z,
令z=1，得平面PCF的一个法向量为n=(1,1,1)，
又易知平面BCF的一个法向量为m=(0,1,0);
设平面PCF与平面BCF夹角大小为θ，则
csθ=|m⋅n|m||n||=|(0,1,0)⋅(1,1,1)1× 3|= 33，
由图可知，平面PCF与平面BCF夹角为锐角，
所以平面PCF与平面BCF夹角的余弦值为 33．
【解析】本题重点考查线面平行的判定、外心和垂心的性质和平面与平面的夹角，属于一般题．
(1)通过求证△BDE的外心O就是△BDE的中心，也是A在底面BDE上的垂心，即可求证AO⊥平面PCF；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
21.【答案】解：(1)由题意，得f'(x)=3x2+a，g'(x)=b-3x2，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=3+a，
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线斜率为g'(1)=b-3，
又f(1)=1+a，g(1)=b-1，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(1+a)=(3+a)(x-1)，即y=(3+a)x-2;
令x=0，得y=-2;令y=0，得x=23+a，
则切线y=(3+a)x-2与坐标轴的交点分别为(0,-2)，(23+a,0)，
切线y=(3+a)x-2与坐标轴围成的三角形的面积为S1=12×|-2|×|23+a|=|23+a|;
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y-(b-1)=(b-3)(x-1)，即y=(b-3)x+2，
令x=0，得y=2;令y=0，得x=23-b，则切线y=(b-3)x+2与坐标轴的交点分别为(0,2)，(23-b,0)，
切线y=(b-3)x+2与坐标轴围成的三角形的面积为S2=12×|2|×|23-b|=|23-b|;
由题意，|23+a|=|23-b|，所以a=-b或b-a=6；
(2)设直线l与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，
又f'(x)=3x2+a，g'(x)=b-3x2，
则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-(x13+ax1)=(3x12+a)(x-x1)，即y=(3x12+a)x-2x13，
曲线y=g(x)在点B处的切线为y-(bx2-x23)=(b-3x22)(x-x2)，即y=(b-3x22)x+2x23，
则3x12+a=b-3x22,-2x13=2x23,则3x12+3x22=b-a=6,x1=-x2,
所以6x12=6，解得x1=1,x2=-1,，或x1=-1x2=1
当x1=1,x2=-1时，直线l:y=(3+a)x-2;
当x1=-1,x2=1时，直线l:y=(3+a)x+2;
故存在直线l与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，直线l的方程为y=(3+a)x-2或y=(3+a)x+2．
【解析】略
22.【答案】【解析】(1)因为抛物线I:x2=2py上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小于3，且p>0，
所以抛物线T:x2=2py上一点到焦点F的距离等于它到直线y=-1的距离，
所以-p2=-1，解得p=2，
故抛物线Ⅳ的方程是x2=4y，抛物线的准线方程为y=-1．
(2)由题意得F(0,1)，且l斜率一定存在，设l:y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+1,x2=4y,消去y可得x2-4kx-4=0，△=16k2+16>0，
则x1+x2=4k，x1x2=-4．
设AB中点为M，如图，
则tan∠ACB=tan2∠ACM=2tan∠ACM1-tan2∠ACM=2×|AM||CM|1-|AM|2|CM|2=43，
解得|CM|=2|AM|，即|CM|=|AB|．
当k=0时，易知|CM|=2，|AB|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2=4，不符合题意;
当k≠0时，设C(x3,y3)，M(x4,y4).
因为CM垂直平分AB，所以CM的斜率为-1k，
易知|CM|= 1+k2|y3-y4|，因此有 1+k2|y3-y4|= 1+k2|x1-x2|.
因为M为AB的中点，所以y4=y1+y22=k(x1+x2)+22=2k2+1，
由题意，y3=-1，即|x1-x2|=2k2+2， 16k2+16=2k2+2，
两边平方整理可得k4-2k2-3=0，解得k=± 3，
故存在直线l使得tan∠ACB=43，且直线l的方程为y= 3x+1或y=- 3x+1．
【解析】略