广东省惠州市仲恺高新区华实高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市仲恺高新区华实高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

考试范围：必修二概率，选择性必修一；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】目标式平方，利用转化法求解可得
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故选：C
2. 圆 的圆心和半径分别为（ ）
A. ，2B. ，C. ，2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可.
【详解】由可得，，
所以圆心为，半径为，
故选:B.
3. 已知，若，则（ ）更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. 4B. 6C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可.
【详解】由得，
又∵，，
,
解得,
故选：A.
4. 杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解.
【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，代表依次摸出的卡片，，
则基本事件分别为：，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：，
所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.
故选：D.
5. 若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误，
对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误，
对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使，
所以三个向量共面，
因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面，
所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确，
对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误，
故选：C
6. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可.
【详解】当直线与直线互相垂直时，
，得，解得或，
所以当时，直线与直线互相垂直，
而当直线与直线互相垂直时，或，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
故选：A
7. 抛物线的准线方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C．
考点：抛物线的几何性质．
8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得的长度.根据为直角三角形，利用勾股定理得到的关系，进而求出离心率.
【详解】由椭圆的对称性，得．设，则．
由椭圆的定义，知，即，
解得，故，．
在中，由勾股定理，得，
即，则，故．
故选：D

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列命题中，正确是（ ）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.
【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；
B选项：因为，所以，B正确；
C选项：因为，所以，C正确；
D选项：记直线l与平面所成角为，则，
因为，所以，D错误.
故选：ABC
10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆的半径为2
C. 存在实数，使得直线与圆相切
D. 直线被圆截得的弦长最长为
【答案】AB
【解析】
【分析】将直线方程变形后得到，求出恒过的定点,即可判断A,将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断B；圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，即可判断D.
【详解】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，半径为2,B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，
由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，故D错误．
故选：AB
11. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．
【详解】对于A：，
与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，
∴，故C错误；
对于D：，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
12. 长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法不正确的是（ ）
A.
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面所成的角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】令，根据线面角定义可知，由此可求得的长，即可得到AC错误；作，可证得平面，同时平面，根据线面角定义，结合长度可得BD正误.
【详解】连接，
不妨令，在长方体中，面，面，
和分别为与平面和平面所成的角，
即，
在中，，，，
在中，，，，
，，，，，AC错误；
作，垂足为，
平面，平面，，
又，平面，平面，
为与平面所成的角，
在中，，B错误；
连接，
平面，为与平面所成的角，
在中，，，D正确.
故选：ABC
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故答案为：
14. 长方体中，，，则异面直线和所成角的余弦值是________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线和所成角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
故异面直线和所成角的余弦值为
.
故答案为：
15. 已知直线l1：与l2：相交于点，则__．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】把分别代入直线l1和直线l2的方程，可得和的值，从而得解．
【详解】解：把分别代入直线l1和直线l2的方程，
得，
所以，
所以．
故答案为：-1．
16. 已知，则在上的投影向量的坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得在上的投影向量的坐标.
【详解】已知空间向量和，
则在上的投影向量为
.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
（1）求双曲线方程；
（2）若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】（1） （2）3
【解析】
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
【小问1详解】
由题知，解得，
所以双曲线C的方程为：
【小问2详解】
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面，
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
，所以得，
又所以，
又，，平面，所以平面，
【小问2详解】
知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则,0,,,1,,,0,,,,,,1,
则,0,,,1,,,,，
设平面的一个法向量,,，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量,0,，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19. 已知菱形中，，，边所在直线过点．求：
（1）边所在直线的方程；
（2）对角线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；
（2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程.
【小问1详解】
由已知得直线，
又，
边所在直线的方程为：，
即
【小问2详解】
由已知得与互相垂直平分，
又，且中点为，
，
所在直线方程为：，
即.
20. 如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若，

（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，应用，结合数量积运算即可.
（2）建立空间直角坐标系．应用空间向量求解二面角的余弦值.
【小问1详解】
解：，
则
．
∴．
【小问2详解】
∵四边形ABCD为菱形，∴．
以O为坐标原点，，正方向为x，y轴的正方向，过点O且平行于的直线为z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意得，，，
∴，．
设平面的法向量，
则，令，解得，，∴．
∵平面轴，∴平面的一个法向量
设平面与平面所成角为，
∴，
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．
21. 甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为，乙同学答对每道题的概率都为，且在比赛中每人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）求本次知识竞赛甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）根据设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，再根据所给概率列式求解即可；
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为 ，再分别计算求和即可.
【小问1详解】
设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，
则．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以，，
即，解得．
【小问2详解】
设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为 ．
22. 已知椭圆的左焦点为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）确定焦点得到，解得，，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标得到直线的方程，取代入计算得到答案.
【小问1详解】
椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去负值），故椭圆方程为，
小问2详解】
当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，，
则，整理得到，
，
故，，即，

同理可得：，则，
故直线的方程为：，
取，
.
故直线过定点.
当有直线斜率不存在时，为轴，过点.
综上所述：直线必过定点
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.