江苏省苏州市第五中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏州市第五中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意知，故选B.
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.
2. 若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
3. 若实数，，，则（ ）
A. B. C. D.
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【分析】根据指、对数函数单调性，取中间值0和1比较大小.
【详解】在定义域内单调递减，且，则，即；
在定义域内单调递减，且，，则，，即；
可得：.
故选：B.
4. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A. 8B. C. 16D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可知，令即可求解.
【详解】由，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
故，
故选：D
5. 已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理即可求解.
【详解】解：在上单调递减，
故最多有一个零点，
函数在区间上有唯一零点，
，
，
，
故函数在区间上有唯一零点，
故，
故选：C.
6. 函数的图像的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出函数定义域，再判断函数的奇偶性，再根据的函数值，即可判断；
【详解】解：因为，所以，解得，故函数的定义域为，故排除AC；
当时，，，所以，故排除D；
故选：B
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）．
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.
【详解】,
由，
，
即，
，当且仅当，即时等号成立，
故选：B
8. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.
【详解】解：作出函数的图像如下：
数，且函数有6个零点等价于有6个解，
等价于或共有6个解
等价于函数与共有6个交点，
由图可得与有三个交点，所以与有三个交点
则直线应位于之间，
所以
故选：C.
【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9. 已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据已知条件利用作差法可得A错误，C正确，取特殊值可知B错误，利用不等式性质可得D正确.
【详解】对于A，易知，且，所以，可得，即A错误；
对于B，当时，易知，可得B错误；
对于C，，易知，可得，即，所以C正确；
对于D，因为，，所以，即可得D正确；
故选：CD
10. 已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）
A. 为奇函数B. 为偶函数
C. 值域为D. 有最小值0
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定函数，利用函数的奇偶性判断A，B；求出函数的值域判断C；求出函数最小值判断D作答.
【详解】函数的定义域为，，为奇函数，A正确；
，当且仅当，即时取等号，
因此函数的值域为，C不正确；
函数定义域为R，，为偶函数，B正确；
当时，，D不正确.
故选：AB
11. 已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】当时，，，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，即，，A正确；
，B正确；
，，，即，
即，展开得到，
解得，由于，等号不成立，故C错误；
，故，，D正确.
故选：ABD
12. 已知函数且，则下列为真命题的是（ ）
A. 当时，值域为B. 存在，使得为奇函数或偶函数
C. 当时，的定义域不可能为D. 存在，使得在区间上为减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A，转化为整体真数部分能取遍一切正实数值，对于C,转化为自变量任意实数值时真数的值恒为正值，对应真数中的二次函数为正值．然后利用二次函数的性质可作出判定；对于B，利用奇偶性的定义分别转化为关于的含有参数的等式，考察等式恒成立的条件，即可判定参数的无解，从而否定B；对于D,考察函数在给定区间内为减函数的条件，注意结合复合函数的单调性法则和对数函数的单调性，同时注意函数在给定区间内真数大于零，探究满足条件的所满足的条件，研究发现无解，从而否定D.
【详解】当时，,当时可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为,故A正确；
的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集.
要使为偶函数，则,
于是，即对定义域内的实数恒成立，,
但此时对数的底数为零，无意义；
要使为奇函数，则,即，
于是，即对定义域内的任意实数恒成立，但此方程为四次方程，至多有四个不同的实数根，矛盾.
综上，B错误；
的解集为R，等价于,即,
所以当时，的定义域不可能为，故C正确；
要使在区间上为减函数，
必须是故,无解，故D错误.
综上可知，正确的只有AC,
故选:AC.
【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，属中档题，对于此类对数函数与二次函数的复合函数，值域为R的条件是整体真数部分能取遍一切正实数值，定义域为R的条件是自变量任意实数值时真数的值恒为正值，对应真数中的二次函数首项系数为正值，判别式一个为大于等于零，另一个为小于零，两者要注意区分；探究函数的奇偶性时利用定义方法，注意得到在定义域内需要恒成立的等式，然后考察参数是否有可能满足条件；研究函数的单调性时，除了要注意复合函数的单调性的条件还必须注意在给定区间内有意义的要求.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 已知幂函数满足，则 ______________
【答案】
【解析】
【分析】先求得的解析式，然后求得.
【详解】设，
则
故答案为：
14. 函数的定义域为______________
【答案】
【解析】
【分析】由函数式有意义可得．
【详解】由题意，解得．
故答案为：．
15. 已知，，且，则的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
首先利用条件变形，展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：利用“1”的变形，是本题的关键，.
16. 设常数，函数．若方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为_________，的取值范围为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
画出函数的图象，判断的取值范围，利用对数函数的性质和对数的运算性质得到，进而得到所求.
【详解】
画出函数的图象，与直线有三个交点，
所以实数的取值范围是：（0，2]，
令得,所以.
由图可知，,∴,
由，得，
，，
故答案为：；.
【点睛】本题考查函数的图象与方程的根，对数的运算，对数函数的性质，分段函数，属中档题，关键是数形结合思想的应用.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集为R，，．
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的___________条件，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．
【答案】（1）；或.（2）选择① ：；选择② ：.
【解析】
【分析】（1）先求出集合A，B，再根据交集补集的定义即可求出；
（2）选择① ：AB，分和两种情况讨论即可得出结果；选择② ：BA， ，解出即可.
【详解】（1）时，，
因为，
解得，
所以，
所以，
或.
（2）若选择①充分不必要条件作答，则AB，
当时，，
即时，满足AB；
当时，
则，
不等式无解，
综上，的取值范围为.
若选择② ：必要不充分条件，
则BA，
所以，
解得，
综上，的取值范围为；
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分、必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
18. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域.
【答案】（1）
（2）证明见解析，值域为
【解析】
【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式；
（2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得获胜在上的值域.
【小问1详解】
因为为R上的奇函数，
所以，即，①
又因为函数的图象经过点，
所以,即，②
由①②，可得，，故，
，，
故为奇函数，
所以；
【小问2详解】
任取，，且，
则
，
因为，所以，又，
所以，所以，故为R上的增函数.
当时，，即，
所以在上的值域为.
19. 已知函数.
（1）若的最大值为0，求实数的值；
（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得在区间上函数值的取值范围为？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）或
（2）
（3）存在实数，使得在上的值域恰好是
【解析】
【分析】（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得的值；
（2）由对称轴在区间的左侧可得；
（3）分类讨论求函数在上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解的值．
【小问1详解】
解：因为，
所以，最大值，即，解得或．
所以或．
【小问2详解】
解：函数图像的对称轴是，要使在区间上是减函数，应满足，解得．
所以，实数的取值范围为
【小问3详解】
解：①当，即时，在上单调递减，
若存在实数m，使在上的值域是，则
即，此时m无解．
②当，即时，在上递增，则即解得．
③当，即时，在上先递增，再递减，
所以在处取得最大值，则，解得或6，舍去．
综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是．
20. 已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）已知为定义在R上的奇函数.
①当时，求的值域；
②若对任意成立，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，不等式即为，令，不等式即为，解得，即，进而求得不等式的解集；
（2）①根据其为奇函数，得到，求得，再根据，解得，从而求得函数解析式，利用换元思想，结合函数单调性求得函数值域；
②利用函数单调性的定义证明其为增函数，结合奇函数的条件，将转化为相应不等式组，求得结果.
【详解】（1），时，由可得，令，得，
解得，即，所以.
（2）①因为为上的奇函数，所以，即，则，
所以，根据为上的奇函数可得.
所以，即对任意恒成立，
所以，
令，令，则.
所以原函数的值域转化为的值域，
又因为在上单调递增，所以的值域为.
②，设任意，且，
则，
所以在上单调递增.
又因为对任意成立，且为上的奇函数，
所以对任意成立，
所以对任意成立.
当时，满足题意；
当时，解得，
综上所述，.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数性质的问题，解题方法如下：
（1）将参数代入函数解析式，解不等式即可得结果；
（2）①根据奇函数的定义，求得参数值，进而求得函数的值域；
②利用单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性以及奇偶性，将不等式转化，得到结果.
21. 某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
【答案】（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【解析】
【分析】
（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；
（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.
【详解】（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；
当40≤x≤100时，L(x)＝
．
所以
（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，
所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000．
②当40≤x≤100时，，
当且仅当，即x＝50时取等号．
因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大．
答：月产量为50台时，所获月利润最大，最大月利润为6400元．
【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.
22. 已知函数，且是偶函数.
（1）求k的值；
（2）若函数的图象与函数图象有交点，求b的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可求出实数的值；
（2）利用参变量分离法得出关于的方程有解，然后利用指数函数和对数的函数的基本性质求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）∵为偶函数，
，有，
对恒成立.
，恒成立，
.
（2）由题意知，有实数根，
即，有解.
令则函数的图象与直线有交点，
当时，
，
，
无解.
当时，
，
，
由有解可知，
所以.
∴的取值范围是.
【点睛】关键点睛：把函数的图象与函数图象有交点转化为有解的问题是解决本题的关键.