广东省韶关市仁化县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份广东省韶关市仁化县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6 x +3=0有实数根，则实数k的取值范围为( )
A．k＜4B．k＜4，且k≠1C．k≤4D．k≤4，且k≠1
4．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
6．如图所示，已知△ABC和△A＇B＇C＇关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC=∠A＇B＇C＇B．∠AOC=∠A＇OC＇C．AB=A＇B＇D．OA=OC＇
7．如图所示，（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，点恰好落在上，若，则的长为（ ）
A．12B．9C．8D．5
8．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40－x）B．y＝x（18－x）
C．y＝x（40－2x）D．y＝2x（40－x）
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③4a＋2b＋c＞0；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根是 ．
12．已知是关于的方程的一个根，则 ．
13．点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n＝ ．
14．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率的x，则列方程
15．如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为 度．

16．二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是 ．
17．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．解方程：3x（x-2）=-2（x-2）
19．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的，并写出，，的坐标；
(2)请画出绕点逆时针旋转后的．
20．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？
四、解答题（每小题10分，共20分）
21．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
22．某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
五、解答题（每小题12分，共24分）
23．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
(1)试猜想线段BG和AE的数量关系是_____；
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)，
①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC＝DE＝4，当AE取最大值时，求AF的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点在运动过程中，能使得以为顶点的三角形面积最大，请求出此时点的坐标；
(3)连接，并将沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查中心对称图形、轴对称对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形:如果一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形叫做中心对称图形，据此分析得出答案．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程．据此即可获得答案．
【详解】解：A、，若，则该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、，可整理为，是一元二次方程，本选项符合题意；
C、，不是整式方程，故不是一元二次方程，本选项不符合题意；
D、，不是整式方程，故不是一元二次方程，本选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】根据关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+3=0有实数根，得到k-1≠0，即k≠1，且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，由此得到实数k的取值范围．
【详解】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k-1≠0，且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
4．A
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：
，
，
．
故选A．
【点睛】题目主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
5．A
【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故选A．
6．D
【分析】根据中心对称的性质依次判断即可.
【详解】选项A，根据中心对称的两个图形全等，即可得选项A、C正确；
选项B，根据对顶角相等可得选项B正确；
选项D，根据对称点到对称中心的距离相等可得OA=OA＇≠OC＇，选项D错误．
故选D.
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
7．B
【分析】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定等知识点，根据旋转的性质得出，结合条件及利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
8．C
【分析】由垂直于墙的一边的长为x米，用含x的式子表示平行于墙的边的长度，再利用面积公式即可求出．
【详解】设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，所以平行于墙的边的长度为（40-2x）米，
由题意则有：y=x(40-2x)，
∴y关于x的函数关系式为y=x(40-2x)，
故选择：C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，掌握几何问题的函数解析式的求法，解题时应注意用墙长限制自变量的范围．
9．C
【分析】根据二次函数的基本性质及对称轴即可判定①；由对称轴可得，可判定④；将代入函数解析式可判定②；抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，当时，代入可判定③；由抛物线与x轴有两个交点，可判定⑤．
【详解】解：①由开口向下，可得，
抛物线与y轴交于正半轴，可得，
然后由对称轴,
∴，
∴，故①正确；
②，，
当时，，即，
将代入可得：，故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，
∴当时，，故③正确；
④根据对称轴为，可得，所以，故④正确；
⑤由抛物线与x轴有两个交点，即y=0的方程有两个实数根，即可得，即，故⑤正确；
综上可知，正确的有①③④⑤，共计4个，
故选：C．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括开口方向，对称轴，抛物线与坐标轴的交点等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
10．A
【分析】确定抛物线的对称轴为，开口向下，抛物线上的点与对称轴距离越远，相应的函数值越小．
【详解】解：抛物线对称轴为，
∵，开口方向向下，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解二次函数的对称轴，增减性是解题的关键．
11．
【分析】关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，再根据根与系数的关系建立方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两根之积等于”是解本题的关键．
12．
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决．
【详解】解：是关于的方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
13．1
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】∵点A（-3，m）与点A′（n，2）关于原点中心对称，
∴n=3，m=-2，
∴m+n=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．25×（1-x）2=16
【分析】等量关系为：原价×（1-降低的百分比）2=降价后的售价，把相关数值代入即可．
【详解】解：第一次降价后的价格为25×（1-x），
第二次降价后的价格为25×（1-x）×（1-x）=25×（1-x）2，
∴列的方程为25×（1-x）2=16，
故答案为：25×（1-x）2=16．
【点睛】本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法，熟练掌握一元二次方程的运用是解决本题的关键.
15．50
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵在平面内绕点A旋转到，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．
16．
【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围．
【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集，
实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围，
由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是．
故答案为：．
17．（，2）
【详解】∵点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴，
解得：，
∴
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴，
当y=2时，，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标．
故答案为：（，2）
18．，
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：
解得∶，
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
19．(1)见解析，，，
(2)见解析
【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求，，，；
（2）解：如图所示：，即为所求
【点睛】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（1）；（2）米．
【分析】（1）先设这个二次函数的表达式为，再求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），先令，求出点C、D的坐标，由此即可得．
【详解】（1）由题意，设这个二次函数的表达式为，且，即，
将代入得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为；
（2）如图，CD即为所求，
由题意得：点C、D的纵坐标均为，
当时，，
解得或，
即，
则，
答：此时水面宽为米．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．（1）m＜；（2）﹣1．
【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出，，再结合完全平方公式可得出，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜，
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，
∴m的值为﹣1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1•x2=．
22．(1)w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）
(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元
(3)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）把2000元代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价；
（3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
【详解】（1）解：由题意得：w=（x-20）•y
=（x-20）•（-10x+500）
=-10x2+700x-10000，
即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）；
（2）由题意可知：
-10x2+700x-10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40．
由（1）得，20≤x≤32，
∴如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元；
（3）对于函数w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线x==35．
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，
∴当x=32时，w=2160，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
23．（1）BG=AE．（2）①成立BG=AE．证明见解析.②AF=．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【详解】(1)BG=AE.
理由：如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG.
在△BDG和△ADE中，
BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，
∴△ADE≌△BDG(SAS)，
∴BG=AE.
故答案为BG=AE；
(2)①成立BG=AE.
理由：如图2，连接AD，
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG,且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE.
在△BDG和△ADE中，
BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，
∴△BDG≌△ADE(SAS)，
∴BG=AE；
②∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3,当旋转角为270°时，BG=AE.
∵BC=DE=4，
∴BG=2+4=6.
∴AE=6.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF= =，
∴AF=2 .
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及勾股定理及正方形的性质和等腰直角三角形，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理以及正方形的性质和等腰直角三角形.
24．(1)；
(2)的面积最大时，点的坐标为；
(3)点的坐标为．
【分析】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识．
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据三角形面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）解：将、两点的坐标代入得，
，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，
令，则，
解得：，
所以，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则点的坐标为，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，此时点的坐标为，的面积的最大值为；
（3）解：存在点使四边形为菱形．
如图设点坐标为，交于，
若四边形是菱形，则有，
连接，则于，
∴，
∴，
∴，
解得， （不符合题意，舍去）
∴点的坐标为．