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考点46 磁场对运动电荷的作用（核心考点精讲+分层精练）解析版—高中物理
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这是一份考点46 磁场对运动电荷的作用（核心考点精讲+分层精练）解析版—高中物理，共53页。试卷主要包含了 3年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
1. 3年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于本节内容考查共计30次，主要考查：
对洛伦兹力的理解；
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动；
带电粒子在有界边界磁场中的运动；
带电粒子在圆形有界磁场中的运动
【备考策略】理解电容器的充放电现象，并能根据充放电现象判断电容器的动态变化情况；掌握带电粒子在电场中的受力分析方法，判断带电粒子在电场中的偏转情况和运动情况；熟练掌握平抛运动的特点和规律，正确应用牛顿第二定律解决类平抛问题。
【命题预测】本节内容较多，难度偏大，在高考题中主要以亚洲提到额形式出现，主要考察洛伦兹力在有界和无界磁场中的的应用问题。要求2024年考生必须掌握左手定则，构建圆周运动模型，培养科学的物理观点和学科素养，激发对科技的求知探索精神。
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考法1 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
（1）判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
（1）v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
（2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
（3）v＝0时，洛伦兹力F＝0.
4．洛伦兹力的特点
（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功．
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．
5．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力．
（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
【典例1】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC错误；
D．洛仑兹力永不做功，D错误。
故选A。
磁场的理解
1．磁感应强度是矢量，其方向与导线所受力的方向垂直；
2．电流元必须垂直于磁场方向放置，公式B＝eq \f(F,IL)才成立；
3．磁场中某点的磁感应强度是由磁场本身决定的，与通电导线受力的大小及方向都无关．
【变式1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图所示，虚线框内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从边的中点垂直于边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的加速度最大
C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大
D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电量最大
【答案】C
【详解】AB．由左手定则可知a带正电，b、c带负电，由图可知，由粒子在磁场中的运动时洛伦兹力提供加速度有，解得，，
若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的运动速度最小，加速度最小，故AB错误；
C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c的比荷最大，粒子c在磁场中的加速度最大，故C正确；
D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子c的带电量最大，故D错误。
故选C。
【变式2】（2023·辽宁大连·大连八中校考模拟预测）如图甲所示，一带电物块无初速度地放上与水平面成θ角的传送带底端，传送带以恒定大小的速率沿顺时针方向传动，该装置处于垂直纸面向里的匀强磁场中，物块由传送带底端E运动至顶端F的过程中，其v-t图像如图乙所示，物块全程运动的时间为4.5s，关于带电物块及该运动过程的说法中正确的是（ ）
A．该物块带正电
B．传送带的传动速度大小一定为lm/s
C．物块与传送带间的动摩擦因数μ可能等于tanθ
D．在2s～4.5s内，物块与传送带可能有相对运动
【答案】AD
【详解】A．由图乙可知，物块做加速度逐渐减小的加速运动。对物块进行受力分析可知，开始时物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，设动摩擦因数为，沿斜面的方向，
物块运动后，又受到洛伦兹力的作用，加速度逐渐减小，物块的加速度逐渐减小，一定是FN逐渐减小，而开始时，，后来，
洛伦兹力垂直传送带向上，由左手定则判断物块带正电，故A正确；
C．物块加速运动时，
所以可知，μ>tanθ，故C错误；
BD．对物块受力分析如图
加速度为零时，有，
解得，
只要传送带的速度，物块就能匀速运动，物块相对于传送带可能静止也可能不静止，故B错误，D正确。
故选AD。
考法2 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
（1）基本公式：qvB＝meq \f(v2,R)
（2）半径R＝eq \f(mv,Bq)
（3）周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)
2．圆心的确定
（1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)．
（2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝eq \f(θ,2π)T(或t＝eq \f(θR,v))．
5. 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路
【典例2】（2023·天津·统考高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可以通过在相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，从而逐级放大电信号。已知电子质量m，带电量e。
（1）如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z轴。极板间电压U极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2个电子a和b，其初速度方向分别在xOy与zOy平面内，且与y轴正方向成角，则：
（i）判断B的方向；
（ii）a、b两个电子运动到下一个极板的时间和；
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出个电子，且，阳极处接收电子产生的电流为I，在答题纸给出坐标系里画出表示U和I关系的图像并说出这样画的理由。
【答案】（1）（ⅰ）沿z轴反方向；（ⅱ），（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a电子，初速度方向在xy平面内，与y轴正方向成θ角；若磁场方向沿z轴正方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z轴反方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴正方向偏转，符合题意；
b电子，初速度方向在zy平面内，与y轴正方向成θ角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可知，磁场方向沿z轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴反方向。
（ⅱ）a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时间，
b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间，
（2）设，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以激发δ个电子，经过n次激发阳极处接收电子数量，
对应的电流，
可得I-U图像如图
【变式】（2023·湖南永州·湖南省道县第一中学校考模拟预测）利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B（未知）。在坐标点（0，）处有一质量为m、电荷量为q的正电粒子，以初速度沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求：
（1）粒子第一次进入磁场时的速度v；
（2）磁感应强度B的大小。
【答案】（1），与x轴负方向夹角呈；（2）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向有，，
末速度为，， 联立得，
设v与x轴负方向夹角，则有，
解得，
（2）平抛过程水平方向位移，
粒子进入磁场后轨迹如下图，由几何关系可得，
洛伦兹力提供向心力，
解得，
考法3 带电粒子在有界磁场中的运动
处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧
从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值．
2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)．
3．当速率变化时，圆心角大的，运动时间长．
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
角度1：直线边界磁场
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【典例3】（2023·浙江·统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若，求能到达处的离子的最小速度v2；
（3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）；（2）（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系，
解得，r1=2L
根据，，解得
在磁场中运动的周期
运动时间，
（2）若B2=2B1，根据，，可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系，
解得，r2=2L，
根据
解得，
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理，
即
求和可得，
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中，
解得，则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
角度2：平行边界磁场
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【典例4】（2023·全国·统考高考真题）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径，r = 2a
则粒子做圆周运动有，
则有，
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏，则有，Eq = qvB
联立有，
故选A。
角度3：三角形边界磁场
【典例5】（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
【答案】D
【详解】由题知粒子在AC做直线运动，则有，qv0B1= qE
区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，则粒子转过的圆心角为90°，根据，有
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则粒子在AC做直线运动的速度，有qvA∙2B1= qE
则
再根据，可知粒子半径减小，则粒子仍然从CF边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t = t0，A错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则粒子在AC做直线运动的速度，有qvBB1= q∙2E
则vB = 2v0
再根据，可知粒子半径变为原来的2倍，则粒子F点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t = t0，B错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则粒子在AC做直线运动的速度仍为v0，再根据，可知粒子半径变为原来的，则粒子从OF边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角θ = 60°，根据，有，则，C错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则粒子在AC做直线运动的速度仍为v0，再根据，可知粒子半径变为原来的，则粒子OF边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角为α = 45°，根据，有
则，D正确。
故选D。
角度4：矩形边界磁场
【典例6】（2023·四川内江·四川省资中县第二中学校考模拟预测）如图所示，边长为L的正方形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v从D点射入磁场，速度方向与边夹角为，垂直边射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中的运动时间为D．减小粒子的速度，粒子不可能从边射出
【答案】C
【详解】A．由图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误；
B．如图所示
根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径，
根据洛伦兹力提供向心力
联立解得粒子的比荷，故B错误；
C．由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间
，故C正确；
D．根据，可得
可知速度减小，粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，由作图法可知当速度减小到一定值时，粒子可以从边射出，故D错误。
故选C。
【变式1】（2022·河南商丘·统考模拟预测）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【详解】粒子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示
电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据
得，轨迹半径
可知粒子1和2的半径相等，根据几何关系可知，为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以粒子1运动的时间
粒子2 运动的时间
所以
故选A。
【变式2】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中运动的周期为
C．在下边界有粒子飞出的长度为L
D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【答案】AD
【详解】AB．速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示
圆心为，其圆弧所对圆心角为，由几何关系得，
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得粒子比荷
粒子在磁场中运动的周期，故A正确，B错误；
D．当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为。设这种情况下粒子速度大小为，半径为，由几何关系得，
解得，
由洛伦兹力提供向心力有
解得
可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为，故D正确；
C．下边界有粒子飞出的长度为，故C错误。
故选AD。
【变式3】（多选）（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】AC
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由
，得
解得，故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为R，由几何知识得
可得，故B错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为，故C正确；
D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为，
故D错误。
故选AC。
【变式4】（2023·安徽·模拟预测）如图，一个边长为l的正方形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射入，粒子恰好从的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图
由题可知，根据几何关系有
则
粒子运动的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故选B。
考法4 带电粒子在圆形有界磁场中的运动
沿半径方向入射
（1）若粒子沿半径方向入射，则出射方向方向的反向延长线必过圆心；
（2）对同种粒子，在同一匀强磁场中运动时，圆心角越大，则运动时间越长；
一般解题步骤
画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心；
求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径）
确定运动时间（注意多解问题）
角度1：沿半径方向入射
【典例7】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间
B．打在收集板上的粒子的最大速率
C．整个过程中位移最小的粒子速率
D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间
【答案】AD
【详解】A．如图甲所示，设出射点为，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，根据几何关系有
粒子射到M点时，最小，最大，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知
因为周期
所以
则，故A正确；
B．设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，根据几何关系有
粒子射到N点时，打在收集板上的粒子速度最大
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得，故B错误；
C．整个过程中粒子位移大小为P到直线MN上的点的距离，点到直线垂线最短，如图乙所示，设位移最短时打在Q点，PQ⊥MN，根据几何关系有，，，
位移最小的粒子的速率，又
故位移最小的粒子运动的时间，故C错误，D正确。
故选AD。
角度2：速度不沿半径方向入射
【典例8】（2023·山东·统考二模）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为，故A错误；
B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B错误；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确；
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为
，故D错误。
故选C。
角度3:带电粒子沿不同方向入射
【典例9】（多选）（2022·全国·模拟预测）如图，一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．磁感应强度的大小为
C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
【答案】BC
【详解】AB．根据牛顿第二定律，
根据题意，解得，A错误，B正确；
CD．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最长时间和最短时间如图所示
，
粒子运动的周期为，
最大时间差为，解得，，C正确，D错误。
故选BC。
若入射速度沿半径方向,则出射速度反向延长线必过圆心
若粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场的半径相等,则从同一点沿不同方向入射的粒子出射方向相同.
(3)同种粒子在圆形有界磁场中运动的时间与轨迹长短无关,由圆弧所对的圆心角决定；
【变式1】（2023·贵州毕节·统考三模）圆形区域内有垂直圆面的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带电粒子从圆周上的某点以不同速度沿直径方向射入磁场。第一次离开磁场时速度方向偏转，第二次离开磁场时速度方向偏转，不计重力。则第一次与第二次的入射速度大小之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设圆形区域磁场半径为，磁感应强度为，带电粒子射入磁场的速度为，带电粒子在磁场中的轨道半径为，第一次离开磁场时速度方向偏转角度为；由洛伦兹力提供向心力可得
可得
由几何关系可得
联立可得
则第一次与第二次的入射速度大小之比为
故选B。
【变式2】（2023·山东·模拟预测）如图所示，圆形匀强磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。一带电荷量为、质量为m的电子在纸面内从a处沿与半径aO成角的方向射入磁场区域，电子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的垂直，下列说法正确的是（ ）
A．电子在磁场中运动的时间为
B．电子的速度大小为
C．电子在磁场中的运动轨迹长度为
D．若只增大电子的入射速度，则电子在磁场中运动的时间一定减小
【答案】ACD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
电子在磁场中的运动时间为，A正确；
B．电子做圆周运动的轨迹圆圆心为C，如图所示（连接）
由对称性可知，，可得，
设电子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系有
可得
由，得，B错误；
C．轨迹长度，C正确；
D．若只增大电子的入射速度，轨迹半径r增大，出射点b向左移，弦ab与初速度v方向间的夹角减小，轨迹对应的圆心角减小，电子在磁场中运动的时间减小，D正确。
故选ACD。
【变式3】（2020·内蒙古通辽·统考模拟预测）如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1：v2至少为
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】粒子在磁场中做圆周运动，如图：
由几何知识得：，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：；当该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，若粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时，即粒子轨道半径，则不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，此时洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，则：，故B正确，ACD错误．
【基础过关】
1．（2023·安徽滁州·统考一模）粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，两根导线中通有相同的电流，电流方向竖直向上。水平面上一带正电滑块静止于两导线连线的中垂线上，俯视图如图所示，某时刻给滑块一初速度，滑块沿中垂线向连线中点运动，滑块始终未脱离水平面。则在运动过程中（ ）
A．滑块一定做曲线运动B．滑块可能做匀速直线运动
C．滑块的加速度一直增大D．滑块的速度一直减小
【答案】D
【详解】根据安培定则，知两导线连线上的垂直平分线上，上方的磁场方向水平向左，而下方的磁场方向水平向右，根据左手定则，可知，滑块受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向外或向里，滑块所受的支持力减小或增大，则滑块所受的摩擦力也随之变小或变大，根据牛顿第二定律可知滑块的加速度也会变大或者变小，滑块所受的滑动摩擦力与速度反向，滑块一定做减速直线运动。
故选D。
2．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）如图所示，竖直放置的光滑绝缘斜面处于方向垂直竖直平面（纸面）向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一带电荷量为的滑块自a点由静止沿斜面滑下，下降高度为h时到达b点，滑块恰好对斜面无压力。关于滑块自a点运动到b点的过程，下列说法正确的是（ ）（重力加速度为g）
A．滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用B．滑块在b点受到的洛伦兹力大小为
C．洛伦兹力做正功D．滑块的机械能增大
【答案】B
【详解】A．滑块自a点由静止沿斜面滑下，在a点不受洛伦兹力作用，故A错误；
BCD．滑块自a点运动到b点的过程中，洛伦兹力不做功，支持力不做功，滑块机械能守恒
，得
故滑块在b点受到的洛伦兹力为，故B正确，C错误，D错误。
故选B。
3．（2023·全国·模拟预测）原来静止在匀强磁场中的原子核A发生一次衰变后放出的射线粒子和新生成的反冲核都以垂直于磁感线的方向运动，形成如图所示的“8”字型轨迹，已知大小圆半径之比为，大小圆周期之比为，且绕大圆轨道运动的质点沿逆时针方向旋转。设衰变过程释放的核能全部转化成射线粒子和反冲核的动能，已知该衰变过程前后原子核的质量亏损为m，光速为c。下列判断正确的是（ ）
A．该匀强磁场的方向一定是垂直于纸面向外的B．发生的是衰变
C．原子核A的原子序数是D．反冲核的动能为
【答案】D
【详解】AB．无论是哪种衰变，反应后的两个粒子运动方向一定是相反的，由左手定则可知，射线粒子和新生成的反冲核的电性相同，则该衰变为衰变，由左手定则可知，该匀强磁场的方向一定是垂直于纸面向里的，故AB错误；
C．根据牛顿第二定律有，可得
可知，半径大的为粒子，由于衰变过程中动量守恒，则射线粒子和新生成的反冲核的动量等大，反向，又有大小圆半径之比为，则新生成的反冲核的电量为，由电荷数守恒可知，原子核A的原子序数是，故C错误；
D．根据周期公式
射线粒子和新生成的反冲核的质量之比为
已知该衰变过程前后原子核的质量亏损为，则释放的能量为
根据，可得
由此可得反冲核和新核的动能之比为
又有，解得，故D正确。
故选D。
4．（2023·广东江门·江门市新会第一中学校考一模）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电B．粒子先经过a点，再经过b点
C．粒子运动过程中洛仑兹力对其做负功D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
【答案】D
【详解】AB．由题意可知该粒子本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，可知速度大小在减小，根据洛伦兹力提供向心力
可得
所以粒子半径减小，粒子先经过b点，再经过a点；根据左手定则可知粒子带负电，故AB错误；
C．由于运动过程中洛伦兹力一直和速度方向垂直，洛伦兹力不做功，故C错误；
D．根据，可知粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小，故D正确。
故选D。
5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，粒子源可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为、带电荷量为的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，OQL，PQ2L，。要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】要使粒子能打中左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为，由几何关系可得
由洛伦兹力作为向心力可得
可得对应的最小速度为
要使粒子能打中右侧的所有位置，轨迹如图所示
由几何关系可得，，解得
由洛伦兹力作为向心力可得
联立解得对应的最小速度为
要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。
故选D。
6．（2023·云南·模拟预测）如图所示，在光滑绝缘地面上存在垂直于地面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。有一质量为m的不带电小球P以的速度向右运动，与另一电荷量为+q的静止小球Q发生正碰。两球碰撞后合为一体垂直撞向平行于方向的足够长的墙，已知小球与墙每次碰撞后的速率变为碰撞前的，速度方向反向，则最终两小球与小球Q的初始位置的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设小球Q的质量为M，两球碰撞合为一体后的速度为v，根据动量守恒有
根据洛伦兹力提供向心力有
解得两球碰撞合为一体后运动半径
由题意可知小球与墙每次碰撞后的运动半径变为碰撞前的，所以在水平方向的距离为
利用等比数列求和公式可得
最后利用勾股定理可得最终两小球与小球Q的初始位置的距离，选项B正确。
故选B。
7．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）如图所示，坐标平面内有边界过P （0， L）点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域。方向垂直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从P点以初速度v0平行于x铀正方向射入磁场区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x铀正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于坐标平面向外B．磁场的磁感应强度
C．圆形磁场区域的半径为2LD．带电粒子做圆周运动的半径为L
【答案】B
【详解】
A．粒子运动轨迹如图，根据左手定则，可知磁场垂直纸面向里，A错误；
BD．根据几何知识，可知粒子的轨道半径 为
又洛伦兹力提供向心力，可得
所以，D错误，B正确；
C．根据几何知识可知，，所以PQ为圆形磁场的直径，所以有
所以磁场区域的半径为
C错误。
8．（2023·重庆·统考二模）如图所示，一带电粒子以速度从点沿两极板中线射入平行板电容器，若电容器极板间只有图示磁感应强度为的匀强磁场时，该粒子从上极板右端点射出，若电容器极板间只有图示电场强度为的匀强电场时，该粒子从下极板右端点射出，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，该粒子将（不计粒子重力）（ ）
A．从间射出B．从间射出
C．从点射出D．无法直接射出
【答案】B
【详解】只有磁场时，粒子从点射出，粒子圆周运动轨迹如答图1所示
设电容器板长为，间距为，由几何关系有
得半径
由洛伦兹力提供向心力，得
只有电场时，粒子从点射出，粒子做类平抛运动，有，
其中
得电场力
由，可知，电场力大于洛伦兹力，由分析知，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，粒子将从间射出。
故选B。
9．（多选）（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m，电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R且平行于y轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子的初速度大小为
B．从O点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足
【答案】AD
【详解】A．由题意，初速度沿轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有
， ，解得， ，A正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为，并不会垂直打在光屛上，B错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
根据周期公式，可得，C错误；
D．粒子初速度方向与轴夹角为 时，若能打在光屛下端，如图
由几何关系可得圆心角
即初速度与轴夹角为
同理，粒子打在光屛上端时（图同B），初速度与轴夹角为，D正确。
故选AD。
10．（2023·广东·模拟预测）电偏转和磁偏转技术在科学上有着广泛的应用，如图所示，在坐标平面内，电子从x轴上的点垂直x轴射入第一象限。当第一象限只存在大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场时，电子从y轴正方向的P点射出（图中P点未标出），电子偏转的角度为；当第一象限只存在沿x轴正方向的匀强电场时，电子还是从P点射出。电子的比荷为，求：
（1）电子在磁场中运动的轨道半径和从x轴入射的速度；
（2）匀强电场的电场强度。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）电子在磁场中运动的轨迹如图
由几何关系可知，电子在磁场中运动的轨道半径为
根据牛顿第二定律，有，解得
（2）电子在匀强电场中的运动轨迹如图
由几何关系可知
电子在匀强电场中运动时，有，，，
联立方程，解得
【能力提升】
1．（2023·四川成都·校考二模）我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如下图（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx）。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距增大
【答案】D
【详解】A．带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径
会变小，A错误；
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，则半径变小，B错误；
C．漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，C错误；
D．当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动。若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则速度的垂直分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会减少，即直径D减小。而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距将增大。D正确。
故选D。
【分析】由于空气阻力的作用，粒子速度逐渐减小，其运动半径逐渐减小，因此圆周运动半径逐渐减小，由左手定则可以判断粒子在北极上空运动的方向。当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，即可分析D项。
题目以常见的自然现象为背景命题，考查了地磁场、左手定则、带电粒子在磁场中的运动等知识点。关键是将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解。
2．（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源O可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为m、带电荷量为q的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，，，。要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】要使粒子能打中PQ左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为OP，有
，
可得对应的最小速度为，
要使粒子能打中PQ右侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹如图所示：
则有，，，
对应的最小速度为，综上可得，要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。
故选D。
3．（2023·河北邯郸·统考二模）如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直平面放置，四根长直导线与平面的交点组成边长为的正方形且关于轴和轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3中电流大小为，导线2、4中电流大小为。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电长直导线的距离成反比，即、下列说法正确的是（ ）
A．长直导线1、4之间的相互作用力为吸引力
B．一垂直于纸面并从点射入的粒子，将做圆周运动
C．导线4受到的导线1、2、3的作用力的合力方向指向点
D．仅将导线2中的电流反向，则导线2和4连线上各点磁感应强度方向均相同
【答案】D
【详解】A．当通有同向电流时，通电导线之间表现为吸引力，当通有反向电流时，通电导线之间表现为斥力，A错误；
B．由右手螺旋定则并结合矢量叠加可知点的磁感应强度为零，因此过点垂直于纸面射入的粒子，将做匀速直线运动，B错误；
C．长直导线1在长直导线4处产生的磁感应强度大小为
方向水平向左，导线3在长直导线4处产生的磁感应强度大小也为，方向竖直向上，长直导线2在长直导线4处产生的磁感应强度大小为
方向垂直导线2、4的连线指向右下方，所以三根导线在4处的合场强为零，导线4不受安培力，C错误；
D．根据右手螺旋定则以及磁场叠加原理可知，导线1、3在导线2、4的连线上除点的磁感应强度为零外，其他位置合磁感应强度均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。仅将导线2中的电流反向，导线2、4在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。磁场叠加原理可知，四根导线在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。D正确。
故选D。
4．（2023·广东梅州·统考二模）如图所示，正方形内有一垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），一束电子以不同的速度沿ab方向垂直磁场射入，形成从c点离开磁场区域和从d点离开磁场区域的甲、乙两种轨迹。设沿甲、乙轨迹运动的电子速度大小分别为、，在磁场中运动的时间分别为、，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，根据半径公式
可知甲、乙带电粒子在磁场中运动的速度之比
根据周期公式
可知甲、乙带电粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故甲、乙带电粒子在磁场中运动的时间之比
，故选D。
5．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O为圆心。质量为m、电荷量为q的带负电的粒子沿平行于直径的方向射入该区域，入射点P与的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时速度方向间的夹角为，忽略粒子重力，则粒子的速率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如图
有几何关系可知，，，
则粒子的运动半径为
根据，得粒子的速率为
故选B。
6．（多选）（2023·湖北·模拟预测）我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如下图（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距）。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越小
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距增大
【答案】AD
【详解】A．带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径 会变小，故A正确；
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，由可知半径变小，故B错误；
C．漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，故C错误；
D．当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动。若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则垂直于磁场方向的速度分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会变小，即旋转半径减小；而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距将增大，故D正确。
故选AD。
7．（多选）（2023·西藏拉萨·统考一模）如图所示，纸面内存在一半径为R的圆形有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，AB、CD分别为圆的水平直径和竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带电粒子从A点以大小为v、方向与AB夹角为斜向下的速度沿纸面射入模场，运动中粒子恰好从D点射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电B．粒子带正电
C．匀强磁场的磁感应强度大小为D．粒子在磁场中的运动时间为
【答案】BD
【详解】AB.由左手定则知，粒子带正电，B正确，A错误；
C.由几何关系可知，AD为粒子做匀速圆周运动的直径，则粒子的轨迹半径
由，可得，磁感应强度大小，C错误；
D.粒子在磁场中运动的弧长，则运动时间，D正确。
故选BD。
8．（多选）（2023·江西赣州·校联考模拟预测）如图中，边长为L的正六边形内有一匀强磁场，方向如图，正中央有一粒子源O，它朝纸面各个方向发射质量为m、电荷量为、速度为v的粒子，恰好没有一个粒子飞出边界。不计所有粒子的重力，不计所有粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子能到达的区域面积为
B．磁感应强度
C．若磁感应强度调整为，将有粒子从A点离开磁场
D．若竖直向上射出的粒子，刚好没有离开磁场，则磁感应强度调整为
【答案】BD
【详解】A．由于恰没有一个粒子飞出，所以粒子在磁场中运动的半径
所有粒子能到达的区域是一个以O为圆心、半径为的圆，所以面积，故A错误：
B．又因，所以磁感应强度，故B正确：
C．若磁感应强度调整为，则粒子在磁场中运动的半径为，轨迹如图中①轨迹由于边界是一个正六边形，所以粒子会从六边形的边上飞出，从而打不到A点，故C错误；
D．粒子的轨迹如图中②轨迹所示，设粒子的运动半径为，则有，
由几何关系得，，解得，故D正确；
故选BD。
9．（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带电微粒从图中A点以水平速度垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成角，当该带电微粒离开磁场时，速度方向刚好改变了角．不计微粒重力，下列说法正确的是（ ）
A．该微粒带正电B．该微粒带负电
C．该微粒在磁场中运动的半径为D．该微粒在磁场中运动的时间为
【答案】ACD
【详解】A.B.根据带电微粒的偏转方向，由左手定则可知，该微粒带正电，A正确,B错误；
C.微粒的运动轨迹如图所示，根据几何关系，微粒做圆周运动的半径为，C正确；
D.微粒在磁场中运动的周期为，
则微粒在磁场中的运动时间为，D正确。
故选ACD。
10．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径，外圆半径，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小，被束缚的带正电粒子的比荷，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间。
（3）若要使束缚效果最好，应在半径为的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度要与B的方向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若=2B，为使粒子不能射出半径为的圆形区域，求粒子速度的最大值。
【答案】（1），；（2）；（3）相同，
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，，又
解得带电粒子在磁场中运动的周期
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外边界的最大速度，如图甲所示
根据几何关系有， ，解得，
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有，
解得
（2）带电粒子以速度 射入磁场中时，根据几何关系有
解得
故其运动轨迹如图乙所示；带电粒子在磁场中运动的圆心角为
在磁场中运动的时间，
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间，
带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间，，解得
（3）要使束缚效果最好，则B'与B的方向应相同，如图丙所示；粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2
因为，所以
根据几何关系，有，
则为等腰三角形，，所以 ，解得，则，
【真题感知】
1．（2023·北京·统考高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为
r=a，故A正确，不符合题意；
B．根据，可得粒子的质量，故B正确，不符合题意；
C．管道内的等效电流为，单位体积内电荷数为则，，故C错误，符合题意；，
D．由动量定理可得
粒子束对管道的平均作用力大小，
联立解得，，故D正确，不符合题意。
故选C。
2．（多选）（2023·全国·统考高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【答案】BD
【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图，为圆周运动的圆心
由几何关系可知为直角，即粒子此时的速度方向为，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性在其它点撞击同理，D正确；
A．假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；
B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示
即撞击两次，B正确；
C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C错误。
故选BD。
3．（2022·辽宁·高考真题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】AD
【详解】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；
C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；
D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有
解得
可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。
故选AD。
4．（2023·湖北·统考高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。t = 0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【答案】（1）；（2），；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径
r = a
根据，解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则，T甲 = 2T乙
根据，有，则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有mv甲0＋m乙v乙0= －mv甲1＋m乙v乙，
，解得，v乙0= －5v甲0，v乙1= 3v甲0，，则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为。
（3）已知在时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有v甲1= －3v甲0，v乙1= 3v甲0
则根据，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv甲1＋m乙v乙1= mv甲2＋m乙v乙2，
解得v甲2= v甲0，v乙2= －5v甲0
可知在时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为S2= 10πa
且在第三次碰撞时有mv甲2＋m乙v乙2= mv甲3＋m乙v乙3 ，
解得v甲3= －3v甲0，v乙3= 3v甲0
依次类推在时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为S8= 10πa
且在第九次碰撞时有mv甲8＋m乙v乙8= mv甲9＋m乙v乙9，
解得v甲9=－3v甲0，v乙9= 3v甲0
在到过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为，r甲1 = 3a
则时甲粒子运动到P点即（－6a，0）处。
在到过程中，乙粒子刚好运动一周，则时乙粒子回到坐标原点，且此过程中乙粒子走过的路程为，S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为，S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
5．（2022·天津·高考真题）如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）正电，；（2）；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如图
依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得题型
选择题、解答题
高考考点
对洛伦兹力的理解；带电粒子在匀强磁场中的圆周运动；带电粒子在有界边界磁场中的运动；带电粒子在圆形有界磁场中的运动
新高考
2023
全国乙卷24题、天津卷13题、北京卷13题、山东卷17题、上海卷13题、海南卷13题、浙江卷22题、湖北卷15题、辽宁卷14题、全国甲卷20题、浙江春招卷22题
2022
北京卷14题、北京卷7题、天津卷12题、辽宁卷8题、浙江卷22题、广东卷8题、全国甲卷18题、全国乙卷21题、湖北卷8题
2021
辽宁卷15题、湖北卷9题、海南卷13题、广东卷14题、全国乙卷16题、全国甲卷25题、海南卷13题、河北卷14题、北京卷12题、山东卷17题、
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
1. 3年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于本节内容考查共计30次，主要考查：
对洛伦兹力的理解；
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动；
带电粒子在有界边界磁场中的运动；
带电粒子在圆形有界磁场中的运动
【备考策略】理解电容器的充放电现象，并能根据充放电现象判断电容器的动态变化情况；掌握带电粒子在电场中的受力分析方法，判断带电粒子在电场中的偏转情况和运动情况；熟练掌握平抛运动的特点和规律，正确应用牛顿第二定律解决类平抛问题。
【命题预测】本节内容较多，难度偏大，在高考题中主要以亚洲提到额形式出现，主要考察洛伦兹力在有界和无界磁场中的的应用问题。要求2024年考生必须掌握左手定则，构建圆周运动模型，培养科学的物理观点和学科素养，激发对科技的求知探索精神。
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考法1 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
（1）判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
（1）v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
（2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
（3）v＝0时，洛伦兹力F＝0.
4．洛伦兹力的特点
（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功．
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．
5．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力．
（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
【典例1】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC错误；
D．洛仑兹力永不做功，D错误。
故选A。
磁场的理解
1．磁感应强度是矢量，其方向与导线所受力的方向垂直；
2．电流元必须垂直于磁场方向放置，公式B＝eq \f(F,IL)才成立；
3．磁场中某点的磁感应强度是由磁场本身决定的，与通电导线受力的大小及方向都无关．
【变式1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图所示，虚线框内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从边的中点垂直于边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的加速度最大
C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大
D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电量最大
【答案】C
【详解】AB．由左手定则可知a带正电，b、c带负电，由图可知，由粒子在磁场中的运动时洛伦兹力提供加速度有，解得，，
若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的运动速度最小，加速度最小，故AB错误；
C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c的比荷最大，粒子c在磁场中的加速度最大，故C正确；
D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子c的带电量最大，故D错误。
故选C。
【变式2】（2023·辽宁大连·大连八中校考模拟预测）如图甲所示，一带电物块无初速度地放上与水平面成θ角的传送带底端，传送带以恒定大小的速率沿顺时针方向传动，该装置处于垂直纸面向里的匀强磁场中，物块由传送带底端E运动至顶端F的过程中，其v-t图像如图乙所示，物块全程运动的时间为4.5s，关于带电物块及该运动过程的说法中正确的是（ ）
A．该物块带正电
B．传送带的传动速度大小一定为lm/s
C．物块与传送带间的动摩擦因数μ可能等于tanθ
D．在2s～4.5s内，物块与传送带可能有相对运动
【答案】AD
【详解】A．由图乙可知，物块做加速度逐渐减小的加速运动。对物块进行受力分析可知，开始时物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，设动摩擦因数为，沿斜面的方向，
物块运动后，又受到洛伦兹力的作用，加速度逐渐减小，物块的加速度逐渐减小，一定是FN逐渐减小，而开始时，，后来，
洛伦兹力垂直传送带向上，由左手定则判断物块带正电，故A正确；
C．物块加速运动时，
所以可知，μ>tanθ，故C错误；
BD．对物块受力分析如图
加速度为零时，有，
解得，
只要传送带的速度，物块就能匀速运动，物块相对于传送带可能静止也可能不静止，故B错误，D正确。
故选AD。
考法2 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
（1）基本公式：qvB＝meq \f(v2,R)
（2）半径R＝eq \f(mv,Bq)
（3）周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)
2．圆心的确定
（1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)．
（2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝eq \f(θ,2π)T(或t＝eq \f(θR,v))．
5. 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路
【典例2】（2023·天津·统考高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可以通过在相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，从而逐级放大电信号。已知电子质量m，带电量e。
（1）如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z轴。极板间电压U极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2个电子a和b，其初速度方向分别在xOy与zOy平面内，且与y轴正方向成角，则：
（i）判断B的方向；
（ii）a、b两个电子运动到下一个极板的时间和；
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出个电子，且，阳极处接收电子产生的电流为I，在答题纸给出坐标系里画出表示U和I关系的图像并说出这样画的理由。
【答案】（1）（ⅰ）沿z轴反方向；（ⅱ），（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a电子，初速度方向在xy平面内，与y轴正方向成θ角；若磁场方向沿z轴正方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z轴反方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴正方向偏转，符合题意；
b电子，初速度方向在zy平面内，与y轴正方向成θ角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可知，磁场方向沿z轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴反方向。
（ⅱ）a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时间，
b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间，
（2）设，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以激发δ个电子，经过n次激发阳极处接收电子数量，
对应的电流，
可得I-U图像如图
【变式】（2023·湖南永州·湖南省道县第一中学校考模拟预测）利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B（未知）。在坐标点（0，）处有一质量为m、电荷量为q的正电粒子，以初速度沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求：
（1）粒子第一次进入磁场时的速度v；
（2）磁感应强度B的大小。
【答案】（1），与x轴负方向夹角呈；（2）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向有，，
末速度为，， 联立得，
设v与x轴负方向夹角，则有，
解得，
（2）平抛过程水平方向位移，
粒子进入磁场后轨迹如下图，由几何关系可得，
洛伦兹力提供向心力，
解得，
考法3 带电粒子在有界磁场中的运动
处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧
从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值．
2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)．
3．当速率变化时，圆心角大的，运动时间长．
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
角度1：直线边界磁场
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【典例3】（2023·浙江·统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若，求能到达处的离子的最小速度v2；
（3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）；（2）（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系，
解得，r1=2L
根据，，解得
在磁场中运动的周期
运动时间，
（2）若B2=2B1，根据，，可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系，
解得，r2=2L，
根据
解得，
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理，
即
求和可得，
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中，
解得，则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
角度2：平行边界磁场
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【典例4】（2023·全国·统考高考真题）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径，r = 2a
则粒子做圆周运动有，
则有，
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏，则有，Eq = qvB
联立有，
故选A。
角度3：三角形边界磁场
【典例5】（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
【答案】D
【详解】由题知粒子在AC做直线运动，则有，qv0B1= qE
区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，则粒子转过的圆心角为90°，根据，有
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则粒子在AC做直线运动的速度，有qvA∙2B1= qE
则
再根据，可知粒子半径减小，则粒子仍然从CF边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t = t0，A错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则粒子在AC做直线运动的速度，有qvBB1= q∙2E
则vB = 2v0
再根据，可知粒子半径变为原来的2倍，则粒子F点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t = t0，B错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则粒子在AC做直线运动的速度仍为v0，再根据，可知粒子半径变为原来的，则粒子从OF边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角θ = 60°，根据，有，则，C错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则粒子在AC做直线运动的速度仍为v0，再根据，可知粒子半径变为原来的，则粒子OF边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角为α = 45°，根据，有
则，D正确。
故选D。
角度4：矩形边界磁场
【典例6】（2023·四川内江·四川省资中县第二中学校考模拟预测）如图所示，边长为L的正方形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v从D点射入磁场，速度方向与边夹角为，垂直边射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中的运动时间为D．减小粒子的速度，粒子不可能从边射出
【答案】C
【详解】A．由图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误；
B．如图所示
根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径，
根据洛伦兹力提供向心力
联立解得粒子的比荷，故B错误；
C．由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间
，故C正确；
D．根据，可得
可知速度减小，粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，由作图法可知当速度减小到一定值时，粒子可以从边射出，故D错误。
故选C。
【变式1】（2022·河南商丘·统考模拟预测）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【详解】粒子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示
电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据
得，轨迹半径
可知粒子1和2的半径相等，根据几何关系可知，为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以粒子1运动的时间
粒子2 运动的时间
所以
故选A。
【变式2】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中运动的周期为
C．在下边界有粒子飞出的长度为L
D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【答案】AD
【详解】AB．速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示
圆心为，其圆弧所对圆心角为，由几何关系得，
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得粒子比荷
粒子在磁场中运动的周期，故A正确，B错误；
D．当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为。设这种情况下粒子速度大小为，半径为，由几何关系得，
解得，
由洛伦兹力提供向心力有
解得
可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为，故D正确；
C．下边界有粒子飞出的长度为，故C错误。
故选AD。
【变式3】（多选）（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】AC
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由
，得
解得，故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为R，由几何知识得
可得，故B错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为，故C正确；
D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为，
故D错误。
故选AC。
【变式4】（2023·安徽·模拟预测）如图，一个边长为l的正方形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射入，粒子恰好从的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图
由题可知，根据几何关系有
则
粒子运动的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故选B。
考法4 带电粒子在圆形有界磁场中的运动
沿半径方向入射
（1）若粒子沿半径方向入射，则出射方向方向的反向延长线必过圆心；
（2）对同种粒子，在同一匀强磁场中运动时，圆心角越大，则运动时间越长；
一般解题步骤
画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心；
求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径）
确定运动时间（注意多解问题）
角度1：沿半径方向入射
【典例7】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间
B．打在收集板上的粒子的最大速率
C．整个过程中位移最小的粒子速率
D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间
【答案】AD
【详解】A．如图甲所示，设出射点为，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，根据几何关系有
粒子射到M点时，最小，最大，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知
因为周期
所以
则，故A正确；
B．设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，根据几何关系有
粒子射到N点时，打在收集板上的粒子速度最大
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得，故B错误；
C．整个过程中粒子位移大小为P到直线MN上的点的距离，点到直线垂线最短，如图乙所示，设位移最短时打在Q点，PQ⊥MN，根据几何关系有，，，
位移最小的粒子的速率，又
故位移最小的粒子运动的时间，故C错误，D正确。
故选AD。
角度2：速度不沿半径方向入射
【典例8】（2023·山东·统考二模）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为，故A错误；
B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B错误；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确；
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为
，故D错误。
故选C。
角度3:带电粒子沿不同方向入射
【典例9】（多选）（2022·全国·模拟预测）如图，一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．磁感应强度的大小为
C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
【答案】BC
【详解】AB．根据牛顿第二定律，
根据题意，解得，A错误，B正确；
CD．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最长时间和最短时间如图所示
，
粒子运动的周期为，
最大时间差为，解得，，C正确，D错误。
故选BC。
若入射速度沿半径方向,则出射速度反向延长线必过圆心
若粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场的半径相等,则从同一点沿不同方向入射的粒子出射方向相同.
(3)同种粒子在圆形有界磁场中运动的时间与轨迹长短无关,由圆弧所对的圆心角决定；
【变式1】（2023·贵州毕节·统考三模）圆形区域内有垂直圆面的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带电粒子从圆周上的某点以不同速度沿直径方向射入磁场。第一次离开磁场时速度方向偏转，第二次离开磁场时速度方向偏转，不计重力。则第一次与第二次的入射速度大小之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设圆形区域磁场半径为，磁感应强度为，带电粒子射入磁场的速度为，带电粒子在磁场中的轨道半径为，第一次离开磁场时速度方向偏转角度为；由洛伦兹力提供向心力可得
可得
由几何关系可得
联立可得
则第一次与第二次的入射速度大小之比为
故选B。
【变式2】（2023·山东·模拟预测）如图所示，圆形匀强磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。一带电荷量为、质量为m的电子在纸面内从a处沿与半径aO成角的方向射入磁场区域，电子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的垂直，下列说法正确的是（ ）
A．电子在磁场中运动的时间为
B．电子的速度大小为
C．电子在磁场中的运动轨迹长度为
D．若只增大电子的入射速度，则电子在磁场中运动的时间一定减小
【答案】ACD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
电子在磁场中的运动时间为，A正确；
B．电子做圆周运动的轨迹圆圆心为C，如图所示（连接）
由对称性可知，，可得，
设电子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系有
可得
由，得，B错误；
C．轨迹长度，C正确；
D．若只增大电子的入射速度，轨迹半径r增大，出射点b向左移，弦ab与初速度v方向间的夹角减小，轨迹对应的圆心角减小，电子在磁场中运动的时间减小，D正确。
故选ACD。
【变式3】（2020·内蒙古通辽·统考模拟预测）如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1：v2至少为
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】粒子在磁场中做圆周运动，如图：
由几何知识得：，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：；当该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，若粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时，即粒子轨道半径，则不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，此时洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，则：，故B正确，ACD错误．
【基础过关】
1．（2023·安徽滁州·统考一模）粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，两根导线中通有相同的电流，电流方向竖直向上。水平面上一带正电滑块静止于两导线连线的中垂线上，俯视图如图所示，某时刻给滑块一初速度，滑块沿中垂线向连线中点运动，滑块始终未脱离水平面。则在运动过程中（ ）
A．滑块一定做曲线运动B．滑块可能做匀速直线运动
C．滑块的加速度一直增大D．滑块的速度一直减小
【答案】D
【详解】根据安培定则，知两导线连线上的垂直平分线上，上方的磁场方向水平向左，而下方的磁场方向水平向右，根据左手定则，可知，滑块受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向外或向里，滑块所受的支持力减小或增大，则滑块所受的摩擦力也随之变小或变大，根据牛顿第二定律可知滑块的加速度也会变大或者变小，滑块所受的滑动摩擦力与速度反向，滑块一定做减速直线运动。
故选D。
2．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）如图所示，竖直放置的光滑绝缘斜面处于方向垂直竖直平面（纸面）向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一带电荷量为的滑块自a点由静止沿斜面滑下，下降高度为h时到达b点，滑块恰好对斜面无压力。关于滑块自a点运动到b点的过程，下列说法正确的是（ ）（重力加速度为g）
A．滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用B．滑块在b点受到的洛伦兹力大小为
C．洛伦兹力做正功D．滑块的机械能增大
【答案】B
【详解】A．滑块自a点由静止沿斜面滑下，在a点不受洛伦兹力作用，故A错误；
BCD．滑块自a点运动到b点的过程中，洛伦兹力不做功，支持力不做功，滑块机械能守恒
，得
故滑块在b点受到的洛伦兹力为，故B正确，C错误，D错误。
故选B。
3．（2023·全国·模拟预测）原来静止在匀强磁场中的原子核A发生一次衰变后放出的射线粒子和新生成的反冲核都以垂直于磁感线的方向运动，形成如图所示的“8”字型轨迹，已知大小圆半径之比为，大小圆周期之比为，且绕大圆轨道运动的质点沿逆时针方向旋转。设衰变过程释放的核能全部转化成射线粒子和反冲核的动能，已知该衰变过程前后原子核的质量亏损为m，光速为c。下列判断正确的是（ ）
A．该匀强磁场的方向一定是垂直于纸面向外的B．发生的是衰变
C．原子核A的原子序数是D．反冲核的动能为
【答案】D
【详解】AB．无论是哪种衰变，反应后的两个粒子运动方向一定是相反的，由左手定则可知，射线粒子和新生成的反冲核的电性相同，则该衰变为衰变，由左手定则可知，该匀强磁场的方向一定是垂直于纸面向里的，故AB错误；
C．根据牛顿第二定律有，可得
可知，半径大的为粒子，由于衰变过程中动量守恒，则射线粒子和新生成的反冲核的动量等大，反向，又有大小圆半径之比为，则新生成的反冲核的电量为，由电荷数守恒可知，原子核A的原子序数是，故C错误；
D．根据周期公式
射线粒子和新生成的反冲核的质量之比为
已知该衰变过程前后原子核的质量亏损为，则释放的能量为
根据，可得
由此可得反冲核和新核的动能之比为
又有，解得，故D正确。
故选D。
4．（2023·广东江门·江门市新会第一中学校考一模）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电B．粒子先经过a点，再经过b点
C．粒子运动过程中洛仑兹力对其做负功D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
【答案】D
【详解】AB．由题意可知该粒子本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，可知速度大小在减小，根据洛伦兹力提供向心力
可得
所以粒子半径减小，粒子先经过b点，再经过a点；根据左手定则可知粒子带负电，故AB错误；
C．由于运动过程中洛伦兹力一直和速度方向垂直，洛伦兹力不做功，故C错误；
D．根据，可知粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小，故D正确。
故选D。
5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，粒子源可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为、带电荷量为的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，OQL，PQ2L，。要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】要使粒子能打中左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为，由几何关系可得
由洛伦兹力作为向心力可得
可得对应的最小速度为
要使粒子能打中右侧的所有位置，轨迹如图所示
由几何关系可得，，解得
由洛伦兹力作为向心力可得
联立解得对应的最小速度为
要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。
故选D。
6．（2023·云南·模拟预测）如图所示，在光滑绝缘地面上存在垂直于地面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。有一质量为m的不带电小球P以的速度向右运动，与另一电荷量为+q的静止小球Q发生正碰。两球碰撞后合为一体垂直撞向平行于方向的足够长的墙，已知小球与墙每次碰撞后的速率变为碰撞前的，速度方向反向，则最终两小球与小球Q的初始位置的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设小球Q的质量为M，两球碰撞合为一体后的速度为v，根据动量守恒有
根据洛伦兹力提供向心力有
解得两球碰撞合为一体后运动半径
由题意可知小球与墙每次碰撞后的运动半径变为碰撞前的，所以在水平方向的距离为
利用等比数列求和公式可得
最后利用勾股定理可得最终两小球与小球Q的初始位置的距离，选项B正确。
故选B。
7．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）如图所示，坐标平面内有边界过P （0， L）点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域。方向垂直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从P点以初速度v0平行于x铀正方向射入磁场区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x铀正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于坐标平面向外B．磁场的磁感应强度
C．圆形磁场区域的半径为2LD．带电粒子做圆周运动的半径为L
【答案】B
【详解】
A．粒子运动轨迹如图，根据左手定则，可知磁场垂直纸面向里，A错误；
BD．根据几何知识，可知粒子的轨道半径 为
又洛伦兹力提供向心力，可得
所以，D错误，B正确；
C．根据几何知识可知，，所以PQ为圆形磁场的直径，所以有
所以磁场区域的半径为
C错误。
8．（2023·重庆·统考二模）如图所示，一带电粒子以速度从点沿两极板中线射入平行板电容器，若电容器极板间只有图示磁感应强度为的匀强磁场时，该粒子从上极板右端点射出，若电容器极板间只有图示电场强度为的匀强电场时，该粒子从下极板右端点射出，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，该粒子将（不计粒子重力）（ ）
A．从间射出B．从间射出
C．从点射出D．无法直接射出
【答案】B
【详解】只有磁场时，粒子从点射出，粒子圆周运动轨迹如答图1所示
设电容器板长为，间距为，由几何关系有
得半径
由洛伦兹力提供向心力，得
只有电场时，粒子从点射出，粒子做类平抛运动，有，
其中
得电场力
由，可知，电场力大于洛伦兹力，由分析知，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场时，粒子将从间射出。
故选B。
9．（多选）（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m，电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R且平行于y轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子的初速度大小为
B．从O点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足
【答案】AD
【详解】A．由题意，初速度沿轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有
， ，解得， ，A正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为，并不会垂直打在光屛上，B错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
根据周期公式，可得，C错误；
D．粒子初速度方向与轴夹角为 时，若能打在光屛下端，如图
由几何关系可得圆心角
即初速度与轴夹角为
同理，粒子打在光屛上端时（图同B），初速度与轴夹角为，D正确。
故选AD。
10．（2023·广东·模拟预测）电偏转和磁偏转技术在科学上有着广泛的应用，如图所示，在坐标平面内，电子从x轴上的点垂直x轴射入第一象限。当第一象限只存在大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场时，电子从y轴正方向的P点射出（图中P点未标出），电子偏转的角度为；当第一象限只存在沿x轴正方向的匀强电场时，电子还是从P点射出。电子的比荷为，求：
（1）电子在磁场中运动的轨道半径和从x轴入射的速度；
（2）匀强电场的电场强度。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）电子在磁场中运动的轨迹如图
由几何关系可知，电子在磁场中运动的轨道半径为
根据牛顿第二定律，有，解得
（2）电子在匀强电场中的运动轨迹如图
由几何关系可知
电子在匀强电场中运动时，有，，，
联立方程，解得
【能力提升】
1．（2023·四川成都·校考二模）我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如下图（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx）。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距增大
【答案】D
【详解】A．带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径
会变小，A错误；
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，则半径变小，B错误；
C．漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，C错误；
D．当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动。若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则速度的垂直分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会减少，即直径D减小。而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距将增大。D正确。
故选D。
【分析】由于空气阻力的作用，粒子速度逐渐减小，其运动半径逐渐减小，因此圆周运动半径逐渐减小，由左手定则可以判断粒子在北极上空运动的方向。当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，即可分析D项。
题目以常见的自然现象为背景命题，考查了地磁场、左手定则、带电粒子在磁场中的运动等知识点。关键是将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解。
2．（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源O可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为m、带电荷量为q的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，，，。要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】要使粒子能打中PQ左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为OP，有
，
可得对应的最小速度为，
要使粒子能打中PQ右侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹如图所示：
则有，，，
对应的最小速度为，综上可得，要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。
故选D。
3．（2023·河北邯郸·统考二模）如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直平面放置，四根长直导线与平面的交点组成边长为的正方形且关于轴和轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3中电流大小为，导线2、4中电流大小为。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电长直导线的距离成反比，即、下列说法正确的是（ ）
A．长直导线1、4之间的相互作用力为吸引力
B．一垂直于纸面并从点射入的粒子，将做圆周运动
C．导线4受到的导线1、2、3的作用力的合力方向指向点
D．仅将导线2中的电流反向，则导线2和4连线上各点磁感应强度方向均相同
【答案】D
【详解】A．当通有同向电流时，通电导线之间表现为吸引力，当通有反向电流时，通电导线之间表现为斥力，A错误；
B．由右手螺旋定则并结合矢量叠加可知点的磁感应强度为零，因此过点垂直于纸面射入的粒子，将做匀速直线运动，B错误；
C．长直导线1在长直导线4处产生的磁感应强度大小为
方向水平向左，导线3在长直导线4处产生的磁感应强度大小也为，方向竖直向上，长直导线2在长直导线4处产生的磁感应强度大小为
方向垂直导线2、4的连线指向右下方，所以三根导线在4处的合场强为零，导线4不受安培力，C错误；
D．根据右手螺旋定则以及磁场叠加原理可知，导线1、3在导线2、4的连线上除点的磁感应强度为零外，其他位置合磁感应强度均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。仅将导线2中的电流反向，导线2、4在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。磁场叠加原理可知，四根导线在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向斜向左上方。D正确。
故选D。
4．（2023·广东梅州·统考二模）如图所示，正方形内有一垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），一束电子以不同的速度沿ab方向垂直磁场射入，形成从c点离开磁场区域和从d点离开磁场区域的甲、乙两种轨迹。设沿甲、乙轨迹运动的电子速度大小分别为、，在磁场中运动的时间分别为、，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，根据半径公式
可知甲、乙带电粒子在磁场中运动的速度之比
根据周期公式
可知甲、乙带电粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故甲、乙带电粒子在磁场中运动的时间之比
，故选D。
5．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O为圆心。质量为m、电荷量为q的带负电的粒子沿平行于直径的方向射入该区域，入射点P与的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时速度方向间的夹角为，忽略粒子重力，则粒子的速率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如图
有几何关系可知，，，
则粒子的运动半径为
根据，得粒子的速率为
故选B。
6．（多选）（2023·湖北·模拟预测）我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如下图（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距）。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越小
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距增大
【答案】AD
【详解】A．带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径 会变小，故A正确；
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，由可知半径变小，故B错误；
C．漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，故C错误；
D．当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动。若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则垂直于磁场方向的速度分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会变小，即旋转半径减小；而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距将增大，故D正确。
故选AD。
7．（多选）（2023·西藏拉萨·统考一模）如图所示，纸面内存在一半径为R的圆形有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，AB、CD分别为圆的水平直径和竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带电粒子从A点以大小为v、方向与AB夹角为斜向下的速度沿纸面射入模场，运动中粒子恰好从D点射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电B．粒子带正电
C．匀强磁场的磁感应强度大小为D．粒子在磁场中的运动时间为
【答案】BD
【详解】AB.由左手定则知，粒子带正电，B正确，A错误；
C.由几何关系可知，AD为粒子做匀速圆周运动的直径，则粒子的轨迹半径
由，可得，磁感应强度大小，C错误；
D.粒子在磁场中运动的弧长，则运动时间，D正确。
故选BD。
8．（多选）（2023·江西赣州·校联考模拟预测）如图中，边长为L的正六边形内有一匀强磁场，方向如图，正中央有一粒子源O，它朝纸面各个方向发射质量为m、电荷量为、速度为v的粒子，恰好没有一个粒子飞出边界。不计所有粒子的重力，不计所有粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子能到达的区域面积为
B．磁感应强度
C．若磁感应强度调整为，将有粒子从A点离开磁场
D．若竖直向上射出的粒子，刚好没有离开磁场，则磁感应强度调整为
【答案】BD
【详解】A．由于恰没有一个粒子飞出，所以粒子在磁场中运动的半径
所有粒子能到达的区域是一个以O为圆心、半径为的圆，所以面积，故A错误：
B．又因，所以磁感应强度，故B正确：
C．若磁感应强度调整为，则粒子在磁场中运动的半径为，轨迹如图中①轨迹由于边界是一个正六边形，所以粒子会从六边形的边上飞出，从而打不到A点，故C错误；
D．粒子的轨迹如图中②轨迹所示，设粒子的运动半径为，则有，
由几何关系得，，解得，故D正确；
故选BD。
9．（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带电微粒从图中A点以水平速度垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成角，当该带电微粒离开磁场时，速度方向刚好改变了角．不计微粒重力，下列说法正确的是（ ）
A．该微粒带正电B．该微粒带负电
C．该微粒在磁场中运动的半径为D．该微粒在磁场中运动的时间为
【答案】ACD
【详解】A.B.根据带电微粒的偏转方向，由左手定则可知，该微粒带正电，A正确,B错误；
C.微粒的运动轨迹如图所示，根据几何关系，微粒做圆周运动的半径为，C正确；
D.微粒在磁场中运动的周期为，
则微粒在磁场中的运动时间为，D正确。
故选ACD。
10．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径，外圆半径，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小，被束缚的带正电粒子的比荷，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间。
（3）若要使束缚效果最好，应在半径为的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度要与B的方向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若=2B，为使粒子不能射出半径为的圆形区域，求粒子速度的最大值。
【答案】（1），；（2）；（3）相同，
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，，又
解得带电粒子在磁场中运动的周期
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外边界的最大速度，如图甲所示
根据几何关系有， ，解得，
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有，
解得
（2）带电粒子以速度 射入磁场中时，根据几何关系有
解得
故其运动轨迹如图乙所示；带电粒子在磁场中运动的圆心角为
在磁场中运动的时间，
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间，
带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间，，解得
（3）要使束缚效果最好，则B'与B的方向应相同，如图丙所示；粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2
因为，所以
根据几何关系，有，
则为等腰三角形，，所以 ，解得，则，
【真题感知】
1．（2023·北京·统考高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为
r=a，故A正确，不符合题意；
B．根据，可得粒子的质量，故B正确，不符合题意；
C．管道内的等效电流为，单位体积内电荷数为则，，故C错误，符合题意；，
D．由动量定理可得
粒子束对管道的平均作用力大小，
联立解得，，故D正确，不符合题意。
故选C。
2．（多选）（2023·全国·统考高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【答案】BD
【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图，为圆周运动的圆心
由几何关系可知为直角，即粒子此时的速度方向为，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性在其它点撞击同理，D正确；
A．假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；
B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示
即撞击两次，B正确；
C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C错误。
故选BD。
3．（2022·辽宁·高考真题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】AD
【详解】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；
C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；
D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有
解得
可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。
故选AD。
4．（2023·湖北·统考高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。t = 0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【答案】（1）；（2），；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径
r = a
根据，解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则，T甲 = 2T乙
根据，有，则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有mv甲0＋m乙v乙0= －mv甲1＋m乙v乙，
，解得，v乙0= －5v甲0，v乙1= 3v甲0，，则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为。
（3）已知在时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有v甲1= －3v甲0，v乙1= 3v甲0
则根据，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv甲1＋m乙v乙1= mv甲2＋m乙v乙2，
解得v甲2= v甲0，v乙2= －5v甲0
可知在时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为S2= 10πa
且在第三次碰撞时有mv甲2＋m乙v乙2= mv甲3＋m乙v乙3 ，
解得v甲3= －3v甲0，v乙3= 3v甲0
依次类推在时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为S8= 10πa
且在第九次碰撞时有mv甲8＋m乙v乙8= mv甲9＋m乙v乙9，
解得v甲9=－3v甲0，v乙9= 3v甲0
在到过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为，r甲1 = 3a
则时甲粒子运动到P点即（－6a，0）处。
在到过程中，乙粒子刚好运动一周，则时乙粒子回到坐标原点，且此过程中乙粒子走过的路程为，S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为，S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
5．（2022·天津·高考真题）如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）正电，；（2）；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如图
依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得题型
选择题、解答题
高考考点
对洛伦兹力的理解；带电粒子在匀强磁场中的圆周运动；带电粒子在有界边界磁场中的运动；带电粒子在圆形有界磁场中的运动
新高考
2023
全国乙卷24题、天津卷13题、北京卷13题、山东卷17题、上海卷13题、海南卷13题、浙江卷22题、湖北卷15题、辽宁卷14题、全国甲卷20题、浙江春招卷22题
2022
北京卷14题、北京卷7题、天津卷12题、辽宁卷8题、浙江卷22题、广东卷8题、全国甲卷18题、全国乙卷21题、湖北卷8题
2021
辽宁卷15题、湖北卷9题、海南卷13题、广东卷14题、全国乙卷16题、全国甲卷25题、海南卷13题、河北卷14题、北京卷12题、山东卷17题、
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
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