天津市津南区2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试卷

这是一份天津市津南区2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试卷，共31页。试卷主要包含了 如图，已知，，，的长为， 解下列方程等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A．-2B．-1C．1D．3
3. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
4. 如图，已知，，，的长为（ ）

A．B．C．D．
5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D．当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大
小明准备在2023年春节期间去看电影，
他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，
他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，
则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（ ）

A．B．C．D．
7. 如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的大小是（ ）

A．100°B．140°C．130°D．120°
8 . 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，
测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m

A．3.5B．4C．4.5D．
一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，
则二次函数的图象可能是（ ）

A． B．C． D．
10 .已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，
则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
11 .如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
12 . 二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），对称轴为直线x＝1，
函数图象的一部分如图所示，下列说法中：
①b＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④（a+c）2＜b2；⑤3a+c＝0．
其中正确的结论有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______．
14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，
发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个．
15 .如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，
树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．

16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．

如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，
点C在反比例函数上的图像上，则k的值为 ；

18 . 如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；
将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…
如此进行下去，直至得到C7，若点P（13，m）在第7段抛物线C7上，则m＝ ．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 解下列方程：
（1）
（2）．
20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC的边长．
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．

23 .如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？

24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C．

（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）直接写出时x的取值范围；
（3）将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，
连接，，若的面积为12，求点P的坐标．
在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；
点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，
用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），

(1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
(2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
(3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
26. 如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），
作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．
2023-2024学年第一学期天津市津南区九年级数学期末模拟试卷
答 案 参 考
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2.关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A．-2B．-1C．1D．3
【答案】C
【分析】将代入原方程即可求出结果．
【详解】解：将代入原方程得，解得．
故选：C．
3. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
4. 如图，已知，，，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得，CE=4，
故选B．
5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D．当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质即可直接作出判断．
【详解】A、把x=2代入得，y=1，则（2，﹣1）不在图象上，选项错误；
B、图象位于第一、三象限，选项错误；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误．
故选：C．
6 .小明准备在2023年春节期间去看电影，
他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，
他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，
则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】用“A”代表《满江红》和《流浪地球2》，用“B”代表《龙马精神》，《想见你》，《回天有我》，
列表如下：
即总的情况有20种，满足条件的有2种，
即：则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是，
故选：C．
7. 如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的大小是（ ）
A．100°B．140°C．130°D．120°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答.
【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：B.
8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5B．4C．4.5D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴，
解得，DC=5，
即建筑物CD的高是5m；
故选：D
9 . 一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，
则二次函数的图象可能是（ ）

A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：A．
10 .已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，
则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小．
【详解】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，
∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
11 .如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,
即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），对称轴为直线x＝1，
函数图象的一部分如图所示，下列说法中：
①b＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④（a+c）2＜b2；⑤3a+c＝0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，
根据对称轴的位置判断b及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，
进而对所有结论进行逐一判断．
【解答】解：①∵开口向下，
∴a＜0．
对称轴在y轴右边，故．
∴b＞0，故①错误．
②由图知：对称轴x＝1，即．
∴2a+b＝0，故②正确．
③抛物线于x轴有两个交点．故b2﹣4ac＞0．故③正确．
④由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，
当 x＝﹣1 时，y＜0，即：a﹣b+c＜0．
∴a+c＜b．
∴（a+c）2＜b2．故④正确．
⑤根据当 x＝﹣1 时，y＜0，即：a﹣b+c＜0．由②将b＝﹣2a．代入a﹣b+c＜0．
∴3a+c＜0，故⑤错误．
故正确的个数为：3个．
故选：B．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：，
解得：，
故答案为：．
14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个．
【答案】
15 .如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，
树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【答案】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
【答案】28°
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABD=62°，
∴∠ACD=∠ABD=62°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°．
故答案为28°．
17.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，
点C在反比例函数上的图像上，则k的值为 ；
【答案】-4
【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=2，
再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：连接AC交OB于D，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=×8=2，
∵CD⊥y轴，
∴S△OCD=|k|，
即|k|=2，
而k＜0，
∴k=-4．
故答案为：-4．
18 .如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；
将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…
如此进行下去，直至得到C7，若点P（13，m）在第7段抛物线C7上，则m＝ ．
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，
由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，
照此类推可以推导知道点P（13，m）为抛物线C7的顶点，从而得到结果．
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）．
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
C7顶点坐标为（13，1），A7（14，0）；
∴m＝1．
故答案为1．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 解下列方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
解得
（2）
解得
20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC的边长．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝6，CE＝4，
∴，
解得AB＝18，
∴AB=AC=BC=18．
21 .某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【解析】
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目约有（名；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．
【答案】（1）34°；（2）2
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+（2）2＝（r+2）2，
解得：r＝2，
答：⊙O半径的长是2．
23. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？
【分析】（1）由花圃的宽AB为x米，篱笆长为24米，得出长BC的值，
再利用矩形的面积等于长乘以宽列出函数关系式并化成一般式即可；
将S与x的函数关系式写成顶点式，
根据二次函数的性质及x的取值范围即可得出答案．
【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，篱笆长为24米，
∴BC＝（24﹣3x）米，
∴S＝x（24﹣3x）
＝﹣3x2+24x（3≤x＜8）．
∴S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x（3≤x＜8）．
（2）S＝﹣3x2+24x
＝﹣3（x﹣4）2+48．
∵3≤x＜8，
∴当x＝4时，S有最大值，最大值为48．
∴当AB的长为4米时，花圃的面积最大，最大值是48平方米．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C．

（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）直接写出时x的取值范围；
（3）将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，
连接，，若的面积为12，求点P的坐标．
【答案】（1）直线为；反比例函数为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，的解集就是一次函数图象不在反比例函数图象的下方的x的取值；
（3）设平移后的一次函数的解析式为，交y轴于Q，连接，根据同底等高的三角形面积相等列方程求出a的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数为，
在上，
，
，
，
一次函数的图象经过A，，
，
解得：，
直线为．
【小问2详解】
解：由图象可知，的解集是或；
【小问3详解】
解：设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，如图所示：
令，则，
，
，
，
解得：，
平移后的一次函数的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
．
25 .在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；
点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，
用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
(1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
(2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
(3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】(1)2t，（5﹣t）
(2)当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
(3)当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论；
（2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案；
（3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
26. 如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），
作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3
(2)M（，）
(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）
【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解；
（2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），
∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；
（2）解：当 时， ，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，
设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），
∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋，
当m ＝时，MN的长度最大，
此时M（，）；
（3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，
∵ ，
∴点P坐标（1，4），
∵点B（3，0），C（0，3），
∴PC＝，PB＝，BC＝，
∴ ，
∴△PBC为直角三角形，
∴tan∠PBC＝，
设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），
∵，
则，
解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），
故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）