高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.4 圆优秀教案设计

这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.4 圆优秀教案设计，共5页。教案主要包含了元二次方程，由方程等内容，欢迎下载使用。

授课
题目
6.4 圆
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块下册）
授课
时长
3 课时
授课类型
新授课
教学
提示
本课学习圆的标准方程和一般方程， 讨论圆的条件， 借助几何直观帮助学生 认识圆的要素，分析圆的标准方程的结构特征以及圆心坐标和圆的半径与圆的 标准方程之间的对应关系， 根据圆心和半径写出圆的标准方程， 以及根据圆的方 程求圆心坐标和圆的半径，用待定系数法求圆的标准方程和一般方程.
教学
目标
通过学习圆的定义和圆的标准方程，能根据已知条件选择适当的形式写出 圆的方程， 可以根据已知圆的方程求出圆心坐标和圆的半径,逐步提升直观想 象、逻辑推理和数学抽象等核心素养.
教学
重点
圆的标准方程和一般方程的定义.
教学
难点
圆的标准方程和一般方程的应用.
教学
环节
教学内容
教师 活动
学生 活动
设计 意图
情境
导入
圆的标准方程
天圆地方是我国古人朴素的世界观, 圆很早就被运用 于中国传统建筑的设计之中,可以说,没有圆就没有中式设 计,如北京天坛的圜丘坛就是典型的圆形建筑， 还有中式园 林中的“洞门”.
如何用方程的形式表示圆呢？
提出 问题
引发 思考
思考
分析
回答
展示 数学 美， 结合 生活 实例 创设 情境
探索
新知
圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点 称为圆心，定长称为半径.
在平面直角坐标系中, 已知圆 C 的圆心为点 C(a,b),半 径为 r.设圆上任意一点 M(x,y),则有|MC|=r.
讲解
理解
归纳 概念 突出 强调 规范 表述 和注 意事 项
说明
思考
展示
领会
结合 原有 知
由两点间距离公式,得
(x − a)2 + (y − b)2 = r ,
将这个等式两边平方,得
(x-a)2+(y-b)2=r2 .
方程称为以 C(a,b)为圆心, r 为半径的圆的标准方程.
若圆心在坐标原点 O(0,0),半径为 r,则圆的标准方程为 x2+y2=r2 .
识， 感知 数形 结合 方法
例题
辨析
例 1 求以点 C(1,2)为圆心,半径 r=2 的圆的标准方程.
解 因为圆心 C(1,2),半径 r=2,所以圆的标准方程为 (x-1)2+(y-2)2=4.
例 2 已知圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9,求出圆心坐标及 半径.
解 因为圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9,所以圆心坐标为 (-2,1),半径为 r=3.
探究与发现
提问 引导
讲解 强调
思考
分析
解决
交流
讲练 结 合， 体现 坐标 法思 想 拓展 学习
提出 问题
思考
交流
设圆的方程为 x2+ y2=r2,如何判断点 P0(x0,y0)是在圆 内、圆上还是圆外？
巩固
练习
练习 6.4.1
1.写出下列圆的标准方程.
(1) 圆心 C(0,0),半径 r=1;
(2) 圆心 C(0,1),半径 r=3;
(3) 圆心 C(3,0),半径 r=2;
(4) 圆心 C(2,-1),且圆过点(5,5). 2.求下列圆的圆心坐标及半径.
(1) x2+y2=16;
(2) (x-1)2+ y2=4；
(3) x2+(y+3)2=9；
(4) (x-2)2+(y-1)2=2；
(5) (x+1)2+(y-3)2=25.
3.已知两点 P(-1,3), Q(2,-1),求以线段 PQ 为半径,点 P 为圆心的圆的标准方程.
提问
思考
及时 掌握 学生 掌握 情况 查漏 补缺
巡视
动手
求解
指导
交流
情境
导入
圆的一般方程
将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开整理,得 x2+ y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
令 D=-2a,E=-2b,F= a2+b2-r2, 则圆的标准方程化为一个二 元二次方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0.
反之,一个二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示一个 圆呢？
提示 和指 导
思考
和交
流
新旧 知识 衔接 注重 知识 联系
探索
新知
将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方整理,得
x+ 2 + y + 2 = ,
(1)当 D2+E2-4F>0 时, 二元二次方程表示以
为半径的圆；
− , − 为圆心, 以
讲解 说明 展示
讲解
理解
思考
领会
理解
利用 配方 法有 利于 学生 运算 方法
(2)当 D2+E2-4F=0 时,方程为
x+ 2 + y + 2 = 0 .
二元二次方程只有一组实数解 x = − D , y = − E ,它表示一
2 2
个点 − , − ；
(3)当 D2+E2-4F<0 时,二元二次方程没有实数解,不表示 任何图形.
综上, 当 D2+E2-4F>0 时,二元二次方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示圆，这个方程称为圆的一般方程.
的掌 握和 运算 能力 的提 高， 逐步 提升 数学 运算 核心 素养
例题
辨析
例 3 判断方程 x2+y2+2x+4y+4=0 是否为圆的方程?如果是, 求出圆心坐标和圆的半径.
解法一 由方程 x2+y2+2x+4y+4=0,知 D=2,E=4,F=4,因为 D2+E2-4F=22+42-4×4=4>0,
所以方程 x2+y2+2x+4y+4=0 为圆 的方程 , 圆 心 坐标为
− , − =(-1 ,-2), 圆的半径为 r= =1.
解法二 将方程 x2+y2+2x+4y+4=0 配方,得
(x+1)2+(y+2)2=1,
所以x2+y2+2x+4y+4=0 为圆的方程, 圆心坐标为(-1,-2), 圆的 半径为 1.
例 4 求过三点 A(0,0) 、B(1,1) 、C(4,2)的圆的方程，并求圆 心坐标和圆的半径.
解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为 A(0,0) 、 B(1,1) 、C(4,2)三点都在圆上,所以它们的坐标满足圆的方
提问 引导 讲解 强调
思考
分析
解决
交流
通过 应用 公式 和配 方法 一题 多解 开阔 思路
程， 即
F = 0,
D + E + F + 2 = 0,
4D+ 2E + F + 20 = 0,
提问
思考
结合 待定 系数 法提 升数 学运 算核 心素 养
解三元一次方程组，得
D=-8,E=6,F=0.
因此,所求圆的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0.
将方程 x2+y2-8x+6y =0 配方，得
(x-4)2+(y+3)2=52，
即圆心坐标为(4,-3), 圆的半径为 5.
引导
分析
讲解
解决
探究与发现
强调
交流
中国天眼是口径 500m 的球面射电望远镜,是世界上已 经建造完成的口径最大、最灵敏的单天线射电望远镜,如果 把它的横截面看成圆形,选取适当的平面直角坐标系,可以 用圆的标准方程表示为 x2+y2=2502 . 圆是生活和生产实践中 常见的图形,试找出更多的例子并尝试建立圆的方程.
引发 思考
讨论
交流
结合 数学 教学 进行 爱国 教育
巩固
练习
练习 6.4.2
1.求下列圆的圆心坐标和半径：
(1) x2+y2-4x=0;
(2) x2+y2+4y-5=0;
(3) x2+y2-6x+2y-6=0;
(4) x2+2x+y2-6y=0.
2.求以点(4,-2)为圆心, 2 为半径的圆的一般方程.
3.方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆 心坐标和圆的半径.
提问
思考
及时 掌握 学生 掌握 情况 查漏 补缺
巡视
动手
求解
交流
指导
归纳
总结
引导 提问
回忆
反思
培养 学生 总结 学习 过程 能力
布置
作业
1.书面作业： 完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺： 根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业： 阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续 探究 延伸 学习