江苏省无锡市四校2024届高三上学期12月学情调研试卷数学

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）
A B. C. D.
3. 设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A 0.48B. 0.32C. 0.82D. 0.68
5. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（ ）
A. 6069B. 6079C. 6089D. 6099
7. 已知函数，正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数，当时，，若，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．
9. 若且，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 对任意的都有
D. 在区间上的零点之和为
11. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O到直线距离为，则
B. 若的面积为，则
C. 若，则点O到直线的距离为
D. 的最大值为，最小值为
12. 在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值是
B. 当时，三棱锥体积为定值
C. 当时，与所成角可能为
D. 当时，与平面所成角正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．
14. 已知向量，在方向上的投影向量为，则_______.
15. 如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；.依次进行“次分形”（）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“次分形”后所得分形图的长度不小于120，则的最小值是______.（参考数据：，）
16. 已知函数，令，当时，有，则______；若函数恰好有4个零点，则实数的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，，，的对边别为，，，若.
（1）求角；
（2）若，，求.
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19. 如图，在四棱锥中，底面，，．点在棱上，，点在棱上，．
（1）若，为的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
20. 如图，半径为1的光滑圆形轨道圆、圆外切于点，点是直线与圆的交点，在圆形轨道、圆上各有一个运动质点，同时分别从点、开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点，运动的角速度之比为2：1，设点转动的角度为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系．
（1）若为锐角且，求、的坐标；
（2）求的最大值．
21. 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的动直线与椭圆相交于，两点，若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
22. 已知函数.
（1）若在定义域内单调，求实数的取值范围；
（2）若，m，n分别为的极大值和极小值，求的取值范围.