广东省惠州市六校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题

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满分150分，时长120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚.
2．选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.
一、选择题（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分）
1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 直四棱柱是长方体B. 正方体是平行六面体
C. 长方体是平行六面体D. 平行六面体是四棱柱
2. 若，在直线上，则直线的一个方向向量为 （ ）
A. B.
C. D.
3. 下列关于概率的命题，错误的是（ ）
A. 对于任意事件A，都有
B. 必然事件概率为1
C. 如果事件A与事件B对立，那么一定有
D. 若A，B是一个随机试验中的两个事件，则
4. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
6. 在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是( )
A B. C. D.
7. 我们打印用的A4纸的长与宽的比约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，在直四棱柱中，，底面ABCD是边长为的菱形，，于点E，建立如图所示的空间直角坐标系，若点在平面内，则a的值为（ ）
A B. C. D.
二、选择题（共4小题，每小题满分5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）.
9. 设P表示一个点，a，b表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法不正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
10. 已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
B. 若存在非零向量使得，则
C. 若，则存在唯一的正实数，使得
D. 设，，且与不共线，若，则
11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地
12. 已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 点A到直线BE的距离是
B. 点O到平面的距离为
C. 平面与平面间的距离为
D. 点P到直线AB的距离为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 设向量，且，则__________．
14. 某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的销售部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业销售部门和研发部门的员工人数之比是5：1，且被抽到参加体检的员工中，销售部门的人数比研发部门的人数多84，则参加体检的人数是________．
15. 已知空间向量、是相互垂直的单位向量，且，，则对任意的实数m，n，的最小值是________．
16. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.

四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. “盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
18. 某校对参加亚运知识竞赛的100名学生的成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）估计该校参加亚运知识竞赛的学生成绩的众数和平均数；
（2）估计该校参加亚运知识竞赛的学生成绩的80%分位数．
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
20. 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
（1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率．
21. 已知中，内角所对的边分别为，且.
（1）若的平分线与边交于点，求的值；
（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.
22. 如图，四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，，直线与直线CD所成的角取得最大值．点M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若钝二面角的余弦值为，当时，求三棱锥的体积．