适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练10三角函数与解三角形解答题

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(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
2.(2023·辽宁辽阳一模)已知函数f(x)=4sin(ωx+)(ω>0)在区间[,π]上单调递减.
(1)求ω的最大值;
(2)若f(x)的图象关于点(,0)中心对称,且f(x)在区间[-,m]上的取值范围为[-2,4],求m的取值范围.
3.(2022·新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
4.(2023·广西南宁一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sin C),
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,b=,求a2+c2的取值范围.
5.在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=.
(1)若cs Acs C=,求△ABC的面积;
(2)试问=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.
6.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=.计划在上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ.
(1)当θ=时,求∠OPQ的大小;
(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.
专题突破练10 三角函数与解三角形解答题
1.解 (1)由已知及正弦定理,得,
∵a=,b=2,∠A=120°,
∴sinB=
(2)方法一:由(1)及已知,得csB=,sinC=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=csB-sinB=
由正弦定理,得c==5.
方法二:∵b2+c2-2bccsA=a2,
∴4+c2-2×2c×(-)=39,
整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).
(3)∵C为锐角,∴csC=
∴sin(B-C)=sinBcsC-csBsinC==-
2.解 (1)当x∈[,π]时,因为ω>0,
所以ωx+[+,πω+],
所以
所以ω∈[1+12k,+2k],k∈Z.
又有π-,所以0<,
所以k=0时,1符合题意.
所以ω的最大值为
(2)因为f(x)的图象关于点(,0)中心对称,
所以+=kπ(k∈Z).
即ω=(k∈Z),
由(1)得1,所以ω=,则f(x)=4sin(x+),
当x∈[-,m]时,x+[-m+],
因为f(x)在区间[-,m]上的取值范围为[-2,4],
所以sin(x+)∈[-,1],
则m+,解得m,
所以m的取值范围是[].
3.解 ,且csB≠0,
∴由得csAcsB=sinB(1+sinA),
∴csAcsB=sinB+sinAsinB,
∴sinB=csAcsB-sinAsinB=cs(A+B)=cs(π-C)=-csC>0.
∴sinB>0,csC<0,
∴sinB=sin,
∴B=C-或B+C-=π(舍去).
(1)若C=,则0∴sinB=-csC=-cs
∴B=
(2)方法一:由正弦定理得,(*)
∵C=+B,A+B+C=π,
∴A+B++B=π,∴A=-2B.
又0∴(*)式为===
令cs2B=t,则t,
于是原式==4t+-5≥2-5=4-5,
当且仅当即t=时取等号.
的最小值为4-5.
方法二:∵sinB=-csC,B=C-,
∴A=π-(B+C)=-2C.
又0∴sinA=sin(B+C)=sin=-cs2C,
∴==
==+4sin2C-5≥2-5=4-5,
当且仅当sin2C=时,有最小值4-5.
4.解 (1)由(b-c)(sinB+sinC)=(sinA-sinC)a,可得(b-c)(b+c)=(a-c)a,
所以a2+c2-b2=ac,
所以csB=,
又B∈(0,π),所以B=
(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accsB,
又b=,且由(1)知B=,
所以3=a2+c2-ac,
即a2+c2=3+ac.
由正弦定理,得=2,
即a=2sinA,c=2sinC,
又C=-A,
所以ac=4sinAsinC=4sinAsin(-A)=2sinAcsA+2sin2A=sin2A-cs2A+1=2sin(2A-)+1.
由△ABC为锐角三角形,得
解得所以<2A-,
所以sin(2A-)∈(,1],
所以ac∈(2,3],
所以a2+c2=3+ac∈(5,6].
5.解 (1)由B=,得A+C=,cs(A+C)=csAcsC-sinAsinC,即=csAcsC-sinAsinC.
因为csAcsC=,
所以sinAsinC=
因为=2,
所以a=2sinA,c=2sinC.
所以S△ABC=2sinA·2sinC·sinB=4sinA·sinBsinC=4
(2)假设=1能成立,所以a+c=ac.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accsB,
所以6=a2+c2+ac.
所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,
所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.
不满足a+c≥2,所以=1不成立.
6.解 (1)在△POQ中,因为∠AQC=,
所以∠AQO=
又OA=OB=3,所以OQ=
设∠OPQ=α,则∠PQO=-α+θ.
由正弦定理,得,
即sinα=cs(α-θ),
整理得tanα=,其中
当θ=时,tanα=
因为,所以α=
故当θ=时,∠OPQ=
(2)设f(θ)=,,
则f'(θ)=
令f'(θ)=0,得sinθ=,记锐角θ0满足sinθ0=
当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<时,f'(θ)<0.
所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.
由(1)可知tanα=f(θ)>0,则,又y=tanα单调递增,则当tanα取最大值时,α也取得最大值.
故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sinθ=