2022-2023学年辽宁省辽阳市高三上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省辽阳市高三上学期期末数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算求解.
详解】，
故选:D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定集合，即可求得其补集，可得答案.
【详解】由题意,需满足，
故可得，则，
故选：A
3. 函数的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数讨论单调性并求最值.
【详解】由题意可得，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是．
故选:C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据弦化切和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得．
由，得，即，所以．
则“”是“”充分不必要条件．
故选：B．
5. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取棱的中点F，H，可得是异面直线与所成的角或补角，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，分别取棱的中点F，H，连接，
设，则．
因为E，F分别是棱的中点，所以，
则是异面直线与所成的角或补角．
因为H，E分别是棱的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面,所以，则．
在中，由余弦定理可得．
故选:D.
6. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（ ）
A. 55B. 57.25C. 58.75D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】确定第75百分位数在内，直接根据百分位数的概念计算得到答案.
【详解】因为，
所以该地中学生体重的第75百分位数在内，
设第75百分位数为m，则，解得．
故选：C
7. 已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，利用点差法，整理方程，根据斜率公式和中点坐标公式，可得答案.
【详解】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．
故选：A.
8. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简得到，由，得到，由函数零点个数列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为，
所以
，
因为，所以，
因为在上恰有3个零点，
所以，解得．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案.
【详解】由，得，即，解得或，则A错误，B正确；由，得，解得，则C，D正确．
故选：BCD.
10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（ ）
A. 当时，
B.
C. 平面
D. 二面角为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】由数量积定义计算数量积判断A，根据线面垂直的判定定理与性质定理证明后判断B，利用线面间的位置关系判断C，根据二面角的定义判断D．
【详解】由正方体的性质可知，则，解得，故A错误；
连接．由与底面垂直，在平面内得，又，且，所以平面，而平面，所以，即，则B正确；
因为平面平面，所以不可能平行于平面，则C错误；
因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面，所以二面角就是二面角．易知二面角是定值，所以二面角为定值，则D正确．
故选：BD．
11 已知函数，则（ ）
A. 的定义域是
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 不等式的解集是
【答案】AC
【解析】
【分析】求出使函数式有意义的的范围判断A，分类讨论确定函数单调性判断B，结合奇函数的性质判断C，解不等式后判断D．
【详解】由题意可知，得，则的定义域是，则A正确；
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，则B错误；
因为是奇函数，则C正确；
，即，当时，解得，当时，解得或，则D错误．
故选：AC．
12. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线OA，OB的斜率之积为，则直线过定点
B. 若直线OA，OB的斜率之积为，则面积的最大值是
C. 若，则的最大值是
D. 若，则当取得最大值时，
【答案】AC
【解析】
【分析】设直线：，，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，然后由斜率之积求得值，得定点坐标判断A，由选项A的推导得的面积，由面积的表达式得最小值，判断B，在中，由余弦定理得，代入后应用基本不等式得最值，判断C，由选项C的推导得可设直线：然后求得判断D．
【详解】设直线：，，，联立整理得，则，.因为直线OA，OB的斜率之积为-2，所以.因为，，所以，所以，解得，即直线过定点，故A正确.
由A选项可知，当且仅当时，等号成立，则面积的最小值是，故B错误.
在中，由余弦定理可得.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确.
由C选项可知直线的斜率不存在，设直线：，则直线与轴的交点为，从而，.因为，所以，所以，即，整理得，解得或.当时，；当时，.综上，或，则D错误.
故选：AC．
【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交的定点问题，一般设交点为，设直线方程为（对焦点在轴上的抛物线），代入抛物线方程后应用韦达定理得，再把此结果代入题设中其它条件可参数关系或参数值．从而得直线所过定点坐标．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的值域是，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案.
【详解】，
故，解得．
故答案为：
14. 已知直线与圆交于两点，则__________；若P是圆C上的一点，则面积的最大值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先求圆心到直线的距离，然后结合垂径定理算出弦长即可；
（2）结合上一空，三角形底边长一定，求出圆上一点到直线的距离的最大值，即可得到三角形面积的最大值．
【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径，
则圆心到直线的距离，故；
因为是圆上的一点，所以点到直线距离的最大值为，
所以面积的最大值是．
故答案为：；．
15. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出买5个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答.
【详解】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.
故答案为：
16. 若正数a，b满足，则最小值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，则，
因为，所以，则，
故，当且仅当时，等号成立．
故答案为:4.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设正项等比数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记的前n项积为，求使得取得最大值的n的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，求得首项与公比，可得答案；
（2）由（1）可知数列的单调性，根据数列中项与1大小关系，可得答案.
【小问1详解】
设数列的公比为q，由题意可得，解得，
则．
【小问2详解】
由（1）可知数列是递减数列，因为，
所以使得取得最大值的．
18. 在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）选①，的最大值是8；选②，的最大值是
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出，结合求出；
（2）选①，由余弦定理，结合基本不等式求出；选②，得到，两边平方后得到，由基本不等式求出最值.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，则．
因为，所以．
【小问2详解】
选①,由余弦定理可得，即，
则．
因为，所以．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是8．
选②,因为D是边的中点，所以，
所以，
因为，且，所以，即．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是．
19. 如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面ADE与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接BD.
因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
因为平面ABD，且，所以平面平面.
因为平面ABD，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，
从而，，，.
设平面ADE的法向量为，
则令，得，
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，则.
20. 宠物猫作为伴侣动物出现在越来越多的家庭中，但这也导致了流浪猫群体的出现．流浪猫生存环境恶劣，常常出现健康问题，其中猫瘟就是一种对猫的生命威胁极大的传染性疾病．某流浪猫救助组织，同时救助了4只精神状态不好的流浪猫，而精神状态不好的流浪猫感染猫瘟病毒的概率为．为检查这4只猫是否已感染该病毒，要对这4只猫的排泄物进行病毒检测，为节约检测成本，宠物医院建议分组检测．检测方案如下：每2只为一组，样本混合后检测，若混合样本呈现阴性，则提供样本的猫均未感染该病毒，若混合样本呈现阳性，则样本中至少有1只猫感染该病毒，就需对该组每只猫分别单独检测一次．
（1）若按宠物医院提供的检测方案，记检测总次数为X，写出X的分布列，并分析是否应该接受这个建议．
（2）为预防猫瘟，市场研发相应疫苗，该疫苗连续“接种2针”或“接种3针”才能起到保护作用，某宠物医院随机对接种该疫苗的100只猫作了数据跟踪，得到如下数据：这100只猫中共有12只抗体未达标，其中只接种2针疫苗未达标的有8只，占只接种2针疫苗总数的．
完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该疫苗“接种3针”是否比“接种2针”有更好的保护作用（注：抗体达标才能具有保护作用）．
附：．
【答案】（1）分布列见解析，接受这个建议
（2）列表联见解析，该疫苗“接种3针”比“接种2针”有更好的保护作用．
【解析】
【分析】（1）确定X可取的值为2，4，6，求出概率后得分布列，由期望公式计算出期望后可得结论；
（2）由已知填充列联表，计算出，比较临界值即得．
【小问1详解】
X可取的值为2，4，6，
，
，
，
分布列为：
，
因为，所以出于节约检测成本的考虑，应该接受这个建议．
【小问2详解】
列联表如下：
零假设为：“接种3针”与“接种2针”独立，即保护作用没有差异．
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
又，
所以根据频率稳定于概率的原理，我们认为该疫苗“接种3针”比“接种2针”有更好的保护作用．
21. 已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先得，再将点坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程；
（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可
【小问1详解】
由题意得，，
所以，所以，，
所以双曲线C的标准方程为；
【小问2详解】
假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，此时；
当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；
综上所述，故存在满足题意
22. 已知函数，且曲线在处的切线为.
（1）求m，n的值和的单调区间；
（2）若，证明：.
【答案】（1）；在与上单调递增，在上单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数得几何意义列出方程组即可求得的值，再将带入原函数及导函数中分别求得解析式，由函数单调性与导函数的关系即可求得的单调区间；
（2）若，要证明：，由（1）可知函数的单调区间，属于典型的极值点偏移问题，由移向构造新函数，求得新函数的单调性即可证明.
【小问1详解】
因为，
所以.
由题意可得即解得
因为，
所以当或时，，当时，，
则在与上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，.
设，
则.
设，则.
因为，所以，则在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即对一切恒成立.
因为，所以.
因为，所以.
因为在上单调递增，且，所以，
即证：.
抗体达标数量
抗体未达标数量
接种2针疫苗
接种3针疫苗
0.05
0.010
0.005
3.84
6.63
7.88
2
4
6
抗体达标数量
抗体未达标数量
接种2针疫苗
32
8
接种3针疫苗
56
4