渭南市尚德中学2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

渭南市尚德中学2024届高三上学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、已知全集,集合,,阴影部分所示的集合为( ) A. B. C. D.2、若复数为纯虚数,则实数a的值为( )A.1 B.0 C. D.-13、已知等差数列的前n项和为,且,,则公差( )A.1 B.2 C.3 D.44、通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联,它在地球静止轨道上运行,地球静止轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球(球心为O,半径为rkm),地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个仰角为的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时,天线与水平面的夹角),若点A的纬度为北纬,则( )A. B. C. D.5、设D为所在平面内一点,,若,则( )A.-3 B.3 C.-2 D.2 6、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A.240种 B.120种 C.60种 D.30种7、若,则取得最小值时a的值为( )A.6 B.1 C.3 D.8、已知函数,,则图象为如图的函数可能是( )A. B.C. D.9、已知中,,角A、B、C的对边分别为a、b、c,则“”是“为等边三角形”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10、如图所示,已知椭圆的左顶点是A,B,C在椭圆上,且四边形OABC是平行四边形,,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11、已知等差数列公差分别为,其前n项和为,等差数列公差为,其前n项和为,则下列命题中正确的个数是( )①若为等差数列,则②若为等差数列,则③若为等差数列,则④若,则是公差为的等差数列.A.1 B.2 C.3 D.412、已知a、b、c均为负实数,且,,,则( )A. B. C. D.二、填空题13、已知函数,则____________.14、设x、y满足约束条件,设,则z的最大值为_______15、已知为等比数列,,,则______.16、若函数有且仅有两个零点,则a的取值范围为_______.三、解答题17、已知中内角A、B、C的对边分别为a、b、c,B为锐角,向量,,且.（1）求角B的大小;（2）如果,求面积的最大值.18、已知各项都为正数的数列的前n项和为,,满足（1）求数列的通项公式;（2）若,求数列的前n项和为.19、如下图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面底面ABCD,且,若E、F分别为PC、BD的中点.（1）求证：平面PAD;（2）求二面角的余弦值.20、某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.21、已知函数的极值为.（1）求a的值并求函数在处的切线方程;（2）已知函数,存在,使得成立,求m得最大值.22、直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（为参数）,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程;（2）已知曲线的极坐标方程为(),点A是曲线与的交点,点B是曲线与的交点,且A、B均异于原点O,且,求的值.23、已知函数,函数的最小值记为m.（1）求不等式的解集;（2）正实数a、b、c满足.求证：.参考答案1、答案：A解析：2、答案：D解析：3、答案：C解析：4、答案：A解析：根据题意作出图形如图所示,O为球心,,,,,,,所以,在△OAB中,由正弦定理得,即所以,,,5、答案：A解析：若,,化为,与比较,可得：,,解得.6、答案：B解析：7、答案：B解析：,,且,,,当且仅当且,即时,等号成立.8、答案：D解析：9、答案：C解析：证明充分性,a、b、c成等比数列,设公比为q,则,由余弦定理得,即,,解得,是等边三角形.10、答案：C解析：11、答案：C解析：①②④正确12、答案：B解析：,,,所以a、b、c是方程的(1、2、3) 即a、b、c、是方程的(1、2、3)令,,单调递减,单调递增13、答案：1解析：14、答案：15解析：15、答案：-2解析：16、答案：解析：当时,函数只有一个零点-1,不符合题意;当时,函数只有一个零点-1,不符合题意;当时,函数有两个零点,分别为-1和,符合题意.若且,分以下两种情况：①当,,令,由且,得,,且.又时,,所以,则时,且,;时,,所以,则时,且,.②当，,令,由且,得,,且.同理,时,,则;时,,则.综上,a的取值范围为.17、答案：（1）;（2）最大值为.解析：（1）,,,即.又B为锐角,,,.（2）,,由余弦定理,得.又,当且仅当时等号成立,代入上式,得,故,即的最大值为18、答案：（1）（2）解析：（1）,当时,,两式相减得,即,由,得,即,所以是首项为1,公差为1的等差数列.故.（2）,,,两式相减,得,故.19、答案：（1）见解析（2）解析：（1）连接AC,由于四边形ABCD是正方形,F是BD的中点,则点F是AC中点,则EF是的中位线,所以又平面PAD,平面PAD,所以平面PAD（2）如下图,取AD的中点O,连结OP,OF.,,又平面底面ABCD,平面平面,平面ABCD,而O,F分别为AD,BD的中点,,又ABCD是正方形,故.,.以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,则,,,.,,,从而,又,,平面PDC,平面PDC的法向量为.设平面PBD的法向量为.,,由,可得,令,则,,故,即二面角的余弦值为.20、答案：（1）0.22（2）见解析解析：设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y的分布如下：（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形：①一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。所以（2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2.对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以;对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以;对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以;所以X的分布列为.解法二：X所有可能的取值为0,1,2.对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以;对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以;;所以X的分布列为.21、答案：（1）;（2）.解析：（1）定义域为R,因为若则在R上单调递增,无极值,不合题意,舍去.若则令得,所以解得经检验,符合题意.因为切线斜率,又因为所以切点为所以切线方程为：,即切线方程为：（2）因为存在,使得成立,则,即,即即,即,由（1）得所以在区间上单调递减,在区间上单调递增因为,,, 所以,所以,即且所以存在使得所以存在使得,即令所以,因为得所以在区间上单调递增,在区间单调递减所以的最大值为,所以又因为,所以所以m的最大值为22、答案：（1）（2）解析：（1）由,消去参数可得普通方程为,,由,得曲线的直角坐标方程为;（2）由（1）得曲线,由,可得其极坐标方程为由题意设,,则.,,,.23、答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意可得：,当时,则,解得;当时,则,解得;当时,则,解得;综上所述：不等式的解集为.（2）,当且仅当时等号成立,函数的最小值为,则,又,当且仅当,即时等号成立;,当且仅当,即时等号成立;,当且仅当,即时等号成立;上式相加可得：,当且仅当时等号成立, .办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1Y12345P0.10.40.30.10.1X012P0.50.490.01X012P0.50.490.01