广东省广州大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份广东省广州大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了命题“，”的否定是，已知集合，，若，则，下列全称量词命题为真命题的是，已知，则的最大值为，下列命题中，真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知集合，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．下列全称量词命题为真命题的是（ ）
A．所有的质数都是奇数 B．，
C．对每一个无理数，也是无理数
D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
5．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
6．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．9
7．关于x的方程，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为4
C．的最小值为D．的最大值为8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得.
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为2
10．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（ ）
A．是成立的充要条件B．是成立的必要不充分条件
C．是成立的充分不必要条件D．是成立的必要不充分条件
11．已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
12．已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ）
A． B．
C．的最小值为12D．的最小值为
三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ．
14．已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
15．设，，，则的最小值为 .
16．设矩形的周长为20，把三角形沿向三角形折叠，折过去后交于点P（如图所示），则三角形的面积的最大值为 ．
解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（10分）．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
18（12分）．解下列不等式：
(1)； (2).
19（12分）．已知集合，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若不存在实数x，使，同时成立，求实数m的取值范围．
20（12分）．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
21（12分）．已知、、都是正数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
22（12分）．已知关于x的不等式．
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集．
广大附中2023级高一年级10月月考数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）D

A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）B
A．，B．，
C．，D．，
3．已知集合，，若，则（ ）C
A．B．
C．D．
4．下列全称量词命题为真命题的是（ ）B
A．所有的质数都是奇数 B．，
C．对每一个无理数，也是无理数
D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
5．已知，则的最大值为（ ）B
A．2B．4C．5D．6
6．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）D
A．2B．4C．6D．9
7．关于x的方程，以下命题正确的个数为（ ）B
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（ ）D
A．的最小值为4B．的最大值为4
C．的最小值为D．的最大值为8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．下列命题中，真命题的是（ ）AB
A．，都有B．，使得.
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为2
10．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（ ）ACD
A．是成立的充要条件B．是成立的必要不充分条件
C．是成立的充分不必要条件D．是成立的必要不充分条件
11．已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）ABC
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
12．已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ）ACD
A． B．
C．的最小值为12D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.
【详解】因为,
恒成立,即恒成立,
因为,所以当时,,则需,
当时,,则需,
故当时,,即,
所以且,故选项A正确,选项B错误;
所以,
当且仅当时,即时取等,故选项C正确;
因为,
令,
当且仅当，即时等号成立，故，
所以,故,
所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD
三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ．
【答案】0
14．已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
15．设，，，则的最小值为 .
【答案】
16．设矩形的周长为20，把三角形沿向三角形折叠，折过去后交于点P（如图所示），则三角形的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意设，，利用平面几何知识表示出，进而求得，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意可设翻折后B点的位置为,因为矩形周长为20，设，
则 ，由翻折可知，即有,
而,故 ， ,设 ，则，
在中，由勾股定理得： ， 则 ，
，即， ，
则，
，当且仅当时取等号，
，即三角形的面积的最大值为，
故答案为：.
解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（10分）．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以或，因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
18（12分）．解下列不等式：
(1)； (2).
【详解】（1）解：原不等式化为，
令，则不等式可化为，解得，
又因为，所以，即，解得.
故原不等式的解集为.
（2）解：原不等式化为，
令，则不等式可化为，解得或（舍去），
所以，所以或， 故原不等式的解集为或.
19（12分）．已知集合，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若不存在实数x，使，同时成立，求实数m的取值范围．
【详解】（1）根据可知，，有两种情况：
若，则，解得；
若，根据可得，解得.
结合（1）（2）可得，时，，即
（2）若不存在实数x，使同时成立，即，有两种情况：
若，则，解得
若且时，则有解得，或，解得
结合（1）（2）可得或
20（12分）．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【详解】（1）设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
21（12分）．已知、、都是正数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）证明：要证，左右两边同乘以可知即证，即证．
因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，
当且仅当时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加并除以，得．
所以，原不等式得证．
（2）解：，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，解得，
故实数的取值范围为．
22（12分）．已知关于x的不等式．
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集．
【详解】（1）将代入原不等式可得，
易知，且，即；
将原不等式两边同时平方可得，解得或；
又因为，综上可得；
所以时，该不等式的解集为
（2）若时，则，解得；
又，解得
将不等式两边同时平方可得，即，可得；
当时，需满足，
又，解得或，此时不等式的解集为；
当时，不等式可化为，解得或，又，此时不等式的解集为；
当时，需满足，
又，解得或，此时不等式的解集为；
当时，需满足，整理不等式可得恒成立，此时不等式的解集为；
当时，需满足，
又，解得或，此时不等式的解集为；
综上可知：当或时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；