炎德·英才·名校联考联合体2021年秋季高二12月联考数学试卷及参考答案

炎德·英才·名校联考联合体2021年秋季高二12月联考

数学参考答案

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

13.      14.      15.

16.或

四、解答题

17.【解析】(1)由题知岁年龄组的频率为

，

故该组名志愿者的平均年龄

(岁)，

由直方图知前三组频率之和为，第四组为，

故第百分位数应在第四组，设为，

则，

得(岁).

(2)由题知、、三人被分配到实验组的概率相同，设为，

则分配到对照组的概率为，用、、分别表示三人分配到实验组，、、分别表示三人分配到对照组.

表示、两人恰有人分配到实验组，三人分组相互独立，

则，

解得，

故试验组人数为(人).

表示三人中至少有两人分配到实验组，.

18.【解析】(1)由题知，，

由正弦定理知，，

即.

又，且.

即，.

故.

(2)由余弦定理得：

.

即.

又，

即.

19.【解析】(1)当时，，

当时，，

所以，

所以为公比为，首项的等比数列，

所以.

当时，，

当时，，

当时，上式仍成立，

∴.

(2)，

∴，

∴，

两式相减得：

.

∴.

20【解析】(1)，即为中点，证明如下.

连结交于，连结，则为中位线.

即.

又平面，平面，

则平面，

故为中点，即.

(2)以、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，.

设平面的法向量为，

则即

令，得.

设，则，

设平面的法向量为，则

即

令得.

令，

即.

化简得：，

解得或.当时，不合题意.故.

故在线段上靠近点的三等分点处.

21.【解析】(1).

由已知，，

解得，.

所以.

由得，当时，，当时，，

所以在处取得极大值，无极小值.

(2)，，.

依题意对任意的恒成立.

所以对任意的恒成立.

令，，

，

令，，

所以，

令，所以.

因为当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以当时，函数的最小值为，且.

所以，即，在上单调递增，

所以，

所以，故实数的取值范围为.

22.【解析】(1)由题及双曲线的对称性，设，，，

则，

，

故.

又，即，

代入得，又，

得，，即.

(2)由题知，，设，，线段中点坐标为，

联立得，

依题意

得

且，

即有，代入直线方程得，

由知，，

即：.

即，

则，②

且，③

由①②③式得，或.