湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数,则z的共轭复数是( )
A.B.C.D.
2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
3．“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,用计算机产生之间的随机数,当出现1、2、3时表示一局比赛甲获胜,当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,现产生20组随机数,结果如下:
423,123,423,344,114,453,525,332,152,342
534,443,512,541,125,432,334,151,314,354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是( )
C.0.6
5．已知点D在确定的平面内,O是平面外任意一点,正数x,y满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,棱锥的底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
7．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,且,则的面积为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆的焦距为2c,若直线恒与椭圆有两个不同的公共点,则椭圆的离心率范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下面四个结论不正确的是( )
A.已知,,若,则的夹角为钝角
B.已知,,则在上的投影向量是
C.若直线经过第三象限,则,
D.设是空间向量的一组基底,则也是空间向量的一组基底
10．已知互不相同的30个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的28个样本数据的方差为,平均数为;去掉的两个数据的方差为,平均数为﹔原样本数据的方差为,平均数为,若=,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
11．已知正方体棱长为2,为正方体内切球O的直径,点P为正方体表面上一动点,则下列说法正确的是( )
A.当P为中点时,与所成角余弦值为
B.当面,时,点P的轨迹长度为
C.的取值范围为
D.与所成角的范围为
三、填空题
12．已知向量,满足,,与的夹角为,则_______.
13．在一个建筑工地上,有一个用来储存材料的圆台形容器.已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米,下底面圆的直径是12米,母线长为5米,不考虑该圆台形容器壁的厚度,则该圆台形容器的容积是________立方米.
14．已知,,若圆上存在点P满足,则的取值范围是______________
四、解答题
15．在平面直角坐标系中,已知三点,,.
（1）若直线过点且与直线BC垂直,求直线的方程;
（2）若直线经过点A,且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍,求直线的方程.
16．为普及消防安全知识,某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,,甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率;
（2）若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
17．公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆,后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中,且.
（1）求点P的轨迹方程;
（2）若点P在（1）的轨迹上运动,点M为AP的中点,求点M的轨迹方程;
（3）若点在（1）的轨迹上运动,求的取值范围.
18．如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,E为中点,点F在上,且.
（1）求证:平面;
（2）求二面角的余弦值;
（3）线段上是否存在点Q,使得平面?说明理由.
19．已知四个点,,,中恰有三个点在椭圆上.
（1）判断哪个点不在椭圆C上,并求出椭圆C的方程;
（2）设椭圆C的左右顶点分别是A、B,点P是直线上一点,直线、与椭圆C的另一个交点分别为M、N,求证:直线过定点.
参考答案
1．答案：C
解析：由,
可得:,
所以z的共轭复数是.
故选:C.
2．答案：C
解析：对于选项A，若，，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若，，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；
对于C，若，，根据线面垂直的性质可得;故C正确；
对于D，若，，则或者；故D错误；故选C.
3．答案：C
解析：当时,,,显然,两直线平行,满足充分条件;
当与直线平行时,,则
或,
当时显然成立,当时,,,
整理后与重合,故舍去,
,满足必要条件;
“”是“直线与直线平行”的充要条件
故选:C
4．答案：D
解析：表示甲获得冠军的数有423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,
334,151,314共13组数,故估计该场比赛甲获胜的概率为.
故选:D
5．答案：B
解析：由题意知,A,B,C,D四点共面,又,
则,
所以,即,
因为,,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为.
故选:B.
6．答案：B
解析：如图,设点S在底面的射影为点H,
因底面边长均为,侧棱长均为,故球心O在上,
连接,设球O的半径为R,则,
由正弦定理,解得,
在中,,则,
在中,由,解得,
则球O的表面积为.
故选:B.
7．答案：A
解析：由,
根据正弦定理得,,
即,
即,
即,
因为,则,
所以,即,
所以,
又,
则,即,
又,
所以的面积为.
故选:A.
8．答案：A
解析：将直线整理可得,
易知该直线恒过定点,
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点,可知点在椭圆内部;
易知椭圆上的点当其横坐标为时,纵坐标为,即可得,
整理可得,即,
解得.
故选:A
9．答案：ACD
解析：对于A,当时,,,,此时的夹角为,故A错误;
对于B,向量在向量上的投影向量为,故B正确;
对于C,令,,,则直线为,此时直线经过第三象限,但,,故C错误;
对于D,若,则,所以共面,故不能作为基底,故D错误.
故选:ACD.
10．答案：ABD
解析：A.剩下的28个样本数据的和为,去掉的两个数据和为,原样本数据和为,所以,因为=,所以,故A选项正确;
B.设,,
因为,所以,所以,
所以,故B选项正确;
C.剩下28个数据中位数等于原样本数据的中位数,故C选项错误;
D.,所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个;
,所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个;
因为去掉了最小值,则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数,故D正确.
故选:ABD.
11．答案：ABC
解析：根据题意,以D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
对于A,如下图所示:
易知,,,,则,,
可得,
即当P为中点时,与所成角余弦值为,可得A正确;
对于B,易知是边长为的正三角形,故其面积为,
由三棱锥的体积为,可得点P到平面的距离为,
即点P在与平面平行且距离为的平面内,连接,,,如下图所示:
由正方体性质可得平面平面,且两平面间的距离等于,所以点平面,
又面,平面平面,即可得点P的轨迹即是线段,
因此点P的轨迹长度为,即可得B正确;
对于C,依题意可知O即为正方体的中心,如下图所示:
,
又因为为球O的直径,所以,
即可得,
又易知当点P为正方体与球O的切点时,最小;当点为正方体的顶点时,最大;
即,因此可得的取值范围为,即C正确;
对于D,易知的中点即为球心O,如下图所示:
当与球相切时,与所成的角最大,此时,
显然,结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为错误,即D错误.
故选:ABC
12．答案：
解析：,
,
,
故答案为:
13．答案：
解析：由已知圆台的上底半径为米,下底半径为米,母线长为米,所以高为（米）,
体积为（立方米）.
故答案为:.
14．答案：
解析：设点,则,,
所以,则,
所以点P的轨迹方程为,圆心为,半径为3,
由此可知圆与有公共点,
又圆的圆心为,半径为2,
所以,解得,即a的取值范围是.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由,可得直线AB的斜率为,
因,故直线的斜率为3,
则直线的方程为,即
（2）当截距均为0时,直线方程为,符合题意,
当截距不为0时,不妨设直线方程为,
又直线经过点A,故,即,所以直线方程为,
综上,所求直线方程为或.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”,“甲在第二轮比赛中胜出”,
“乙在第一轮比赛中胜出”,“乙在第二轮比赛中胜出”,
则,,,相互独立,且,,,,
所以,,
设“甲在比赛中恰好赢一轮”
则.
（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛,则“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”,
所以,,
设“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”.
于是=“两人中至少有一人赢得比赛”,
由,,
所以,,
所以.
17．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）设,则,
化简得:,故点P的轨迹方程为;
（2）设,因为点M为AP的中点,
所以点P的坐标为,
将代入中,得到,
所以点M的轨迹方程为;
（3）因为点在（1）的轨迹上运动,
所以,变形为,
即点为圆心为,半径为2的圆上的点,
则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率,如图:
当过的直线与圆相切时,取得最值,
设,
则由点到直线距离公式可得:,
解得:或·,
故的取值范围是.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）不存在,理由见解析
解析：（1）在中,
所以,即.
又因为,在平面中,,
所以平面.
（2）因为平面平面,平面平面,,平面,
所以平面,由平面,得
由（2）知,且已知,
故以A为原点,建立如图空间直角坐标系,
则,,.
所以,,,,
因为E为中点,所以.
由知,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,.于是.
由（1）知平面,所以平面的法向量为.
所以,
由题知,二面角为锐角,所以其余弦值为;
（3）设是线段上一点,则存在使得.
因为,,
所以.
因为平面,所以平面,当且仅当,
即.
即.解得.
因为,
所以线段上不存在使得平面.
19．答案：（1）不在椭圆上,
（2）证明见解析
解析：（1）因为和关于y轴对称,必定均在椭圆上,代入得:.
若点在椭圆上,则,与上式矛盾.
所以不在椭圆上.
由,解得,
故椭圆的方程为.
（2）方法一:设直线,,,.
由题意得:①,②,
由①②得:,
又,,代入上式得:③
把联立消元得:,
即=0,
所以,,
由③得:,
即,
将,,
代入上式得:,
即,
则,故直线MN恒过定点,
方法二:当直线PA,PB斜率不为0时,
设直线PA:,直线PB:
令得:,即.
将代入得:,
即,
则,所以,
即,
又,则有
将代入得:,
即,
则,所以,
即
于是,,
而直线,
令得:.
又当直线PA,PB斜率为0时,MN也过点.
故直线MN过定点.