新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第5讲复数平面向量

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第5讲复数平面向量，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(共8小题)
1. (2023·内蒙古赤峰统考模拟预测)已知a∈R，(5＋ai)i＝1＋5i(i为虚数单位)，则a＝( A )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
【解析】 由题意知，(5＋ai)i＝－a＋5i＝1＋5i，则a＝－1.故选A.
2. (2023·浙江永嘉中学校联考模拟预测)若1＋2i＝iz(i为虚数单位)，则|z|＝( B )
A．5 B．eq \r(5)
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
【解析】 由1＋2i＝iz得z＝eq \f(1＋2i,i)＝2－i，所以|z|＝eq \r(22＋－12)＝eq \r(5)，故选B.
3. (2023·陕西西安校考模拟预测)已知复数z满足z＝2＋eq \f(1,i)，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内所对应的点在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝2＋eq \f(1,i)＝2－i，所以z的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))＝2＋i，对应在复平面内的点为(2,1)，在第一象限，故选A.
4. (2023·四川南充校考模拟预测)在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则3x＋y＝( C )
A.eq \f(7,3) B．2
C．eq \f(8,3) D．3
【解析】 如图，设AC与BD相交于点O，由G为△BCD的重心，可得O为BD的中点，CG＝2GO，则eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，可得x＝y＝eq \f(2,3)，故3x＋y＝eq \f(8,3).故选C.
5. (2023·吉林统考二模)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b＝( D )
A．(－3，－4) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(－4，－3)
【解析】 设b＝(x，y)，则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝0，,\r(x2＋y2)＝5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x－8y＝0，,x2＋y2＝25，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－3，))设c＝(1,0)，当b＝(4,3)时，此时cs〈b，c〉＝eq \f(b·c,|b||c|)＝eq \f(4,5)>0，又因为向量夹角范围为[0，π]，故此时夹角为锐角，舍去；当b＝(－4，－3)时，此时cs〈b，c〉＝eq \f(b·c,|b||c|)＝－eq \f(4,5)<0，故此时夹角为钝角，故选D.
6. (2023·四川内江统考一模)已知向量a＝(2,4)，b＝(－2，m)，若a＋b与b的夹角为60°，则b在a＋b方向上的投影为( C )
A.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3)
【解析】 ∵a＋b＝(0，m＋4)，∴cs〈a＋b，b〉＝eq \f(a＋b·b,|a＋b|·|b|)＝eq \f(mm＋4,\r(4＋m2)·|m＋4|)＝eq \f(1,2)，当m>－4时，eq \f(m,\r(4＋m2))＝eq \f(1,2)，解得：m＝±eq \f(2\r(3),3)；若m＝－eq \f(2\r(3),3)，∴cs〈a＋b，b〉＝eq \f(m,\r(4＋m2))<0不符合题意，∴m＝eq \f(2\r(3),3)；当m<－4时，－eq \f(m,\r(4＋m2))＝eq \f(1,2)，解得：m＝±eq \f(2\r(3),3)(舍)；综上所述：m＝eq \f(2\r(3),3)，∴b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2\r(3),3)))，∴b在a＋b方向上的投影为|b|cs〈a＋b，b〉＝eq \r(4＋\f(4,3))×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).故选C.
7.已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2x－1,x＋1)))的定义域为A，复数z＝eq \f(3－i,1－2i)－ai，若a∈A，则|z|的取值范围是( B )
A．1<|z|C．1≤|z|≤eq \r(5) D．1<|z|≤eq \r(5)
【解析】 由1－eq \f(2x－1,x＋1)>0，得eq \f(－x＋2,x＋1)>0，即－18. (2023·河南校联考模拟预测)已知向量a，b的夹角为120°，且|a|，|b|是函数f(x)＝x2－5x＋6的两个零点．若(a＋λb)⊥a(λ>2)，则λ＝( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 因为函数f(x)＝x2－5x＋6的两个零点分别为2,3，所以|a|＝2，|b|＝3或|a|＝3，|b|＝2.又(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝0，则a2＋λa·b＝0，即|a|2＋λ|a||b|cs 120°＝0.当|a|＝2，|b|＝3时，4＋λ×2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，解得λ＝eq \f(4,3)(舍去)；当|a|＝3，|b|＝2时，9＋λ×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，解得λ＝3，满足λ>2.综上，λ＝3.故选A.
二、多项选择题(共4小题)
9. (2023·重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测)设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有( ABD )
A．|z1z2|＝|z1|·|z2|
B．若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|
C．若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
D．若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＝－1
【解析】 由题意得：令z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则|z1·z2|＝|(a＋bi)(c＋di)|＝|ac－bd＋(ad＋bc)i|＝(ac－bd)2＋(ad＋bc)2＝eq \r(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)，|z1|·|z2|＝eq \r(a2＋b2c2＋d2)＝eq \r(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)，所以|z1z2|＝|z1|·|z2|，故A正确；令z1＝a＋bi，z2＝a－bi，|z1|＝eq \r(a2＋b2)，|z2|＝eq \r(a2＋b2)，所以|z1|＝|z2|，故B正确；令z1＝a＋bi，z2＝a－bi，|z1|＝|z2|＝eq \r(a2＋b2)，根据复数的乘法运算可知：zeq \\al(2,1)＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，zeq \\al(2,2)＝(a－bi)2＝a2－b2－2abi，zeq \\al(2,1)≠zeq \\al(2,2)，所以C错误；若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＋1＝0，即m＝－1，故D正确．故选ABD.
10. (2023·江苏连云港统考模拟预测)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( AB )
A．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)
C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直
D．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
【解析】 a，b，c是三个非零向量，|a＋b|＝|a－b|两边平方得：(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，则a⊥b，A正确；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因为|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，B正确；a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，则a－b与c垂直，C错误；[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，D错误．故选AB.
11. (2023·浙江宁波高三期末)已知z1，z2∈C，且|z1|＝eq \r(2)，|z1＋z2|＝10，则( BD )
A．当z1＝1－i，z2＝x＋yi(x，y∈R)时，必有(x＋1)2＋(y－1)2＝10
B．复平面内复数z1所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为eq \r(2)的圆
C．|z1－i|min＝1＋eq \r(2)
D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z2,z1)))max＝1＋5eq \r(2)
【解析】 |z1＋z2|＝10⇒(x＋1)2＋(y－1)2＝100，故A错误；因为|z1|＝eq \r(2)，故B项正确；|z1－i|≥||z1|－|i||＝eq \r(2)－1，当z1与i对应向量同向时取等，故C项错误；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z2,z1)))＝eq \f(|z2|,\r(2))＝eq \f(|z1＋z2－z1|,\r(2))≤eq \f(|z1＋z2|＋|z1|,\r(2))＝eq \f(10＋\r(2),\r(2))＝1＋5eq \r(2)，当z1＋z2与z1对应向量反向时取等，故D项正确．故选BD.
12. (2023·福建统考一模)平面向量m，n满足|m|＝|n|＝1，对任意的实数t，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)n))≤|m＋tn|恒成立，则( AD )
A．m与n的夹角为60°
B．(m＋tn)2＋(m－tn)2为定值
C．|n－tm|的最小值为eq \f(1,2)
D．m在m＋n上的投影向量为eq \f(1,2)(m＋n)
【解析】 设平面向量m与n的夹角为θ，因为对任意的实数t，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)n))≤|m＋tn|恒成立，即m2－m·n＋eq \f(1,4)n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又|m|＝|n|＝1，也即t2＋2tcs θ＋cs θ－eq \f(1,4)≥0对任意的实数t恒成立，所以Δ＝4cs2θ－4cs θ＋1＝(2cs θ－1)2≤0，则cs θ＝eq \f(1,2)，所以θ＝60°，故选项A正确；对于B，因为(m＋tn)2＋(m－tn)2＝1＋2tcs 60°＋t2＋1＋t2－2tcs 60°＝2＋2t2随t的变化而变化，故选项B错误；对于C，因为|n－tm|＝eq \r(|n－tm|2)＝eq \r(1＋t2－2tcs 60°)＝eq \r(t2－t＋1)，由二次函数的性质可知：当t＝eq \f(1,2)时，|n－tm|取最小值eq \f(\r(3),2)，故选项C错误；对于D，m＋n向量上的一个单位向量e＝eq \f(m＋n,|m＋n|)＝eq \f(m＋n,\r(3))，由向量夹角公式可得：cs〈m，(m＋n)〉＝eq \f(m·m＋n,|m||m＋n|)＝eq \f(1＋\f(1,2),\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，由投影向量的计算公式可得：m在m＋n上的投影向量为|m|·cs〈m，(m＋n)〉e＝1×eq \f(\r(3),2)×eq \f(m＋n,\r(3))＝eq \f(1,2)(m＋n)，故选项D正确，故选AD.
三、填空题(共4小题)
13. (2023·高三课时练习)已知复数z1＝cs θ－i，z2＝sin θ＋i，则|z1·z2|的最大值为 eq \f(3,2) .
【解析】 |z1·z2|＝|z1|·|z2|＝eq \r(cs2θ＋1)·eq \r(sin2θ＋1)＝eq \r(cs2θ＋1sin2θ＋1)＝eq \r(sin2θcs2θ＋sin2θ＋cs2θ＋1)＝eq \r(\f(1,4)2sin θcs θ2＋2)＝eq \r(\f(1,4)sin22θ＋2)，∵sin22θ∈[0,1]，∴当sin22θ＝1时，|z1·z2|的最大值为eq \r(\f(1,4)＋2)＝eq \f(3,2).
14. (2023·广西南宁二中校考一模)已知O是△ABC内部一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，又eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \r(3)，∠BAC＝30°，则△OBC的面积为 eq \f(2,3) .
【解析】 由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \r(3)及∠BAC＝30°得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs∠BAC＝eq \f(\r(3),2)·|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|＝8，所以S△ABC＝eq \f(1,2)|Aeq \(B,\s\up6(→))|·|Aeq \(C,\s\up6(→))|sin∠BAC＝2.又eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，且O在△ABC内，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝eq \f(1,3)S△ABC＝eq \f(2,3).
15. (2023·上海统考模拟预测)设z1，z2∈C且z1＝i·eq \x\t(z2)，满足|z1－1|＝1，则|z1－z2|的取值范围为 [0，2＋eq \r(2)] .
【解析】 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，eq \x\t(z2)＝c－di，则a＋bi＝i·(c－di)＝d＋ci，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝d，,b＝c，))|z1－1|＝|(a－1)＋bi|＝eq \r(a－12＋b2)＝1，所以(a－1)2＋b2＝1，即z1对应点(a，b)在以(1,0)为圆心，半径为1的圆(x－1)2＋y2＝1上．z2＝c＋di＝b＋ai，z2对应点为(b，a)，(a，b)与(b，a)关于y＝x对称，所以点(b，a)在以(0,1)为圆心，半径为1的圆x2＋(y－1)2＝1上，|z1－z2|表示(a，b)与(b，a)两点间的距离，圆(x－1)2＋y2＝1与圆x2＋(y－1)2＝1相交，圆心距为eq \r(2)，如图所示，所以|z1－z2|的最小值为0，最大值为eq \r(2)＋1＋1＝2＋eq \r(2)，所以|z1－z2|的取值范围为[0,2＋eq \r(2)]．
16. (2023·四川绵阳南山中学校考一模)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是_[－2,6]__.
【解析】 在△OAB中，OA＝OB＝2，∠OAB＝30°，所以AB＝2eq \r(3)，OM＝1,4eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))2－(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))2＝(2eq \(PM,\s\up6(→)))2－(eq \(BA,\s\up6(→)))2＝4eq \(PM,\s\up6(→))2－12.当点P在圆上运动时，P位于C处时，eq \(PM,\s\up6(→))2有最大值为|CM|2＝9.当P位于Q处时，eq \(PM,\s\up6(→))2有最小值为|MQ|2＝1.eq \(PM,\s\up6(→))2∈[1,9]，4eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－8,24]．所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－2,6]．