2022-2023学年辽宁省辽阳市高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省辽阳市高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先求得集合A，然后根据全集可求得，可得答案.

【详解】，，

∴，∴.

故选：D.

2．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值法判断ABD；利用指数函数的单调性判断C.

【详解】当时，满足，，，A错误；

当时，满足，，，B错；

当时，满足，没有意义，D错；

在递增，因为，所以正确.

故选：C.

3．已知，则（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】B

【分析】利用导数的定义求解即可.

【详解】.

故选：B.

4．“”是“是幂函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.

【详解】因为是幂函数，

所以，解得或，

故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.

故选：A.

5．在数列中，，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案.

【详解】由题意可得．

根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减，

所以在中，，

当时，，；

当时，．

因为，所以，

所以的最大值是．

故选：D.

6．已知函数则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先对原式进行求导，得到，再令代入，即可求出，，找到的解析式，求出.

【详解】因为，所以，

则，解得．

由，解得，则．

故选：D.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】根据函数解析式确定函数性质，利用排除法去掉不符合的选项即可.

【详解】定义域为，

因为，

所以是奇函数，排除C，D．

当时，，则，，所以，排除B．

故选：A．

8．某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（    ）（参考数据：）

A．9年 B．10年 C．11年 D．12年

【答案】A

【分析】根据题意，设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则可得为等比数列，代入计算，即可得到结果.

【详解】设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则是首项为10，公比为的等比数列，

从而，即，即，即．

因为，所以的最大值是9.

故选：A

二、多选题

9．已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.

【详解】设，则，故．

因为，所以，解得或，

则或．

故选：AC.

10．等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ）

A． B．

C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值

【答案】BC

【分析】根据等差数列的性质可得，即可结合选项判断.

【详解】，所以，故，

当时，取得最大值.故BC正确，AD错误.

故选：BC

11．已知，且，则（    ）

A．的最小值是

B．的最小值是4

C．的最小值是8

D．的最小值是

【答案】BC

【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D.

【详解】因为，且，所以，

所以，当且仅当时，等号成立，则A错误；

由题意可得，

当且仅当时，等号成立，则B正确；

因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；

由题意可得，此时，．

因为，所以不存在，使得，则D错误．

故选:BC.

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】构造函数，求导后可得在单调递增，则可得，构造函数，求导后可得在单调递减，则可得，从而可得结论.

【详解】令，则，

当时，，所以在单调递增，

所以，则，

所以，所以，

令，则，

所以在单调递减，

所以，则，即，所以，

所以

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：此题考查对数式，指数式比较大小，考查导数的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后利用函数的单调性比较大小，属于较难题.

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为        ．

【答案】

【分析】整体在范围内，同时注意保证，最后求出交集即可得解.

【详解】因为函数的定义域为，

所以

解得．

则函数的定义域为，

故答案为：.

14．等差数列的前项和为，若，，则     ．

【答案】15

【分析】根据等差数列的性质得到，求出答案.

【详解】设，由等差数列的性质可得，

又，则，解得．

故答案为：15

15．如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在这一时刻的瞬时速度为    m/s.

【答案】/

【分析】设端点A运动的路程为，所以，由题意可解得，对求导，由导数的定义即可得出答案.

【详解】设端点A运动的路程为，所以，因为，

则，此时木棒处于倾斜状态，所以，

所以，则，

当时，，即端点A在这一时刻的瞬时速度为 m/s.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数是定义域为的奇函数，则        ，关于的不等式的解集为        ．

【答案】     1    

【分析】根据题意，由函数为奇函数即可得到，然后求导即可得到，从而得到其单调性，由函数的单调性即可求解不等式.

【详解】因为是奇函数，所以，

则由的任意性可得，

所以，则．

因为，所以，则在上单调递减．

由，得，

则，解得．

故答案为：；.

五、解答题

17．在等比数列中，，且是和的等差中项．

(1)求的通项公式；

(2)若，，求数列的前项和．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据等比数列的通项公式和等差中项的含义即可得到关于的方程，解出即可；

（2）分析计算得，利用错位相减法即可得到答案.

【详解】（1）设的公比为，，因为是和的等差中项，

所以，则，

化简得，解得或，

当时，，

当时，．

（2）因为，所以，，

，①

则，②

则①②得．

故．

18．已知函数

(1)当时，求在上的最值；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)最大值为32，最小值为

(2)答案见解析

【分析】（1）根据导数求解函数的单调区间，即可求解极值点以及端点处的函数值，比较大小即可，

（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负求解.

【详解】（1）因为，所以．

当时，，当时，，

故的单调递增区间为和，单调递减区间为．

因为，

所以在上的最大值为32，最小值为．

（2）因为，

所以

令，得或．

当，即时，由，解得或，由，解得．

当，即时，恒成立．

当，即时，由，解得或，由，解得．

综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区问；

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．

19．从①，②两个条件中任选一个填入横线上，并解答下列问题．已知正项等差数列的前项和为，且________．

(1)证明：数列为等差数列．

(2)若，证明：．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）选①，由已知可得，根据等差数列的定义可得答案；选②先求得，可得，根据等差数列的定义可得答案；

（2）先求得，再利用裂项相消法可得答案.

【详解】（1）选①

设的公差为，由，得，

则，则，或（舍去）

，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

选②

设的公差为，由，得，

则，则，，或（舍去）

，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

（2）．

因为，所以，解得或（舍去）．

，

所以

．

20．已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)若在上恰有1个极值点，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2).

【分析】（1）根据题意，求导即可得到其极值；

（2）根据题意，将极值点转化为函数零点问题，然后利用导数研究，即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以，.

令，得或，且当时，，

当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.

从而的极小值为，无极大值.

（2）因为，所以.

因为在上恰有1个极值点，所以在上恰有一个变号零点.

令，则，

显然在上单调递增，且，所以在上恒成立，

则在上单调递增.

要使在上恰有一个变号零点，则，

即，故的取值范围为.

21．已知数列的前项和为且.

(1)求的通项公式；

(2)为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由前项和的递推公式通过累乘法算出，然后由与的关系解出通项公式.

（2）不等式左边利用分组求和的方法求出和，然后构造函数结合作差法与二项式展开式来判断函数单调性，进而解出值.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

累乘得，所以.

符合上式，所以.

当时，，则，

所以.

因为符合上式，所以.

（2）由题意知，

则.

令，

则.

由二项式展开式.

所以，

所以单调递增.

因为，所以的最小值是11.

22．已知函数.

(1)若，求的图象在处的切线方程;

(2)若有两个极值点，证明:.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，求出，再由导数的几何意义求解即可；

（2）根据给定条件可得有两个不相等的正实数根，转化为有两个不相等的正实数根，即.要证，即证<，令，即证即.令，对求导，得到的单调性，即可证明.

【详解】（1）因为，所以，，

则，

故f（x）的图象在处的切线方程为，即.

（2）证明：因为，

所以，

由有两个极值点，得方程有两个不相等的正实数根，

即方程有两个不相等的正实数根.

令，则.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

当时，，当时，.

由有两个不相等的正实数根，可得，

即有两个不相等的正实数根.

由，得.

要证，只需证<，即证<.

不妨令，，则，<等价于t<，

即.

令，，则，

则，从而.

【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明，将所证不等式等价转化，借助换元构造新函数，再利用导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.