广东省韶关市韶实、榕城、清实、新河、龙实五校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

这是一份广东省韶关市韶实、榕城、清实、新河、龙实五校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题，共13页。试卷主要包含了下面是关于复数，若的内角的对边分别为，且，则等内容，欢迎下载使用。

高一数学
注意事项：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等在答题卷上填写清楚.
3.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，其中是实数，则（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（ ）
A. B.2 C. D.
3.在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知的内角的对边分别为，设，则角等于（ ）
A. B. C. D.
6.若是所在平面外一点，和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.10 D.12
8.已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面圆的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A.在复平面内对应的点位于第三象限
B.若复数，则
C.的共轭复数为
D.的虚部为-1
10.若的内角的对边分别为，且，则（ ）
A.为锐角三角形
B.的面积为
C.为的外心，则
D.设，则
11.如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（ ）
A.直线与直线所成角的正切值为
B.当时，为等腰梯形
C.当时，与交于点，则
D.当时，为四边形
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数与都为纯虚数，则__________.
13.平面向量满足，则__________.
14.在三棱锥中，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知向量，且与的夹角为.
（1）求证：（；
（2）若与的夹角为，求的值.
受合标还娄都.
16.（本小题满分15分）
如图所示，正四棱台两底面的边长分别为4和8.
（1）若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为，求该四棱台的表面积；
（2）若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积.
17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面.
（1）证明：；
（2）若是棱的中点，求直线与平面所成的角.
18.（本小题满分17分）
由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面的交线为，求证：.
19.（本小题满分17分）
某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台（如图所示），其中为两条公路，为公路上的两个景点，测得，为了获得最佳观景效果，要求对的视角.现需要从观景台到建造两条观光路线，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元.
（1）求的距离；
（2）设，用表示；
（3）求该景区预算需要投入多少万元改造？
2023~2024学年第二学期韶实､榕城､清实､新河､龙实五校联考试卷·高一数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1.A 因为，即，则，即，故选A.
2.C
3.B
4.B
5.A 在中，由及正
弦定理得，
即，由余弦定理得，而，解得，由得，显然，则.
6.D 取的中点，连接和都是边长为2的正三角形，则，所以为二面角的平面角.又因为，则，所以，即二面角的大小为.故选D.
7. 以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，设，所以，则，因为，所以，即的最大值为10.
8.D 如图所示，设，则.
因为平面平面，所以.
在中，由勾股定理有，即，解得.故选D.
9.ABD .
在复平面内对应的点为，位于第三象限，A正确；
因为，所以，所以，B正确；
的共轭复数为C错误；
的虚部为-1，D正确.故选ABD.
10.BD 在中，对于，因为，由余弦定理得，又因为，所以为钝角，A错误；
对于B，在中，由余弦定理可得，则，所以，B正确；
对于C，因为，又因为，即所以C错误；
对于D，由，所以，，D正确.故选BD.
11.ABC 由知直线与直线所成角为，则，故正确；如图1，当时，即为中点，此时可得，故可得截面为等腰梯形，故B正确；
当时，如图2，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，可证，由，可得，故可得，故C正确；
由可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然如图3所示的，显然为五边形，故D错误.故选ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. 设向量，由可得，又，则，解得，则，所以.
14. ，故底面三角形外接圆半径为，
，
当时等号成立，
由，
当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点，设球心为，半径为，则在上，，化简得到，
注意到函数在上单调递增，故，所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（1）证明：因为与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，，
因为，
所以，
，
，
因为与的夹角为，
所以，
即，且，
于是有，解得或（舍），
所以的值为2.
16.解：（1）如图，连接，设与交于点与交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接.
由题意知.在中，
，又，
则，故该四棱台的表面积.
（2）设该正四棱台的斜高为，解得，
又该正四棱台的高，
故该四棱台的体积.
17.（1）证明：因为底面底面，所以.
因为，所以，
又平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：由（1）平面平面，所以.
因为为的中点，所以.
因为平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角.
因为，所以，
所以，所以.
因为，所以，即直线与平面所成的角为.
18.证明：（1）取的中点，连接，如图.
几何体是直四棱柱，，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
四边形是平行四边形，
，
平面平面，
平面.
由（1）得平面，又平面，
平面平面.
（3）平面平面，
平面平面，
平面平面，
.
19.解：（1）在中，由余弦定理得：
解得.
（2）设，
在中，由正弦定理，得，
，
，
.
.
.
.
（3）又因为，
所以.
所以.
所以，
即观光线路长的最大值为，
该景区预算需投入元万元.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
A
D
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
ABC